Q-類似

$q$ -類似（きゅうるいじ、英: $q$ -analog, $q$ -analogue）とは、理論に $q \to 1$ の極限で、元の理論に一致するように径数 $q$ を導入するような拡張のことをいう。 $q$ -拡張（英: q-extension）などとも呼ばれる。

q数編集

最も基本的な $q$ -数 $[n] q$ とは、自然数 $n$ の $q$ -類似であって、 $q \to 1$ の極限で $[n] q \to n$ となるように

$[n]_{q} := \frac{1-q^{n}}{1-q} = \sum_{k=0}^{n-1}q^{k}$

と定義される。

q階乗編集

また $q$ -階乗 $[n] q!$ は、 $q$ -数によって

$[n]_{q}! := \prod_{k=1}^{n}[k]_{q} = \frac{(q; q)_{n}}{(1-q)^{n}}$

と定義される。ただし $(q; q) n$ はqポッホハマー記号を表す。

このとき $S n$ を $n$ 次の対称群、 $inv(σ)$ を置換 $σ$ の転倒数として、

$[n]_{q}! = \sum_{\sigma\in S_{n}}q^{\operatorname{inv}(\sigma)}$

が成り立つ。これは $q\to 1$ の極限で、通常の階乗 $n!$ が $n$ 個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。また有限体 $F q$ 上の一般線型群 $GL(n, q)$ の位数は

$\vert \operatorname{GL}(n, q) \vert = [n]_q!(q - 1)^nq^\binom{n}{2}$

と表せる。

qポッホハマー記号編集

数学において、qポッホハマー記号(q-Pochhammer symbol)はq-類似の数式に頻出する乗積を略記する記号である^[1]。

$\begin{align} &(a;q)_\infty=\prod_{k=0}^{\infty}(1-aq^k)\\ &(a;q)_n=\frac{(a;q)_\infty}{(aq^n;q)_\infty}\\ \end{align}$

$|q|<1$ の仮定が普通であり、実用上、 $n$ は整数であることが多い。 $n$ が整数である場合は

$(a;q)_n=\begin{cases} \displaystyle\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^k)&n>0\\ 1&n=0\\ \displaystyle\prod_{k=n}^{-1}\frac{1}{(1-aq^k)}&n<0\\ \end{cases}$

となる。 $m,n$ が整数であり、 $a=q^{-m}$ であるとき、 $0{\le}m<n$ であれば $(q^{-m};q)_n=0$ であり、 $n{\le}m<0$ であれば $(q^{-m};q)_n$ である。

更なる略記編集

基底(base)が文字 $q$ である場合は省略することがある。

$\begin{align} &(a)_n=(a;q)_n\\ &(q)_n=(q;q)_n\\ \end{align}$

複数のqポッホハマー記号が並ぶときは合成することがある。

$\begin{align} &(a,b,c)_n=(a,b,c;q)_n=(a;q)_n(b;q)_n(c;q)_n\\ \end{align}$

変換式編集

以下の変換式が成立する。

$\begin{align}(aq^{-n+1};q)_n &=\prod_{k=0}^{n-1}(1-aq^{-n+1+k})\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{n-1-k}}{a}\right)\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\prod_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{q^{k}}{a}\right)\qquad(n-1-k{\mapsto}n)\\ &=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\dfrac{1}{a};q\right)_n\\ \end{align}$

q二項係数編集

$q$ -二項係数は、二項係数の $q$ -類似で、

$\binom{n}{k}_{q}:=\frac{[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}$

によって定義される。 $q$ が素数のべきのとき、 $q$ -二項係数は有限体 $F q$ 上の $n$ 次元線型空間内における $k$ 次元部分空間の数に等しい。

より一般に $q$ -多項係数は $n = k 1 + \dots + k m$ のとき

$\binom{n}{k_1, \cdots, k_m}_q = \frac{[n]_q!}{[k_1]_q! \cdots [k_m]_q!}$

によって定義されるスクリプトエラー。このとき

$\binom{n}{k_1, \cdots, k_m}_q = \binom{n}{k_1}_q \binom{n - k_1}{k_2}_q \cdots \binom{n - k_1 - \dotsb - k_{m - 1}}{k_m}_q$

$\binom{n}{k}_q = \binom{n - 1}{k}_q + q^{n - k}\binom{n - k}{k - 1}_q$

のようなよく知られた等式の類似が成り立つ。

q二項定理編集

数学において、q二項定理（q-binomial theorem）は二項定理のq-類似である^[1]。超幾何級数 $_1F_0$ の和は通常の二項定理

$_1F_0(a;z)=F(a,b,b;z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n}{(1)_n}z^n=(1-z)^{-a}\qquad(|z|<1)$

