Q-類似

q-類似（きゅうるいじ、英: q-analog, q-analogue）とは、理論に q → 1 の極限で、元の理論に一致するように径数 q を導入するような拡張のことをいう。q-拡張（英: q-extension）などとも呼ばれる。

q数

最も基本的な q-数 [n]_q とは、自然数 n の q-類似であって、q → 1 の極限で [n]_q → n となるように

$ [n]_{q} := \frac{1-q^{n}}{1-q} = \sum_{k=0}^{n-1}q^{k} $

と定義される。

q階乗

またq-階乗 [n]_q! は、q-数によって

$ [n]_{q}! := \prod_{k=1}^{n}[k]_{q} = \frac{(q; q)_{n}}{(1-q)^{n}} $

と定義される。ただし (q; q)_n はqポッホハマー記号を表す。

このとき S_n を n 次の対称群、inv(σ) を置換 σ の転倒数として、

$ [n]_{q}! = \sum_{\sigma\in S_{n}}q^{\operatorname{inv}(\sigma)} $

が成り立つ。これは $ q\to 1 $ の極限で、通常の階乗 $ n! $ が $ n $ 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。 また有限体 F_q 上の一般線型群 GL(n, q) の位数は

$ \vert \operatorname{GL}(n, q) \vert = [n]_q!(q - 1)^nq^\binom{n}{2} $

と表せる。

qポッホハマー記号

数学において、qポッホハマー記号(q-Pochhammer symbol)はq-類似の数式に頻出する乗積を略記する記号である^[1]。

$ \begin{align} &(a;q)_\infty=\prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^k)\\ &(a;q)_n=\frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}\\ \end{align} $

$ |q|<1 $の仮定が普通であり、実用上、$ n $は整数であることが多い。$ n $が整数である場合は

$ (a;q)_n=\begin{cases} \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)&n>0\\ 1&n=0\\ \displaystyle\prod_{k=n}^{-1}\frac{1}{(1-aq^k)}&n<0\\ \end{cases} $

となる。$ m,n $が整数であり、$ a=q^{-m} $であるとき、$ 0{\le}m<n $であれば$ (q^{-m};q)_n=0 $であり、$ n{\le}m<0 $であれば$ (q^{-m};q)_n $である。

更なる略記

基底(base)が文字$ q $である場合は省略することがある。

$ \begin{align} &(a)_n=(a;q)_n\\ &(q)_n=(q;q)_n\\ \end{align} $

複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。

$ \begin{align} &(a,b,c)_n=(a,b,c;q)_n=(a;q)_n(b;q)_n(c;q)_n\\ \end{align} $

変換式

以下の変換式が成立する。

$ \begin{align}(aq^{-n+1};q)_n &=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{n-1-k}}{a}\right)\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{k}}{a}\right)\qquad(n-1-k{\mapsto}n)\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\dfrac{1}{a};q\right)_n\\ \end{align} $

q二項係数

q-二項係数は、二項係数の q-類似で、

$ \binom{n}{k}_{q}:=\frac{[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!} $

によって定義される。q が素数のべきのとき、q-二項係数は有限体 F_q 上の n 次元線型空間内における k 次元部分空間の数に等しい。

より一般に q-多項係数は n = k₁ + … + k_m のとき

$ \binom{n}{k_1, \cdots, k_m}_q = \frac{[n]_q!}{[k_1]_q! \cdots [k_m]_q!} $

によって定義されるスクリプトエラー。 このとき

$ \binom{n}{k_1, \cdots, k_m}_q = \binom{n}{k_1}_q \binom{n - k_1}{k_2}_q \cdots \binom{n - k_1 - \dotsb - k_{m - 1}}{k_m}_q $

$ \binom{n}{k}_q = \binom{n - 1}{k}_q + q^{n - k}\binom{n - k}{k - 1}_q $

のようなよく知られた等式の類似が成り立つ。

q二項定理

数学において、q二項定理（q-binomial theorem）は二項定理のq-類似である^[1]。超幾何級数 $ _1F_0 $の和は通常の二項定理

$ _1F_0(a;z)=F(a,b,b;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{(1)_n}z^n=(1-z)^{-a}\qquad(|z|<1) $

