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順序数基本列 (Fundamental sequence) (あるいは収束列)とは、共終数$ \omega $ である極限順序数 $ \alpha $ に対して定義され、$ \alpha $ に収束するような順序数の単調増加数列である。$ \alpha $$ \alpha $ 以下のすべての極限順序数に対して基本列が定義されれば、選択公理を使わずに、$ \omega $$ \alpha $ の間の全単射、すなわち一対一の対応がつけられる。$ \alpha $ の基本列の n 番目、すなわち、$ \omega $ の要素と $ \alpha $ の基本列を対応づけた時の n に対する値を、$ \alpha[n] $ と書く。

$ \varepsilon_0 $ 以下の極限順序数の基本列

急増加関数において、$ \varepsilon_0 $ 以下の極限順序数 $ \alpha $ の基本列を定める方法として Wainer 階層が使われる。これは、次のように定義される。$ \alpha $カントール標準形で書いて、

  1. もし $ \alpha = \omega^{\beta_1} + \ldots + \omega^{\beta_{k-1}} + \omega^{\beta_{k}} $ (ここで、$ \beta_1 \ge \ldots \ge \beta_{k-1} \ge \beta_k) $ であるなら、$ \alpha[n] = \omega^{\beta_1} + \ldots + \omega^{\beta^{k-1}} + (\omega^{\beta_k}) [n] $
  2. もし $ \alpha = \omega^{\beta+1} $ であるなら、$ \alpha[n] = \omega^\beta n $
  3. もし $ \alpha = \omega^{\beta} $ であり、$ \beta $ が極限順序数であるなら、$ \alpha[n] = \omega^{\beta[n]} $
  4. もし $ \alpha = \varepsilon_0 $ であるなら、$ \alpha[0] = 0 $ (あるいは $ \alpha[0] = 1 $ としてもよい)、$ \alpha[n + 1] = \omega^{\alpha[n]} $

とする。

  • $ \alpha = \omega^{\omega^\omega + \omega^2} $の基本列は、$ \alpha[n] = \omega^{\omega^\omega + \omega^2}[n] $ $ \ \overset{3.}{=} \ \omega^{(\omega^\omega + \omega^2)[n]}\ $ $ \overset{1.}{=} \ \omega^{\omega^\omega + (\omega^2)[n]} \ $ $ \overset{2.}{=} \ \omega^{\omega^\omega + \omega \cdot n} \ $ となる。
  • $ \alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4 + \omega^\omega \cdot 3 $ の基本列は、
    • $ \alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4 + \omega^\omega \cdot 2 + \omega^\omega $ と書き直す
    • ルール1において、$ \beta_k = \omega $ であるから、$ \beta_k[n] = n $
    • よって、$ \alpha[n] = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4 + \omega^\omega \cdot 2 + \omega^n $
  • $ \alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4 $ の基本列は、
    • $ \alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 3 + \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} $ と書き直す
    • 最後の項が $ \alpha = \omega^{\beta+1} $ の形になっているので、$ \alpha[n] = \omega^\beta n $ を使う
    • すなわち、$ \alpha[n] = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 3 + \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 20)}\cdot n $
  • ルール4により、$ \varepsilon_0[0]=0,\ \varepsilon_0[1]=\omega^0=1,\ \varepsilon_0[n] = \underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^\omega}}}_{n-1} \ (n\geq2) $ (または $ \varepsilon_0[0]=1, \varepsilon_0[n] = \underbrace{\omega^{\omega^{\cdots^\omega}}}_{n} \ (n\geq1)\ $ )となる。