で与えられる。これに倣い、q超幾何級数 $_1\phi_0$ の和を与える公式

$_1\phi_0\left[\begin{matrix}a\\-\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}\qquad(|q|<1,|z|<1)$

をq二項定理と呼ぶ。ただし、 $(a)_n$ はポッホハマー記号、 $(a;q)_n$ はqポッホハマー記号である。

証明編集

右辺を $\ f(a,z;q)$ として関数方程式を導く。

$\begin{align}(1-z)f(a,z;q) &=(1-z)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\ &=\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\right)-z\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n-z\frac{(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}z^{n-1}\right)\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_{n-1}}{(q;q)_n}\left((1-aq^{n-1})z^n-(1-q^n)z^n\right)\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_{n-1}}{(q;q)_n}\left((1-aq^{n-1})q^nz^n-a(1-q^n)q^{n-1}z^n\right)\\ &=1+\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n-az\frac{(a;q)_{n-1}}{(q;q)_{n-1}}(qz)^{n-1}\right)\\ &=\left(1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n\right)-az\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n\\ &=(1-az)\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(qz)^n\\ &=(1-az)f(a,qz;q) \end{align}$

これにより、左辺を得る。

$\begin{align}f(a,z;q) &=\frac{1-az}{1-z}f(a,qz;q)\\ &=\lim_{n\to\infty}\frac{(1-az)_n}{(1-z)_n}f(a,q^nz;q)\\ &=\frac{(1-az)_\infty}{(1-z)_\infty}f(a,0;q)\\ &=\frac{(1-az)_\infty}{(1-z)_\infty}\\ \end{align}$

別証明編集

左辺を $\ g(a,z;q)$ として関数方程式を導く。

$\begin{align}(1-z)g(a,z;q) &=(1-z)\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-azq^n}{1-zq^n}\\ &=(1-z)\frac{1-az}{1-z}\prod_{n=1}^{\infty}\frac{1-azq^n}{1-zq^n}\\ &=(1-az)\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1-aqzq^n}{1-qzq^n}\\ &=(1-az)g(a,qz;q)\\ \end{align}$

$g(a,z;q)$ をテイラー級数に展開して $z^n$ の係数を比較すると

$\begin{align} &g(a,qz;q)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n\\ &(1-z)\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n=(1-az)\sum_{n=0}^{\infty}c_n(qz)^n\\ &1+\sum_{n=1}^{\infty}(c_n-c_{n-1})z^n=1+\sum_{n=1}^{\infty}(c_n-ac_{n1})(qz)^n\\ &c_n-c_{n-1}=c_nq^n-ac_{n-1}q^{n-1}\\ &c_n=\frac{1-aq^{n-1}}{1-q^n}c_{n-1}\\ \end{align}$

となり、 $c_0=1$ であるから

$c_n=\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}$

となる。これにより、右辺を得る。

$g(a,z;q)=\sum_{n=0}^{\infty}c_nz^n=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n$

コーシーの二項定理編集

コーシーの二項定理はq二項定理の特殊な場合である^[2]。

$\sum_{n=0}^{N}y^nq^{n(n+1)/2}\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}_q=\prod_{k=1}^{N}\left(1+yq^k\right)\qquad(|q|<1)$

ただし、

$\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}_q$

はq二項係数である。q二項定理に $a=q^{-N},z=-q^{N+1}y$ を代入すると

$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^{-N};q)_n}{(q;q)_n}(-q^{N+1}y)^n=\frac{(-qy;q)_\infty}{(-q^{N+1}y;q)_\infty}=\prod_{k=0}^{\infty}\frac{1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}$

となるが、左辺は $n>N$ で $(q^{-N};q)_n=0$ となり、右辺は $k{\ge}N$ の分子が $k-N$ の分母を打ち消す。従って、

$\sum_{n=0}^{N}\frac{(q^{-N};q)_n}{(q;q)_n}(-q^{N+1}y)^n=\prod_{k=0}^{N-1}\frac{1+yq^{1+k}}{1+yq^{N+1+k}}=\prod_{k=1}^{N}\left(1+yq^{k}\right)$

である。左辺はqポッホハマー記号の変換式 $(aq^{-n+1};q)_n=(-a)^nq^{-n(n-1)/2}\left(a^{-1};q\right)_n$ により、