で与えられる。これに倣い、q超幾何級数$ _1\phi_0 $の和を与える公式

$ _1\phi_0\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}\qquad(|q|<1,|z|<1) $

をq二項定理と呼ぶ。ただし、$ (a)_n $はポッホハマー記号、$ (a;q)_n $はqポッホハマー記号である。

証明

右辺を$ \ f(a,z;q) $として関数方程式を導く。

$ \begin{align}(1-z)f(a,z;q) &=(1-z)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\ &=\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\right)-z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n-z\frac{(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}z^{n-1}\right)\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_{n-1}}{(q;q)_n}\left((1-aq^{n-1})z^n-(1-q^n)z^n\right)\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_{n-1}}{(q;q)_n}\left((1-aq^{n-1})q^nz^n-a(1-q^n)q^{n-1}z^n\right)\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n-az\frac{(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}(qz)^{n-1}\right)\\ &=\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n\right)-az\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n\\ &=(1-az)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n\\ &=(1-az)f(a,qz;q) \end{align} $

これにより、左辺を得る。

$ \begin{align}f(a,z;q) &=\frac{1-az}{1-z}f(a,qz;q)\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{(1-az)_n}{(1-z)_n}f(a,q^nz;q)\\ &=\frac{(1-az)_\infty}{(1-z)_\infty}f(a,0;q)\\ &=\frac{(1-az)_\infty}{(1-z)_\infty}\\ \end{align} $

別証明

左辺を$ \ g(a,z;q) $として関数方程式を導く。

$ \begin{align}(1-z)g(a,z;q) &=(1-z)\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-azq^n}{1-zq^n}\\ &=(1-z)\frac{1-az}{1-z}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1-azq^n}{1-zq^n}\\ &=(1-az)\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-aqzq^n}{1-qzq^n}\\ &=(1-az)g(a,qz;q)\\ \end{align} $

$ g(a,z;q) $をテイラー級数に展開して$ z^n $の係数を比較すると

$ \begin{align} &g(a,qz;q)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\\ &(1-z)\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n=(1-az)\sum_{n=0}^{\infty}c_n(qz)^n\\ &1+\sum_{n=1}^{\infty}(c_n-c_{n-1})z^n=1+\sum_{n=1}^{\infty}(c_n-ac_{n1})(qz)^n\\ &c_n-c_{n-1}=c_nq^n-ac_{n-1}q^{n-1}\\ &c_n=\frac{1-aq^{n-1}}{1-q^n}c_{n-1}\\ \end{align} $

となり、$ c_0=1 $であるから

$ c_n=\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n} $

となる。これにより、右辺を得る。

$ g(a,z;q)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n $

コーシーの二項定理

コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である^[2]。

$ \sum_{n=0}^{N}y^nq^{n(n+1)/2}\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}_q=\prod_{k=1}^{N}\left(1+yq^k\right)\qquad(|q|<1) $

ただし、

$ \begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}_q $

はq二項係数である。q二項定理に$ a=q^{-N},z=-q^{N+1}y $を代入すると

$ \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^{-N};q)_n}{(q;q)_n}(-q^{N+1}y)^n=\frac{(-qy;q)_\infty}{(-q^{N+1}y;q)_\infty}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}} $

となるが、左辺は$ n>N $で$ (q^{-N};q)_n=0 $となり、右辺は$ k{\ge}N $の分子が$ k-N $の分母を打ち消す。従って、

$ \sum_{n=0}^{N}\frac{(q^{-N};q)_n}{(q;q)_n}(-q^{N+1}y)^n=\prod_{k=0}^{N-1}\frac{1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}=\prod_{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right) $

である。左辺はqポッホハマー記号の変換式$ (aq^{-n+1};q)_n=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(a^{-1};q\right)_n $により、

$ \begin{align}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^{-N};q)_n}{(q;q)_n}(-q^{N+1}y)^n &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^{-N+n-1}q^{-n+1};q)_n}{(q;q)_n}(-1)^nq^{n(N+1)}y^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-q^{-N+n-1})^nq^{-n(n-1)/2}(q^{N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}(-1)^nq^{n(N+1)}y^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{-n(N+1)}q^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}(-1)^nq^{n(N+1)}y^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^nq^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^nq^{n(n+1)/2}(q;q)_N}{(q;q)_{N-n}(q;q)_n}\\ &=\sum_{n=0}^{N}y^nq^{n(n+1)/2}\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}_q\\ \end{align} $

