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階乗

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自然数 n の階乗(かいじょう、英: factorialn! は、1 から n までのすべての自然数のである。例えば、

 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 である、

空積の規約のもと 0! = 1 と定義する[1]

階乗は数学の様々な場面に出現するが、特に組合せ論代数学解析学などが著しい。階乗の最も基本的な出自は n-個の相異なる対象を一列に並べる方法(対象の置換)の総数が n!-通りであるという事実である。この事実は少なくとも12世紀にはインドの学者によって知られていた[2]。ファビアン・ステッドマンは1677年にチェンジリンキングへの応用として階乗を記述した[* 1]。再帰的な手法による記述の後、Stedman は(独自の言葉を用いて)階乗に関しての記述を与えている:

Now the nature of these methods is such, that the changes on one number comprehends [includes] the changes on all lesser numbers, ... insomuch that a compleat Peal of changes on one number seemeth to be formed by uniting of the compleat Peals on all lesser numbers into one entire body;[4]

エクスクラメーションマーク(!)を用いた、この "n!" という表記は1808年にChristian Krampによって発明された[5]

階乗数 オンライン整数列大辞典の数列 A000142
0! 1
1! 1
2! 2
3! 6
4! 24
5! 120
6! 720
7! 5 040
8! 40 320
9! 362 880
10! 3 628 800
11! 39 916 800
12! 479 001 600
13! 6 227 020 800
14! 87 178 291 200
15! 1 307 674 368 000
16! 20 922 789 888 000
17! 355 687 428 096 000
18! 6 402 373 705 728 000
19! 121 645 100 408 832 000
20! 2 432 902 008 176 640 000

この階乗の定義は、最も重要な性質を残したまま、非整数を引数とする函数に拡張することができる。そうすれば解析学における著しい手法などの進んだ数学を利用できるようになる。

定義 編集

いくつか同値な条件により定義することが可能である。

上記の何れの定義においても、

0! = 1

となることが織り込み済みである(最初の定義では「 0 項の積は 1 と定める」という規約によって)。このように定義することの理由は:

  1. 零個の対象の置換は(「何もしない」という)ちょうど一通りであること。
  2. n > 0 のとき有効な漸化式 (n + 1)! = n! × (n + 1), が n = 0 の場合にも延長できること。
  3. 指数函数などの冪級数としての表示
     e^x = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}
    など多くの公式が短く表せるようになること。
  4. 組合せ論における多くの等式が任意のサイズに適用して意味を持つこと。例えば零個の元を空集合から選ぶ方法の総数は
    \binom{0}{0} = \frac{0!}{0!\,0!} = 1

    であり、一般に n-元集合から n-個全ての元を選び出す方法の総数は

    \binom nn = \frac{n!}{n!\,0!} = 1
    と書ける。

など様々に挙げることができる。

より進んだ数学においては、引数を非整数として階乗函数を定義することもできる(後述)。そういった一般化された定義のもとでの階乗は関数電卓や、MapleMathematica などの数学ソフトウェアで利用できる。

組合せ論 編集

階乗を含む公式は数学の多くの分野に現れるけれども、階乗のおおもとの出自は組合せ論にある。相異なる n-個の対象の順列k-順列)の総数は n!-通りである。

階乗はしばしば「順番を無視する」という事実を反映するものとして分母に現れる。古典的な例としては n-個の元から k-個の元を選ぶ組合せk-組合せ)の総数が挙げられる。このような組合せは順列から得ることができる。実際、k-順列の総数

n^{\underline k}=n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)

において、順番のみが違う(k-組合せでは違いが無視される)k-順列が k!-通りずつ存在するから、k-組合せの総数は

\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots1}

となる。この数は、二項冪 (1 + X)n における Xk の係数となることから、二項係数 \tbinom nk とも呼ばれる。

代数学に現れる階乗にはいくつも理由があるが、既述の如く二項展開の係数として現れたり、ある種の演算の対称化 において置換による平均化を行うなど、組合せ論的な理由で現れるものもある。

微分積分学においても階乗は例えばテイラー級数の分母として現れるが、これは冪函数 xnn-階導函数が n! であることを補正する定数である。確率論でも階乗は用いられる。

階乗は数式操作にも有効である。例えば nk-順列の総数を

n^{\underline k}=\frac{n!}{(n-k)!}

と書けば、(この数値を計算することを考えれば効率が悪くなるが)二項係数の対称性

\binom nk=\frac{n^{\underline k}}{k!}=\frac{n!}{(n-k)!k!}=\frac{n^{\underline{n-k}}}{(n-k)!}=\binom n{n-k}

を見るには都合がよい。

数論における階乗 編集

階乗は数論にも多くの応用を持つ。特に n!n 以下の全ての素数で整除されねばならない。このことの帰結として、n (> 5)合成数となる必要十分条件

(n-1)!\ \equiv\ 0 \pmod n

が満たされることである。より強い結果としてウィルソンの定理

(p-1)!\ \equiv\ -1 \pmod p

p が素数であるための必要十分条件であることを述べる。

ルジャンドルの公式n! の素因数分解に現れる p の重複度が

\sum_{i=1}^{\infty} \left \lfloor \frac{n}{p^i} \right \rfloor

であることを示す。これは

\frac{n - s_p(n)}{p - 1}

と書いてもよい。ただし、sp(n)np 進展開の係数の和である。

n の階乗自身が素数となる n2 のみである。しかし階乗素数と呼ばれる n! ± 1 の形の素数は無数に存在する。

1! より大きな階乗は全て偶数である(これらは明らかに因数 2 を持ち、2 の倍数である)。同様に、5! より後の階乗は 10 の倍数(25 を因数に持つ)であり、十進展開の末尾に0が並ぶ。

ブロカールの問題 編集

ブロカールの問題とは、

n!+1 = m^2

を満たすn、mは存在するか、という問題である。現在、これを満たす(n, m)の組[* 2]

(4,5), (5,11), (7,71)

しか見つかっていない。ABC予想が真であれば、解は有限個しかないことが、Marius Overholtにより示されている。

階乗の解析学 編集

ガンマ関数 編集

Gamma.png

y=Γ(x)

Gamma abs.png

Γ(x+iy)の絶対値
(グラフ中「re」はxに相当、「im」はyに相当)