$\begin{align}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^{-N};q)_n}{(q;q)_n}(-q^{N+1}y)^n &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(q^{-N+n-1}q^{-n+1};q)_n}{(q;q)_n}(-1)^nq^{n(N+1)}y^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-q^{-N+n-1})^nq^{-n(n-1)/2}(q^{N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}(-1)^nq^{n(N+1)}y^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nq^{-n(N+1)}q^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}(-1)^nq^{n(N+1)}y^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^nq^{n(n+1)/2}(q^{N-n+1};q)_n}{(q;q)_n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{y^nq^{n(n+1)/2}(q;q)_N}{(q;q)_{N-n}(q;q)_n}\\ &=\sum_{n=0}^{N}y^nq^{n(n+1)/2}\begin{bmatrix}N\\n\end{bmatrix}_q\\ \end{align}$

となる。

q微分編集

$q$ -微分は微分の $q$ -類似で、任意の関数 $ƒ (x)$ について $q$ -微分を

$d_q(f(x)) = f(qx) - f(x)$

によって定義する。さらに導関数の $q$ -類似である $q$ -導関数は

$D_q(f(x)) = \frac{d_q(f(x))}{d_q(x)} = \frac{f(qx) - f(x)}{(q - 1)x}$

によって定義される^[3]。

q三角関数編集

qガンマ関数編集

q超幾何級数編集

数学において、q超幾何級数（qちょうきかきゅうすう、q-hypergeometric series）は超幾何級数のq-類似である。q超幾何級数は

$\begin{align} &_r\phi_s\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_s\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_s;q)_n(q;q)_n}\left((-1)^nq^{n(n-1)/2}\right)^{s+1-r}z^n\\ &_r\psi_s\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_s\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_s;q)_n}\left((-1)^nq^{n(n-1)/2}\right)^{s-r}z^n\\ \end{align}$

の形式で表される級数^[4]であるが、中でも

$\begin{align} &_r\phi_{r-1}\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_{r-1}\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_{r-1};q)_n(q;q)_n}z^n\\ &_r\psi_r\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_{r}\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a_1;q)_n(a_2;q)_n\dots(a_r;q)_n}{(b_1;q)_n(b_2;q)_n\dots(b_r;q)_n}z^n\\ \end{align}$

が多く研究されている。但し、

$\begin{align} &(x;q)_0=1\\ &(x;q)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(1+xq^k)\\ \end{align}$

はqポッホハマー記号である。なお、厳密にいうと、右辺の級数がq超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義されるq超幾何関数を表すものである。

q超幾何級数の和公式編集

ハイネの和公式編集

ハイネの和公式(Heine's summation formula)はガウスの超幾何定理のq-類似である^[5]。

$_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,\frac{c}{ab}\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(c;q)_n(q;q)_n}\left(\frac{c}{ab}\right)^n=\frac{\left(\frac{c}{a};q\right)_\infty\left(\frac{c}{b};q\right)_\infty}{\left(c;q\right)_\infty\left(\frac{c}{ab};q\right)_\infty}$

ハイネの変換式(Heine's transformation)はq超幾何級数に関わる恒等式である。

$_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right]=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},z\\az\end{matrix};q,b\right]$

但し、 $(a;q)_n$ はqポッホハマー記号である。

証明編集

ハイネの変換式はq二項定理から導かれる。

$\begin{align}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right] &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}z^n\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_\infty(cq^n;q)_\infty}{(q;q)_n(c;q)_\infty(bq^n;q)_\infty}z^n\\ &=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\left(\frac{(cq^n;q)_\infty}{(bq^n;q)_\infty}\right)z^n\\ &=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}\left(\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}(bq^n)^m\right)z^n\\ &=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}(zq^m)^n\right)b^m\\ &=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m}\left(\frac{(azq^m;q)_\infty}{(zq^m;q)_\infty}\right)b^n\\ &=\frac{(b;q)_\infty}{(c;q)_\infty}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_m(z;q)_m(az;q)_\infty}{(q;q)_m(az;q)_m(z;q)_\infty}\\ &=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},z\\az\end{matrix};q,b\right]\\ \end{align}$

ハイネの和公式はハイネの変換式に $z=\tfrac{c}{ab}$ を代入することにより得られる。

$\begin{align}_2\phi_1\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,\frac{c}{ab}\right] &=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},\frac{c}{ab}\\\frac{c}{b}\end{matrix};q,b\right]\\ &=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{b};q)_n(\frac{c}{ab};q)_n}{(q;q)_n(\frac{c}{b};q)_n}b^n\right)\\ &=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{ab};q)_n}{(q;q)_n}b^n\right)\\ &=\frac{(b;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\left(\frac{(\frac{c}{a};q)_\infty}{(b;q)_\infty}\right)\\ &=\frac{(\frac{c}{a};q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty}{(c;q)_\infty(\frac{c}{ab};q)_\infty}\\ \end{align}$