となる。

q微分

q-微分は微分の q-類似で、任意の関数 ƒ(x) について q-微分を

$ d_q(f(x)) = f(qx) - f(x) $

によって定義する。さらに導関数の q-類似である q-導関数は

$ D_q(f(x)) = \frac{d_q(f(x))}{d_q(x)} = \frac{f(qx) - f(x)}{(q - 1)x} $

によって定義される^[3]。

q三角関数

qガンマ関数

q超幾何級数

数学において、q超幾何級数（qちょうきかきゅうすう、q-hypergeometric series）は超幾何級数のq-類似である。q超幾何級数は

$ \begin{align} &_r\phi_s\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_s\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_s;q)_n(q;q)_n}\left((-1)^nq^{n(n-1)/2}\right)^{s+1-r}z^n\\ &_r\psi_s\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_s\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_s;q)_n}\left((-1)^nq^{n(n-1)/2}\right)^{s-r}z^n\\ \end{align} $

の形式で表される級数^[4]であるが、中でも

$ \begin{align} &_r\phi_{r-1}\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_{r-1}\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_{r-1};q)_n(q;q)_n}z^n\\ &_r\psi_r\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_{r}\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_r;q)_n}z^n\\ \end{align} $

が多く研究されている。但し、

$ \begin{align} &(x;q)_0=1\\ &(x;q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1+xq^k)\\ \end{align} $

はqポッホハマー記号である。なお、厳密にいうと、右辺の級数がq超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義されるq超幾何関数を表すものである。

q超幾何級数の和公式

ハイネの和公式

ハイネの和公式(Heine's summation formula)はガウスの超幾何定理のq-類似である^[5]。

$ _2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,\frac{c}{ab}\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(c;q)_n(q;q)_n}\left(\frac{c}{ab}\right)^n=\frac{\left(\frac{c}{a};q\right)_\infty\left(\frac{c}{b};q\right)_\infty}{\left(c;q\right)_\infty\left(\frac{c}{ab};q\right)_\infty} $

ハイネの変換式(Heine's transformation)はq超幾何級数に関わる恒等式である。

$ _2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right]=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},z\\az\end{matrix};q,b\right] $

但し、$ (a;q)_n $はqポッホハマー記号である。

証明

ラマヌジャンの和公式

ラマヌジャンの和公式（ラマヌジャンのわこうしき、Ramanajan's summation formula）はq超幾何級数$ {_1\psi_1} $の和を与える公式である^[6]。

$ {_1\psi_1}\left[\begin{matrix}a\\b\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{b}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(b;q)_\infty\left(\frac{b}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\qquad(|q|<1,|b/a|<|z|<1) $

証明

qザールシュッツの和公式

qザールシュッツの和公式(q-Saalschütz summation formula)はザールシュッツの定理のq-類似であり、q超幾何級数$ {_3\phi_2} $の和を与える公式である^[7]。

$ {_3\phi_2}\left[\begin{matrix}a,b,q^{-n}\\c,\frac{ab}{c}q^{-n+1}\end{matrix};q,q\right]=\frac{(\frac{c}{a};q)_n(\frac{c}{b};q)_n}{(\frac{c}{ab};q)_n(c;q)_n} $

但し、$ (a;q)_n $はqポッホハマー記号である。

証明

関連項目

• ヴィノグラードフの定理

出典

1. ↑ Wolfram Mathworld: q-Binomial Theorem
2. ↑ Wolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem
3. ↑ FUNCTIONS q-ORTHOGONAL WITH RESPECT TO THEIR OWN ZEROS, LUIS DANIEL ABREU, Pre-Publicacoes do Departamento de Matematica Universidade de Coimbra, Preprint Number 04–32
4. ↑ Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function
5. ↑ Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function
6. ↑ Kim (2006), Transformations of Ramanujan's Summation Formula and its Application
7. ↑ Wolfram Mathworld: q-Saalschütz Sum