数学においてガンマ関数(ガンマかんすう、英: Gamma function)とは、階乗の概念を一般化した特殊関数。 互いに同値となるいくつかの定義が存在するが、1729年、数学者オイラーが階乗の一般化として、最初に導入した。

定義編集

実部が正となる複素数zについて、次の積分で定義される関数

\Gamma(z)=\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}\,dt\qquad(\real{z}>0)

をガンマ関数と呼ぶ[7]。この積分は、ルシャンドルの定義にしたがって、第二種オイラー積分とも呼ばれる。元は階乗の一般化としてオイラーが得たもので、\Gammaという記号は、ルジャンドルが用いたものである。それ以前は\Pi(x)などと表記していた(ただし\Pi(x)=\Gamma(x+1))。

一般の複素数zについては、解析接続もしくは次の無限乗積で定義される。

\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}

基本的性質 編集

ガンマ関数は、階乗複素数への拡張としてオイラーによって考案されたものであり、自然数nについて

\Gamma(n+1)=n! \,

が成立する。 実際、オイラー積分による定義から

\Gamma(z)=\int_{t=0}^{\infty}{t^{z-1}(-e^{-t})'}\,dt=\left[-t^{z-1}e^{-t}\right]_{t=0}^{\infty}+(z-1)\int_{t=0}^{\infty}{t^{z-2}e^{-t}}\,dt=(z-1)\Gamma(z-1)
\Gamma(1)=\int_{t=0}^{\infty}{e^{-t}}\,dt=\left[-e^{-t}\right]_{t=0}^{\infty}=1

であり、自然数nについて\Gamma(n+1)=n!が成り立つ。従って、ガンマ関数は階乗の定義域を複素平面に拡張したものといえる。そのような関数は無数に存在するが、正の実軸上で対数凸である解析関数という条件を付ければ、それは一意に定まりガンマ関数に他ならない(→ボーア・モレルップの定理)。右半平面においてオイラー積分で定義されたガンマ関数は全平面に有理型解析接続する。ガンマ関数は零点を持たず、原点と負の整数に一位の極を持つ。その留数は、

{\rm Res}(\Gamma , -n) = \frac{(-1)^n}{n!}

である。また、非整数でのガンマ関数の値のうちでおそらく最も有名なのは、ガウス積分になる以下の場合であろう。

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}

これより、自然数nについて


\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right) = \frac{(2n-1)!!}{2^{n}}\sqrt{\pi}

が成立することがわかる。ここで !! は二重階乗を表す。この性質を利用して高次元の体積と表面積を求めることができる。また、


\Gamma\left(\frac{1}{2}-n\right) = \frac{ (-2)^n}{(2n-1)!!} \sqrt{\pi}

定義の整合性 編集

定義の積分表示と乗積表示が一致することを示す。

G_n(z)=\int_{0}^{n}{t^{z-1}\left(1-\frac{t}{n}\right)^{n}}dt

とすれば\lim_{n\to\infty}{(1-t/n)^n}=e^{-t}であるから\lim_{n\to\infty}{G_n(z)}=\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}dtである。

t=nuの置換により

G_n(z)=n^{z}\int_{0}^{1}{u^{z-1}(1-u)^{n}}du

n^{z}を除く部分をg_n(z)として

g_0(z)=\int_{0}^{1}{u^{z-1}}du=\left[\frac{u^z}{z}\right]_{u=0}^{1}=\frac{1}{z}
g_n(z)=\int_{0}^{1}{\left(\frac{u^{z}}{z}\right)'(1-u)^{n}}du=\frac{n}{z}\int_{u=0}^{1}{u^{z}(1-u)^{n-1}}du=\frac{n}{z}g_{n-1}(z+1)

これにより

G_n(z)=\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}

を得る。故に

\int^{\infin}_{0}t^{z-1}e^{-t}dt=\lim_{n\to\infty}G_n(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}

である。

ワイエルシュトラスの乗積表示 編集

オイラーの乗積表示からオイラーの定数\gamma=\lim_{n\to\infty}\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k}-\log{n}\right)を括り出すと、

ワイエルシュトラスの乗積表示が得られる。ワイエルシュトラスはガンマ関数が負の整数にを持つことを嫌って逆数を用いた。ガンマ関数の逆数は複素平面全体で正則である。

\begin{align}
\frac{1}{\Gamma(z)}&=\lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}{n^zn!}=\lim_{n\to\infty}zn^{-z}\left(\prod_{k=1}^{n}{e^{z/k}}\right)\left(\prod_{m=1}^{n}{\frac{z+m}{m}}e^{-z/m}\right) \\
&=ze^{{\gamma}z}\prod_{m=1}^{\infty}\left(1+\frac{z}{m}\right)e^{-z/m} \\
\end{align}

ハンケルの積分表示 編集

ガンマ関数は次の周回積分で表される[8]。積分経路は正の無限大から実軸の上側に沿って原点に至り、原点を正の向きに回り、実軸の下側に沿って無限大に戻るものとする。但し、その偏角は-\pi\le\arg(-t)\le\pi,0\le\arg(s)\le2\piとする。

\begin{align}
&\Gamma(z)=\frac{i}{2\sin{\pi}z}\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})\\
&\Gamma(z)=\frac{1}{e^{2{\pi}iz}-1}\int_Cs^{z-1}e^{-s}ds\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})\\
&\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{i}{2\pi}\int_C(-t)^{-z}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C})\\
\end{align}

これをハンケルの積分表示と呼ぶ。このハンケルの積分表示は、積分経路を適当に変形し、数値積分でガンマ関数の値を求めるために使われることがある[9]