ラマヌジャンの和公式編集

ラマヌジャンの和公式（ラマヌジャンのわこうしき、Ramanajan's summation formula）はq超幾何級数 ${_1\psi_1}$ の和を与える公式である^[6]。

${_1\psi_1}\left[\begin{matrix}a\\b\end{matrix};q,z\right]=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{b}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(b;q)_\infty\left(\frac{b}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\qquad(|q|<1,|b/a|<|z|<1)$

証明編集

ラマヌジャンの和公式はq二項定理から導かれる。 $n$ が負の整数であれば

$\frac{1}{(q;q)_n}=\frac{1}{\displaystyle\prod_{k=n}^{-1}\frac{1}{(1-q^{1+k})}}=\prod_{k=n}^{-1}(1-q^{1+k})=0\qquad(-n\in\mathbb{N})$

であるから、q二項定理は

$\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n$

と書ける。 $k$ を任意の正の整数として

$\begin{align}\frac{(az;q)_\infty}{(z;q)_\infty} &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q;q)_n}z^n\\ &=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_{n+k}}{(q;q)_{n+k}}z^{n+k}\\ &=\frac{(a;q)_k}{(q;q)_k}z^k\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(aq^k;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^n\\ \end{align}$

であるから

$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(aq^k;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^{n} &=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_k}{(z;q)_\infty(a;q)_k}z^{-k}\\ &=\frac{(az;q)_k(aq^kz;q)_\infty(q;q)_k}{(z;q)_\infty(a;q)_k}z^{-k}\\ &=\frac{(az;q)_k(aq^kz;q)_\infty(q;q)_\infty}{(z;q)_\infty(a;q)_k(q^{1+k};q)_\infty}z^{-k}\\ &=\frac{(aq^kz;q)_\infty(q;q)_\infty(aq^kq^{-k}z;q)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty(aq^kq^{-k};q)_k}z^{-k}\\ \end{align}$

である。 $aq^k$ を $a$ と書き、qポッホハマー記号の変換式

$\left(aq^{-n};q\right)_n=\left(-\frac{a}{q}\right)^nq^{-n(n-1)/2}\left(\frac{q}{a};q\right)_n$

により

$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(q^{1+k};q)_n}z^{n} &=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty(aq^{-k}z;q)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty(aq^{-k};q)_k}z^{-k}\\ &=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_k}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_k}\\ &=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q^{1+k}}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(q^{1+k};q)_\infty\left(\frac{q^{1+k}}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\\ \end{align}$

となり、 $q^{1+k}$ を $b$ と書き、

$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n} &=\frac{(az;q)_\infty(q;q)_\infty\left(\frac{q}{az};q\right)_\infty\left(\frac{b}{a};q\right)_\infty}{(z;q)_\infty(b;q)_\infty\left(\frac{b}{az};q\right)_\infty\left(\frac{q}{a};q\right)_\infty}\qquad(b=q^k,k\in\mathbb{N})\\ \end{align}$

となる。さて、左辺は

$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n} &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a;q)_{-n}}{(b;q)_{-n}}z^{-n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(bq^{-n};q)_n}{(aq^{-n};q)_n}z^{-n}\\ &=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n}{(b;q)_n}z^{n}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{\left(\frac{q}{b};q\right)_n}{\left(\frac{q}{a};q\right)_n}\left(\frac{b}{az}\right)^n\\ \end{align}$

であるから、 $|q|<1,|z|<1,|b|<|az|,|b|<1,|a|>|q|$ で収束する。従って、両辺とも $b$ の関数として考えれば $b=0$ で正則であり、 $b=q^k\to0$ で両辺が一致するから一致の定理により大局的にも一致する。

qザールシュッツの和公式編集

qザールシュッツの和公式(q-Saalschütz summation formula)はザールシュッツの定理のq-類似であり、q超幾何級数 ${_3\phi_2}$ の和を与える公式である^[7]。

${_3\phi_2}\left[\begin{matrix}a,b,q^{-n}\\c,\frac{ab}{c}q^{-n+1}\end{matrix};q,q\right]=\frac{(\frac{c}{a};q)_n(\frac{c}{b};q)_n}{(\frac{c}{ab};q)_n(c;q)_n}$

