FANDOM


順序数基本列 (Fundamental sequence) (あるいは収束列)とは、共終数\omega である極限順序数 \alpha に対して定義され、\alpha に収束するような順序数の単調増加数列である。\alpha\alpha 以下のすべての極限順序数に対して基本列が定義されれば、選択公理を使わずに、\omega\alpha の間の全単射、すなわち一対一の対応がつけられる。\alpha の基本列の n 番目、すなわち、\omega の要素と \alpha の基本列を対応づけた時の n に対する値を、\alpha[n] と書く。

\epsilon_0 以下の極限順序数の基本列 編集

急増加関数において、\epsilon_0 以下の極限順序数 \alpha の基本列を定める方法として Wainer 階層が使われる。これは、次のように定義される。\alphaカントール標準形で書いて、

  1. もし \alpha = \omega^{\beta_1} + \ldots + \omega^{\beta_{k-1}} + \omega^{\beta_{k}} (ここで、\beta_1 \ge \ldots \ge \beta_{k-1} \ge \beta_k) であれば、\alpha[n] = \omega^{\beta_1} + \ldots + \omega^{\beta^{k-1}} + \omega^{\beta_k[n]}
  2. もし \alpha = \omega^{\beta+1} であれば、\alpha[n] = \omega^\beta n
  3. もし \alpha = \omega^{\beta} となり、\beta が極限順序数であれば、\alpha[n] = \omega^{\beta[n]}
  4. もし \alpha = \epsilon_0 であれば、\alpha[0] = 0 として、\alpha[n + 1] = \omega^{\alpha[n]} とする。あるいは、\alpha[0] = 1 から始めることもできる。

\alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4 + \omega^\omega \cdot 3 の基本列は、

  • \alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4 + \omega^\omega \cdot 2 + \omega^\omega と書き直す
  • ルール1において、\beta_k = \omega であるから、\beta_k[n] = n
  • よって、\alpha[n] = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4 + \omega^\omega \cdot 2 + \omega^n

\alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 4 の基本列は、

  • \alpha = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 3 + \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} と書き直す
  • 最後の項が \alpha = \omega^{\beta+1} の形になっているので、\alpha[n] = \omega^\beta n を使う
  • すなわち、\alpha[n] = \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 21)} \cdot 3 + \omega^{(\omega^{\omega^5 \cdot 3 + \omega \cdot 2 + 1} \cdot 2 + \omega^5 + 20)}\cdot n

広告ブロッカーが検出されました。


広告収入で運営されている無料サイトWikiaでは、このたび広告ブロッカーをご利用の方向けの変更が加わりました。

広告ブロッカーが改変されている場合、Wikiaにアクセスしていただくことができなくなっています。カスタム広告ブロッカーを解除してご利用ください。

FANDOMでも見てみる

おまかせWiki