ハンケルの積分表示の導出 編集

極座標表示(-t)=re^{i\theta}を用いると、実軸の上側に沿う部分は\theta=-\pir=\inftyからr=\deltaまで、原点を回る部分はr=\delta\theta=-\piから\theta=\piまで、実軸の下側に沿う部分は\theta=\pir=\deltaからr=\inftyまでとなる。

\begin{align}
&\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt\\
&=\int_{\infty}^{\delta}(re^{-{\pi}i})^{z-1}e^{-r}dr+\int_{-\pi}^{\pi}({\delta}e^{i\theta})^{z-1}e^{{\delta}e^{i\theta}}(-i{\delta}e^{i\theta})d\theta+\int_{\delta}^{\infty}(re^{{\pi}i})^{z-1}e^{-r}dr\\
&=\int_{\infty}^{\delta}r^{z-1}e^{-{\pi}i(z-1)}e^{-r}dr-\int_{-\pi}^{\pi}i\delta^ze^{i{\theta}z}e^{{\delta}e^{i\theta}}d\theta+\int_{\delta}^{\infty}r^{z-1}e^{{\pi}i(z-1)}e^{-r}dr\\
&=\left(-e^{-{\pi}i(z-1)}+e^{{\pi}i(z-1)}\right)\int_{\delta}^{\infty}r^{z-1}e^{-r}dr-\int_{-\pi}^{\pi}i\delta^ze^{i{\theta}z}e^{{\delta}e^{i\theta}}d\theta\\
&=-2i\sin{\pi}z\int_{\delta}^{\infty}r^{z-1}e^{-r}dr-\int_{-\pi}^{\pi}i\delta^ze^{i{\theta}z}e^{{\delta}e^{i\theta}}d\theta\\
\end{align}

\real{z}>0とすると\delta\to0\delta^z\to0であるから

\begin{align}\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt
&=-2i\sin{\pi}z\int_{0}^{\infty}r^{z-1}e^{-r}dr\\
&=-2i\sin{\pi}z\Gamma(z)\qquad(\real{z}>0)\\
\end{align}

である。しかし、左辺の被積分関数はzが有界であるかぎり正則であるから、左辺は複素平面全体に解析接続する。従って、

\Gamma(z)=\frac{i}{2\sin{\pi}z}\int_C(-t)^{z-1}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})

である。s=re^{i\theta}とすれば、同様にして

\Gamma(z)=\frac{1}{e^{2{\pi}iz}-1}\int_Cs^{z-1}e^{-t}ds\qquad(z\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Z})

を得る。また、相半公式により、

\frac{1}{\Gamma(z)}=\frac{\sin{\pi}z}{\pi}\Gamma(1-z)=\frac{i}{2\pi}\int_C(-t)^{-z}e^{-t}dt\qquad(z\in\mathbb{C})

を得る。

相半公式 編集

次の恒等式をオイラーの相半公式(reflection formula)という。

\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin{{\pi}z}}

この恒等式はオイラーの乗積表示から得られる。

\begin{align}
-z\Gamma(z)\Gamma(-z)
&=-z\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\prod_{k=0}^{n}{(z+k)}}\right)\left(\lim_{n\to\infty}\frac{n^{-z}n!}{\prod_{k=0}^{n}{(-z+k)}}\right)\\
&=\frac{1}{z}\prod_{k=1}^{\infty}\frac{k^2}{k^2-z^2}\\
&=\frac{\pi}{{\pi}z\displaystyle\prod_{k=1}^{\infty}\displaystyle\frac{k^2-z^2}{k^2}}\\
\end{align}

この分母は正弦関数の無限乗積展開であるから、

\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin{{\pi}z}}

である。反射公式にz=\frac{1}{2}を代入すれば

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{\sin{\frac{\pi}{2}}}=\pi

となり

\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}

を得る。

乗法公式 編集

次の恒等式をガウスの乗法公式(multiplication formula)という。

\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-1/2}}{(2\pi)^{(n-1)/2}}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}

この証明を示す。両辺の比をf(z)とすると

\begin{align}f(z)=
&\frac{n^{nz-1/2}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}}{(2\pi)^{(n-1)/2}\Gamma(nz)}\\
\end{align}
\begin{align}f(z+1)
&=\frac{n^{nz-1/2}n^n\left[\prod_{k=0}^{n-1}\left(z+\frac{k}{n}\right)\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}\right]}{(2\pi)^{(n-1)/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma(nz)}\\
&=\frac{n^{nz-1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}\left(nz+k\right)\right]\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}{(2\pi)^{(n-1)/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}(nz+k)\right]\Gamma(nz)}\\
&=f(z)\\
\end{align}

故に、任意に大きな自然数mについてf(z+m)=f(z)が成立する。スターリングの公式により

\begin{align}\lim_{\real{z}\to+\infty}f(z)
&=\lim_{\real{z}\to+\infty}\frac{n^{nz-1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}{\sqrt{\frac{2{\pi}}{z+k/n}}\left(\frac{z+k/n}{e}\right)^{z+k/n}}\right]}{(2\pi)^{(n-1)/2}\sqrt{\frac{2{\pi}}{nz}}\left(\frac{nz}{e}\right)^{nz}}\\
&=\lim_{\real{z}\to+\infty}z^{1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}e^{-k/n}\right]\\
&=\lim_{\real{z}\to+\infty}z^{1/2}\left[\prod_{k=0}^{n-1}z^{k/n-1/2}e^{k/n}e^{-k/n}\right]\\
&=1
\end{align}

途中で

\lim_{\real{z}\to+\infty}(1+k/nz)^{z+k/n-1/2}=\lim_{\real{z}\to+\infty}(1+k/nz)^{z}=e^{n/k}

を適用した。

f(z)=\lim_{n\to\infty}f(z+n)=1

であり、故に

\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-1/2}}{(2\pi)^{(n-1)/2}}\prod_{k=0}^{n-1}{\Gamma{\left(z+\frac{k}{n}\right)}}

が成立する。

微分方程式 編集

(x,\ y,\ y_1,\ \ldots ,\ y_n)を変数とする多項式F(x,\ y,\ y_1,\ \ldots ,\ y_n)に対し、

F(x, y, y_1, \cdots, y_n)=0 , \quad y_i=\frac{d^i y}{dx^i}  \quad (i=1, \cdots,n)

の形で表される微分方程式を代数的微分方程式という。ガンマ関数はいかなる代数的微分方程式も満たさないことが知られている。ヘルダーが1887年に最初に証明を与えた後 [10]、ムーア[11]、オストロフスキー[12] [13]、バーンズ[14]、ハウスドルフ[15]により、別証明や一般化がなされた。