但し、 $(a;q)_n$ はqポッホハマー記号である。

証明編集

qザールシュッツの和公式はハイネの変換式から導かれる。ハイネの変換式を反復すると

$\begin{align}{_2\phi_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};q,z\right] &=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty} {_2\phi_1}\left[\begin{matrix}z,\frac{c}{b}\\az\end{matrix};q,b\right]\\ &=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}\cdot \frac{(\frac{b}{c};q)_\infty(bz;q)_\infty}{(az;q)_\infty(b;q)_\infty} {_2\phi_1}\left[\begin{matrix}b,\frac{abz}{c}\\bz\end{matrix};q,\frac{c}{b}\right]\\ &=\frac{(b;q)_\infty(az;q)_\infty}{(c;q)_\infty(z;q)_\infty}\cdot \frac{(\frac{b}{c};q)_\infty(bz;q)_\infty}{(az;q)_\infty(b;q)_\infty}\cdot \frac{(\frac{abz}{c};q)_\infty(c;q)_\infty}{(bz;q)_\infty(\frac{c}{b};q)_\infty} {_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{b},\frac{c}{a}\\c\end{matrix};q,\frac{abz}{c}\right]\\ &={_2\phi_1}\left[\begin{matrix}\frac{c}{a},\frac{c}{b}\\c\end{matrix};q,\frac{abz}{c}\right]\frac{(\frac{abz}{c};q)_\infty}{(z;q)_\infty}\\ \end{align}$

となり、q二項定理を用いて

$\begin{align}{_2\phi_1}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}z^n &=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\left(\frac{abz}{c}\right)^m\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(\frac{ab}{c};q)_k}{(q;q)_k}z^k\\ \end{align}$

となる。 $z^n$ の係数を比べると

$\begin{align}\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n} &=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\left(\frac{ab}{c}\right)^m\frac{(\frac{ab}{c};q)_{n-m}}{(q;q)_{n-m}}\\ &=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\left(\frac{ab}{c}\right)^m\frac{(\frac{ab}{c};q)_n(q^{1+n-m};q)_{m}}{(q;q)_n(\frac{ab}{c}q^{n-m};q)_{m}} \end{align}$

であるが、qポッホハマー記号の変換式 $(aq^{-m+1};q)_m=(-a)^mq^{-m(m-1)/2}\left(a^{-1};q\right)_m$ を用いて、

$\begin{align} &\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(q;q)_n(c;q)_n}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\frac{(\frac{ab}{c};q)_n(q^{-n};q)_{m}}{(q;q)_n(\frac{c}{ab}q^{-n+1};q)_{m}}q^m\\ &\frac{(a;q)_n(b;q)_n}{(\frac{ab}{c};q)_n(c;q)_n}=\sum_{m=0}^{\infty}\frac{(\frac{c}{a};q)_m(\frac{c}{b};q)_m}{(q;q)_m(c;q)_m}\frac{(q^{-n};q)_{m}}{(\frac{c}{ab}q^{-n+1};q)_{m}}q^m ={_3\phi_2}\left[\begin{matrix}\frac{c}{a},\frac{c}{b},q^{-n}\\c,\frac{c}{ab}q^{-n+1}\end{matrix};q,q\right] \end{align}$

を得る。 $a,b$ を $\tfrac{c}{a},\tfrac{c}{b}$ に置き換えて

${_3\phi_2}\left[\begin{matrix}a,b,q^{-n}\\c,\frac{ab}{c}q^{-n+1}\end{matrix};q,q\right]=\frac{(\frac{c}{a};q)_n(\frac{c}{b};q)_n}{(\frac{c}{ab};q)_n(c;q)_n}$

を得る。

出典編集

↑ Wolfram Mathworld: q-Binomial Theorem
↑ Wolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem
↑ FUNCTIONS q-ORTHOGONAL WITH RESPECT TO THEIR OWN ZEROS, LUIS DANIEL ABREU, Pre-Publicacoes do Departamento de Matematica Universidade de Coimbra, Preprint Number 04–32
↑ Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function
↑ Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function
↑ Kim (2006), Transformations of Ramanujan's Summation Formula and its Application
↑ Wolfram Mathworld: q-Saalschütz Sum

[0] Wolfram Mathworld: q-Binomial Theorem

[1] Wolfram Mathworld: Cauchy Binomial Theorem

[2] FUNCTIONS q-ORTHOGONAL WITH RESPECT TO THEIR OWN ZEROS, LUIS DANIEL ABREU, Pre-Publicacoes do Departamento de Matematica Universidade de Coimbra, Preprint Number 04–32

[3] Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function

[4] Wolfram Mathworld: q-Hypergeometric Function

[5] Kim (2006), Transformations of Ramanujan's Summation Formula and its Application

[6] Wolfram Mathworld: q-Saalschütz Sum

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