いくつかの具体的な値 編集

\Gamma\left(-\frac{3}{2}\right)\,= \frac {4\sqrt{\pi}} {3} \approx 2.363\,
\Gamma\left(-\frac{1}{2}\right)\,= -2\sqrt{\pi} \approx -3.545\,
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\,= \sqrt{\pi} \approx 1.772\,
\Gamma(1)\,=0!=1 \,
\Gamma\left(\frac{3}{2}\right)\,= \frac {\sqrt{\pi}} {2} \approx 0.886\,
\Gamma(2)\,=1!=1 \,
\Gamma\left(\frac{5}{2}\right)\,= \frac {3 \sqrt{\pi}} {4} \approx 1.329\,
\Gamma(3)\,=2!=2 \,
\Gamma\left(\frac{7}{2}\right)\,= \frac {15\sqrt{\pi}} {8} \approx 3.323\,
\Gamma(4)\,=3!=6 \,

\Gamma \left (\tfrac{n}{2} \right) = \sqrt \pi \frac{(n-2)!!}{2^{(n-1)/2}}\,,
\begin{align}
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}+n\right) &= \frac{(2n-1)!!}{2^n}\, \sqrt{\pi} = \frac{(2n)!}{4^n n!} \sqrt{\pi} \\
\Gamma\left(\tfrac{1}{2}-n\right) &= \frac{(-2)^n}{(2n-1)!!}\, \sqrt{\pi} = \frac{(-4)^n n!}{(2n)!} \sqrt{\pi} 
\end{align}
\begin{align}
\Gamma \left(n+\tfrac13 \right) &= \Gamma \left(\tfrac13 \right) \frac{(3n-2)!^{(3)}}{3^n} \\
\Gamma \left(n+\tfrac14 \right) &= \Gamma \left(\tfrac14 \right ) \frac{(4n-3)!^{(4)}}{4^n} \\
\Gamma \left(n+\tfrac{1}{p} \right ) &= \Gamma \left(\tfrac{1}{p} \right ) \frac{(pn-(p-1))!^{(p)}}{p^n}
\end{align}
\Gamma(\tfrac13) \approx 2.6789385347077476337 A073005
\Gamma(\tfrac14) \approx 3.6256099082219083119 A068466
\Gamma(\tfrac15) \approx 4.5908437119988030532 A175380
\Gamma(\tfrac16) \approx 5.5663160017802352043 A175379
\Gamma(\tfrac17) \approx 6.5480629402478244377 A220086
\Gamma(\tfrac18) \approx 7.5339415987976119047 A203142.
\Gamma(\tfrac14) = \sqrt{\sqrt{2 \pi} S},
\Gamma \left (\tfrac14 \right ) = \left(4 \pi^3 e^{2 \gamma -\mathrm{\delta}+1}\right)^{\frac14}
\Gamma(\tfrac14) = (2 \pi)^{\frac{3}{4}} \prod_{k=1}^\infty \tanh \left( \frac{\pi k}{2} \right)
\Gamma(\tfrac14) = A^3 e^{-\frac{G}{\pi}} \sqrt{\pi} 2^{\frac{1}{6}} \prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{1}{2k}\right)^{k(-1)^k}
\begin{align}
\frac{\left(\Gamma(\tfrac13) \right )^6}{12\pi^4} &= \frac{1}{\sqrt{10}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(6k)!(-1)^k}{(k!)^{3}(3k)! 3^{k}160^{3k}} \\
\frac{\left(\Gamma(\tfrac14) \right )^4}{128\pi^3} &= \frac{1}{\sqrt{u}}\, \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(6k)!(2w)^k}{(k!)^{3}(3k)! 6486^{3k}}
\end{align}\begin{align}
u &= 273+180\sqrt{2}\\
v &= 1+\sqrt{2}\\
w &= -761354780+538359129\sqrt{2} = \frac{6486^3}{2\bigl(uv^2\sqrt{2}\bigr)^3}
\end{align}\frac{\left(\Gamma(\tfrac14) \right )^4}{128\pi^3} = \frac{1}{\sqrt{u}} \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(6k)!}{(k!)^{3}(3k)!} \frac{1}{(uv^2\sqrt{2})^{3k}}. \prod_{r=1}^2 \Gamma(\tfrac{r}{3}) = \frac{2\pi}{\sqrt{3}} \approx 3.6275987284684357012 A186706
 \prod_{r=1}^3 \Gamma(\tfrac{r}{4}) = \sqrt{2\pi^3} \approx 7.8748049728612098721 A220610
 \prod_{r=1}^4 \Gamma(\tfrac{r}{5}) = \frac{4\pi^2}{\sqrt{5}} \approx 17.6552850814935242483
 \prod_{r=1}^5 \Gamma(\tfrac{r}{6}) = 4\sqrt{\frac{\pi^5}{3}} \approx 40.3993191220037900785
 \prod_{r=1}^6 \Gamma(\tfrac{r}{7}) = \frac{8\pi^3}{\sqrt{7}} \approx 93.7541682035825037970
 \prod_{r=1}^7 \Gamma(\tfrac{r}{8}) = 4\sqrt{\pi^7} \approx 219.8287780169572636207
 \prod_{r=1}^n \Gamma(\tfrac{r}{n+1}) = \sqrt{\frac{(2\pi)^n}{n+1}}
\frac{\Gamma(\tfrac{1}{5})\Gamma(\tfrac{4}{15})}{\Gamma(\tfrac{1}{3})\Gamma(\tfrac{2}{15})} = \frac{\sqrt{2}\sqrt[20]{3}}{\sqrt[6]{5} \sqrt[4]{5-\frac{7}{\sqrt{5}}+\sqrt{6-\frac{6}{\sqrt{5}}}}}[16]
\frac{\Gamma(\tfrac{1}{20})\Gamma(\tfrac{9}{20})}{\Gamma(\tfrac{3}{20})\Gamma(\tfrac{7}{20})} = \frac{\sqrt[4]{5}\left(1+\sqrt{5}\right)}{2}[17]
\Gamma(i) = \frac{G(1+i)}{G(i)} = e^{-\log G(i)+ \log G(1+i)}.
\Gamma(1 + i) = i\Gamma(i) \approx 0.498 - 0.155i
\Gamma(1 - i) = -i\Gamma(-i) \approx 0.498 + 0.155i
\Gamma(0.5 + 0.5i) \approx 0.8181639995 - 0.7633138287 i
\Gamma(0.5 - 0.5i) \approx 0.8181639995  + 0.7633138287 i
\Gamma(5 + 3i) \approx 0.0160418827 - 9.4332932898 i
\Gamma(5 - 3i) \approx  0.0160418827 + 9.4332932897 i.

不完全ガンマ関数 編集

数学において、不完全ガンマ関数(ふかんぜん-かんすう incomplete gamma function)あるいは、ルジャンドルの不完全ガンマ関数は、ガンマ関数の一般化の一つ。ガンマ関数は定積分を用いて定義されるが、不完全ガンマ関数は不定積分を用いて定義される。

定義 編集

不完全ガンマ関数には2種類あり、ガンマ関数の積分区間[0,∞]を2つに分けて以下のように定義される。

0以上の実数 x と、 実部が正の複素数 a に対し

第1種不完全ガンマ関数 \gamma(a,x)
 \gamma(a,x) = \int_0^x t^{a-1}\,e^{-t}\,dt \,\!
第2種不完全ガンマ関数 \Gamma(a,x)
 \Gamma(a,x) = \int_x^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt \,\!

性質 編集

ガンマ関数の定義は

 \Gamma(a) = \int_0^{\infty} t^{a-1}\,e^{-t}\,dt \,\!

であるから、

 \gamma(a,x) + \Gamma(a,x) = \Gamma(a) \,

となる。

また、不完全ガンマ関数の定義式に部分積分を用いることで

 \gamma(a+1,x) = a\gamma(a,x) - x^a e^{-x}\,
 \Gamma(a+1,x) = a\Gamma(a,x) + x^a e^{-x}\,

という関係が成り立つことも分かる。

さらに、以下のような式が成り立つ。

 \Gamma(a,0) = \Gamma(a)\,

 \gamma(a,x) \rightarrow \Gamma(a)
  \quad \mathrm{as\ } x \rightarrow \infty  \,

\Gamma(0,x) = -\mbox{Ei}(-x)\mbox{ for }x>0 \,
\Gamma\left({1 \over 2}, x\right) = \sqrt\pi\,\mbox{erfc}\left(\sqrt x\right) \,
\gamma\left({1 \over 2}, x\right) = \sqrt\pi\,\mbox{erf}\left(\sqrt x\right) \,
\Gamma(1,x) = e^{-x} \,
\gamma(1,x) = 1 - e^{-x} \,

ここで、

であるとする。

微分法 編集

  •  \frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial x} = - \frac{x^{a-1}}{e^x}

MeijerのG関数から[18]:

T(m,a,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ a-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right)
T(m,a,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \frac{{\rm d}^{m-2} }{{\rm d}t^{m-2} } \left[\Gamma (a-t) z^{t-1}\right]\Big|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{a-1+n}}{n! (-a-n)^{m-1} }|z| < 1
  • \frac{\partial \Gamma (a,x) }{\partial a} = \ln x \Gamma (a,x) + x\,T(3,a,x)
  • \frac{\partial^2 \Gamma (a,x) }{\partial a^2} = \ln^2 x \Gamma (a,x) + 2 x[\ln x\,T(3,a,x) + T(4,a,x) ]
  • \frac{\partial^m \Gamma (a,x) }{\partial a^m} = \ln^m x \Gamma (a,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,a,x)P_j^n = \left( \begin{array}{l} n \\ j \end{array} \right) j! = \frac{n!}{(n-j)!}.

ポリガンマ関数 編集

Polygamma function.png

実数x に対するψ(n)(x)の挙動。 オレンジがディガンマ関数、黄色がトリガンマ関数、緑がテトラガンマ関数、赤がペンタガンマ関数、青がヘキサガンマ関数に対応する。

Complex Polygamma 0.jpg

複素平面上でのディガンマ関数ψ(z)

Complex Polygamma 1.jpg

複素平面上でのトリガンマ関数ψ(1)(z)

Complex Polygamma 2.jpg

複素平面上でのテトラガンマ関数ψ(2)(z)

Complex Polygamma 3.jpg

複素平面上でのペンタガンマ関数ψ(3)(z)

数学において、ポリガンマ関数(ぽりがんまかんすう、英: polygamma function)とはガンマ関数対数微分による導関数として定義される特殊関数ディガンマ関数トリガンマ関数はポリガンマ関数の一種である。

定義 編集

ガンマ関数Γ(z )に対し、その対数微分


\psi^{(n)}(x) 
 = \frac{d^{n+1}}{dz^{n+1}} \ln{\Gamma(z)}  = \frac{d^n}{dz^n} \psi(z)

で、定義される関数をポリガンマ関数と呼ぶ。

ψ(z ), ψ(1)(z ), ψ(2)(z ), ψ(3)(z )、 ψ(4)(z )は、それぞれディ-、トリ-、テトラ-、ペンタ-、ヘキサ-ガンマ関数と呼ばれる。

ポリガンマ関数ψ(n)(z )はz =0,-1,-2,……でn+1位のをもち,それらの点を除く全複素平面では解析的になる。

漸化式 編集

ポリガンマ関数は次の漸化式を満たす。


\psi^{(n)}(z+1) = \psi^{(n)}(z) + \frac{(-1)^n n!}{z^{n+1}}

級数表示 編集

ポリガンマ関数はz ≠0, -1, -2, -3...で次の級数表示を持つ。

  • 
\psi(z) = -\gamma +\sum_{n=0}^{\infty} \biggl ( 
\frac{1}{z+n} - \frac{1}{n+1} \biggr )
  • 
\psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1} n! \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{(z+k)^{n+1}}
\qquad (n = 1,2,3, \cdots)

また、z =0でのテイラー展開により、|z |<1の領域で次のように表される。

  • 
\psi(z+1) = -\gamma +\sum_{k=2}^{\infty} (-1)^k 
\zeta(k) z^{k-1}
  • 
\psi^{(n)}(z+1) = (-1)^{n+1}  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k-1} 
(n+k-1)! \zeta(n+k) z^{k-1} }{(k-1)!}
\qquad (n = 1,2,3, \cdots)

但し、γ =0.5772...はオイラーの定数ζ(n )はリーマンゼータ関数を表す。

積分表示 編集

Rez >0のとき、ポリガンマ関数は次の積分表示を持つ。

  • 
\psi(z) = -\gamma+ \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-t}-e^{-zt}}{1-e^{-t}} dt
  • 
\psi^{(n)}(z) = (-1)^{n+1} \int_{0}^{\infty} \frac{t^ne^{-zt}}{1-e^{-t}} dt
\quad (n=1,2,\cdots)

相反公式 編集

ガンマ関数の相反公式に対し、対数微分をとることで次の関係式が導かれる。


\psi^{(n)}(1-z) + (-1)^{n+1} \psi^{(n)}(z) = \pi \frac{d^n}{dz^n} \operatorname{cot} \pi z

但し、cot πz余接関数を表す。

漸近展開 編集

z →∞ (|argz | < π)のとき、ポリガンマ関数は次の漸近展開をもつ。


\psi(z)  \sim \ln{z}- \frac{1}{2z}- \sum_{n=1}^{\infty} \frac{B_{2n}}{2nz^{2n}}


\psi^{(n)}(z)  \sim  (-1)^{(n-1)} \left( \frac{(n-1)!}{z^n}
+ \frac{n!}{2z^{n+1}}+ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{B_{2k}(2k+n-1)!}{(2k)!z^{2k+n}} \right )
\quad (n=1,2,\cdots)

但し、B2kベルヌーイ数である。

特殊値 編集

ポリガンマ関数は、m=1において、次の値をとる。

  • 
\psi(1)  = -\gamma
  • 
\psi^{(n)}(1)  = (-1)^{n+1} n! \zeta(n+1)
\quad (n=1,2,\cdots)

ポリガンマ関数は、m≧2の正の整数において、次の値をとる。

  • 
\psi(m) = -\gamma + \sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{k}
= -\gamma + H_{m-1} \qquad (m = 2,3,4, \cdots)
  • \begin{align}
&\psi^{(n)}(m) 
 =  (-1)^n n! \left \{ -\zeta(n+1)
+ \sum_{k=1}^{m-1}\frac{1}{k^{n+1}} \right \} \\
&(n = 1,2,3, \cdots,m = 2,3,4, \cdots) \\
\end{align}

但し、γ はオイラーの定数、Hm-1調和数を表す。

また、以下の等式が成り立つ。

8G+\pi^2+\psi_1\left(\frac{1}{4}\right)=0

8G+\psi_1\left(\frac{3}{4}\right)-6L_2\left(\frac{1}{6}\right)-6L_2\left(\frac{5}{6}\right)=0

\psi_1\left(\frac{5}{6}\right)-5\psi_1\left(\frac{2}{3}\right)+8L_2\left(\frac{1}{6}\right)-+8L_2\left(\frac{5}{6}\right)=0

\psi_1\left(\frac{1}{6}\right)+\psi_1\left(\frac{5}{6}\right)-4\pi^2=0

\psi_1\left(\frac{1}{4}\right)+\psi_1\left(\frac{3}{4}\right)-2\pi^2=0

3\psi_1\left(\frac{1}{6}\right)-15\psi_1\left(\frac{1}{3}\right)+4\pi^2=0

-\psi_1\left(\frac{5}{6}\right)-\psi_1\left(\frac{1}{3}\right)+4\psi_1\left(\frac{2}{3}\right)=0

-32G+4\psi_1\left(\frac{1}{4}\right)-3\psi_1\left(\frac{1}{3}\right)-3\psi_1\left(\frac{2}{3}\right)=0

3\pi^2-8G+\psi_1\left(\frac{1}{4}\right)-3\psi_1\left(\frac{1}{3}\right)-3\psi_1\left(\frac{2}{3}\right)=0

-2\psi_1\left(\frac{1}{4}\right)-2\psi_1\left(\frac{3}{4}\right)+\psi_1\left(\frac{5}{6}\right)+\psi_1\left(\frac{1}{6}\right)=0

-4\pi^3-\psi_2\left(\frac{1}{4}\right)+\psi_2\left(\frac{3}{4}\right)=0

-64\pi^3\sqrt{3}-9\psi_2\left(\frac{1}{6}\right)+63\psi_2\left(\frac{2}{3}\right)=0

-52\zeta(3)-9\psi_2\left(\frac{2}{3}\right)+\psi_2\left(\frac{5}{6}\right)=0

8\pi^3\sqrt{3}+52\zeta(3)-54\psi_2\left(\frac{1}{3}\right)+\psi_2\left(\frac{1}{12}\right)+\psi_2\left(\frac{7}{12}\right)=0

-8\psi_2\left(\frac{1}{4}\right)+\psi_2\left(\frac{1}{8}\right)+\psi_2\left(\frac{5}{8}\right)=0

階乗の逆数和 編集

階乗の逆数の総和は収斂級数

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{24}  + \frac{1}{120} + \dotsb = e

を与える(ネイピア数を参照)。この和は無理数となるけれども、階乗に適当な正整数を掛けて和が有理数となるようにすることができる:

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(n+2)n!} = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{8}+\frac{1}{30}+\frac{1}{144}+\dotsb=1.

この級数の値が 1 となることを見るには、その部分和が 1 − 1/(n+2)! であることを確認すればよい。したがって、階乗数の全体は無理列を成さない[19]

階乗の増大度 編集

n が増えるにつれて、階乗 n!n を変数とする任意の多項式函数あるいは指数函数よりも早く増加する(ただし、二重指数関数 よりは遅い)。

n! の近似式の多くは自然対数

\log n! = \sum_{x=1}^n \log x

に基づく。もっとも単純に得られる log(n!) の近似値を評価する式は、上記の式と以下の積分:

 \int_1^n \log x \, dx \leq \sum_{x=1}^n \log x \leq \int_0^n \log (x+1) \, dx

によって与えられる。積分を評価すれば

 n\log\left(\frac{n}{e}\right)+1 \leq \log n! \leq (n+1)\log\left( \frac{n+1}{e} \right) + 1

を得る。これは、ランダウの記号を用いれば log(n!) のオーダーは Θ(n log n) であることを言っているのであり、この結果はソートアルゴリズム計算量を測るのに重要な役割を果たす。さて上記の log(n!) の評価から

e\left(\frac ne\right)^n \leq n! \leq e\left(\frac{n+1}e\right)^{n+1}

がわかる。実用上はより弱い結果だがより評価のしやすいものを用いることもある。上記の式から簡単な評価をしてみると、任意の n に対して (n/3)n < n! であり、また n ≥ 6 のとき n! < (n/2)n であることなどが分かる。

大きな n に対して n! をもっとましに評価するにはスターリングの公式

n!\approx \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

を利用する。実は任意の n に対し

n! > \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

であることが証明できる[要出典]]]

log(n!) の別な近似はシュリニヴァーサ・ラマヌジャンにより

\log n! \approx n\log n - n + \frac {\log(n(1+4n(1+2n)))} {6} + \frac {\log(\pi)} {2}
= n\log n - n + \frac {\log(1 +1/(2n) +1/(8n^2))} {6} + \frac {\log (2n)} {2} + \frac {\log(\pi)} {2}.

と与えられている[20]。この近似の誤差は、スターリングの公式の次の誤差項 112n よりも小さい。

スターリングの近似 編集

Stirling&#039;s Approximation Small.png

(ln n!) と (n ln nn) は n が増大するにつれて近づいていく

スターリングの近似(英: Stirling's approximation)またはスターリングの公式(英: Stirling's formula)は、階乗、或いはガンマ関数の漸近近似である。数学者ジェイムズ・スターリングに因む。

応用上よく使われる形の公式は、ランダウの記号を用いて、

\log(n!) = n\log(n) - n +O(\log(n))

である。O(log(n)) における次の項は (1/2)log(2πn) である。よって公式のより正確な形は

n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n

である。これは漸近公式であり、スターリングの近似は

\lim_{n\to\infty} \frac{n!}{\sqrt{2\pi n} (n/e)^n} = 1

という性質を持つ。

n! の漸近近似よりもむしろ上下からの評価が必要なことがある。任意の正の整数 n に対して、

\sqrt{2\pi}\ n^{n+1/2}e^{-n} \le n! \le e\ n^{n+1/2}e^{-n}

が成り立ち、従って任意の n ≥ 1 に対して比 \frac{n!}{n^{n+1/2}e^{-n}} は常に \sqrt{2\pi} = 2.5066... A019727e = 2.71828... A001113 の間にある。

ガンマ関数 \Gamma(z) は正の整数 n に対して \Gamma(n)=(n-1)! を満たす。スターリングの近似はガンマ関数に対しても考えることができ

\Gamma(z+1)\approx\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^z\qquad(|\arg z|<\pi,|z|\gg0)

が成り立つ。これは

\lim_{z\to\infty}\frac{\Gamma(z+1)}{\sqrt{2\pi z}(z/e)^z}=1\qquad(|\arg z|<\pi)

を意味する。但し、|\arg z|=\pi に近づくにつれ近似の誤差が大きくなる(極限の収束が遅くなる)ため、応用上は反射公式などを用いて |\arg z|\le\pi/2 程度に制限することが多い。

導出 編集

初等的な方法による導出 編集

スターリングの公式の導出を厳密にするためにはオイラーの和公式、或いは鞍点法など複素解析の技法を用いる必要があるが、多少の無理を許せば初等的に導くことも可能である。先ず、階乗の対数を積分で近似する。

\log(n!)=\sum_{k=1}^{n}{\log k}
 \approx\sum_{k=1}^{n}\int_{k-1/2}^{k+1/2}\log x\, dx
 =\int_{1/2}^{n+1/2}\log x\, dx

\begin{align}
&\int_{1/2}^{n+1/2}\log x\, dx=\left[x\log{x}-x\right]_{1/2}^{n+1/2}  \\
 =&\left(n+\frac{1}{2}\right) \log\left(n+\frac{1}{2}\right)-\left(n+\frac{1}{2}\right)
-\left(\frac{1}{2}\right) \log\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2} \\
\end{align}

然し、

 \begin{align}
 \log1-\int_{1/2}^{3/2}\log x\, dx &\simeq0.045 \\
 \log2-\int_{3/2}^{5/2}\log x\, dx &\simeq0.011 \\
 \log3-\int_{5/2}^{7/2}\log x\, dx &\simeq0.005 \\
\end{align}

などという誤差があるから、定数項と誤差をまとめて log c とし、c の値は後に求める。

\log(n!)\approx\log{c}+\left(n+\frac{1}{2}\right)\log\left(n+\frac{1}{2}\right)-\left(n+\frac{1}{2}\right)

両辺の真数を取ると

n!\approx c\left(n+\frac{1}{2}\right)^{n+1/2}\left(\frac{1}{e}\right)^{n+1/2}
 =ce^{-1/2}\left(n+\frac{1}{2}\right)^{1/2}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n \left(\frac{n}{e}\right)^n

となり

\lim_{n\to\infty}\left(n+\frac{1}{2}\right)^{1/2}=n^{1/2}=\sqrt{n}

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n=e^{1/2}

であるから

n!\approx c\sqrt{n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

を得る。ウォリス積を変形して

\begin{align}
\frac{\pi}{2}=&\prod_{k=1}^{\infty}\frac{(2k)^2}{(2k+1)(2k-1)}\approx\frac{1}{2n+1}\left(\frac{(2n)!!}{(2n-1)!!}\right)^2=\frac{1}{2n+1}\left(\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n)!}\right)^2 \\
=&\frac{2^{4n}(n!)^4}{(2n+1)((2n)!)^2} \\
\end{align}

これを代入すると

\frac{\pi}{2}=\frac{2^{4n}c^4n^2(n/e)^{4n}}{(2n+1)c^2(2n)(2n/e)^{4n}}=\frac{c^2n^2}{(2n+1)(2n)}\approx\frac{c^2}{4}

n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n

を得る。

精度を改善するために

n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{\alpha}{n}+\frac{\beta}{n^2}+\frac{\gamma}{n^3}\right)

とすると

\begin{align}(n+1)!
 &\approx\sqrt{2\pi{(n+1)}}\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\left(
 1+\frac{\alpha}{n+1}+\frac{\beta}{(n+1)^2}+\frac{\gamma}{(n+1)^3}\right)\\
 &\approx\sqrt{2\pi{(n+1)}}\left(\frac{n+1}{e}\right)^{n+1}\left(
 1+\frac{\alpha}{n}-\frac{\alpha}{n^2}+\frac{\alpha}{n^3}-\frac{\alpha}{n^4}
 +\frac{\beta}{n^2}-\frac{2\beta}{n^3}+\frac{3\beta}{n^4}
 +\frac{\gamma}{n^3}-\frac{3\gamma}{n^3}+O\left(\frac{1}{n^5}\right)\right)
\end{align}

となる。然し

(n+1)!=(n+1)n!\approx(n+1)\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n
 \left(1+\frac{\alpha}{n}+\frac{\beta}{n^2}+\frac{\gamma}{n^3}\right)

であるから

\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1/2}\frac{1}{e}
 \left(1+\frac{\alpha}{n}-\frac{\alpha}{n^2}+\frac{\alpha}{n^3}-\frac{\alpha}{n^4}
 +\frac{\beta}{n^2}-\frac{2\beta}{n^3}+\frac{3\beta}{n^4}
 +\frac{\gamma}{n^3}-\frac{3\gamma}{n^3}+O\left(\frac{1}{n^5}\right)\right)
 =1+\frac{\alpha}{n}+\frac{\beta}{n^2}+\frac{\gamma}{n^3}

となるはずである。再び対数を用いる。

\begin{align}\left(n+\frac{1}{2}\right)\log\left(\frac{n+1}{n}\right)-1
 &\approx\left(n+\frac{1}{2}\right)
 \left(\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+\frac{1}{3n^3}-\frac{1}{4n^4}+\frac{1}{5n^5}-O\left(\frac{1}{n^6}\right)\right)-1\\
 &\approx\frac{1}{12n^2}-\frac{1}{12n^3}+\frac{3}{40n^4}+O\left(\frac{1}{n^5}\right)
\end{align}

\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n+1/2}\frac{1}{e}
\approx1+\frac{1}{12n^2}-\frac{1}{12n^3}+\frac{3}{40n^4}+\frac{1}{2(12n^2)^2}+O\left(\frac{1}{n^5}\right)

これを左辺に代入すると

1+\frac{\alpha}{n}+\frac{1}{n^2}\left( -\alpha+\beta+\frac{1}{12} \right)
 +\frac{1}{n^3}\left( \frac{13}{12}\alpha-2\beta+\gamma-\frac{1}{12} \right)
 +\frac{1}{n^4} \left( -\frac{7}{6}\alpha+\frac{37}{12}\beta-3\gamma+\frac{113}{1440} \right)
 +O\left(\frac{1}{n^5}\right)=1+\frac{\alpha}{n}+\frac{\beta}{n^2}+\frac{\gamma}{n^3}

となり、両辺の係数を比較して α=1/12,β=1/288,γ=-130/51840 を得る。結局、

n!\approx\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\left(1+\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2}-\frac{139}{51840n^3}\right)

を得る。

オイラーの和公式による導出 編集

オイラーの乗積表示によるガンマ関数の定義の対数をとり

\begin{align}\log\Gamma(z)&=\log\big((z-1)\Gamma(z-1)\big)\\
&=\lim_{N\to\infty}(z-1)\log{N}+\sum_{n=1}^{N}\big(\log{n}-\log{(n+z-1)}\big)\\
\end{align}

f(n)=\log{n}-\log{(n+z-1)}オイラーの和公式を適用すれば

\begin{align}\log\Gamma(z)
&=\lim_{N\to\infty}(z-1)\log{N}+\int_{n=1}^{N}f(n)dn+\frac{1}{2}\big(f(N)+f(1)\big)\\
&\qquad+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)!}\left(f^{(2k-1)}(N)-f^{(2k-1)}(1)\right)+\int_{n=1}^{N}\frac{B_{2m+1}(n-\lfloor{n}\rfloor)}{(2m+1)!}f^{(2m+1)}(n)dn\\
&=\lim_{N\to\infty}(z-1)\log{N}+\bigg[{n}\log{n}-{(n+z-1)}\log(n+z-1)\bigg]_{n=1}^{N}+\frac{1}{2}\big(\log{N}-\log{(N+z-1)}-\log{z}\big)\\
&\qquad+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)}\left(\frac{1}{N^{2k-1}}-\frac{1}{(N+z-1)^{2k-1}}-1+\frac{1}{z^{2k-1}}\right)+\int_{n=1}^{N}\frac{B_{2m+1}(n-\lfloor{n}\rfloor)}{2m+1}\left(\frac{1}{n^{2m+1}}-\frac{1}{(n+z-1)^{2m+1}}\right)dn\\
&=\lim_{N\to\infty}\left(N+z-\frac{1}{2}\right)\big(\log{N}-\log{(N+z-1)}\big)+\left(z+\frac{1}{2}\right)\log{z}\\
&\qquad+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)}\left(\frac{1}{N^{2k-1}}-\frac{1}{(N+z-1)^{2k-1}}-1+\frac{1}{z^{2k-1}}\right)+\int_{n=1}^{N}\frac{B_{2m+1}(n-\lfloor{n}\rfloor)}{2m+1}\left(\frac{1}{n^{2m+1}}-\frac{1}{(n+z-1)^{2m+1}}\right)dn\\
&=-z+1+\left(z-\frac{1}{2}\right)\log{z}-\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)}\left(1-\frac{1}{z^{2k-1}}\right)+\int_{n=1}^{N}\frac{B_{2m+1}(n-\lfloor{n}\rfloor)}{2m+1}\left(\frac{1}{n^{2m+1}}-\frac{1}{(n+z-1)^{2m+1}}\right)dn\\
\end{align}

となる。右辺の定数を集めて

C=1-\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)}+\int_{n=1}^{N}\frac{B_{2m+1}(n-\lfloor{n}\rfloor)dn}{(2m+1)n^{2m+1}}

とすれば

\log\Gamma(z)=C-z+\left(z-\frac{1}{2}\right)\log{z}+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}-\int_{n=1}^{N}\frac{B_{2m+1}(n-\lfloor{n}\rfloor)dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}

となり、この主要部をガンマ関数の反射公式に代入してz\to{i\infty}とすれば

\Gamma(z)\Gamma(1-z)=-z\Gamma(z)\Gamma(-z)=\frac{\pi}{\sin\pi{z}}
{\pi}i+\log{z}+\log\Gamma(z)+\log\Gamma(-z)-\log\sin{{\pi}z}-\log{\pi}=0
{\pi}i+\log{z}+C-z+\left(z-\frac{1}{2}\right)\log{z}+C+z+\left(-z-\frac{1}{2}\right)\left({\pi}i+\log{z}\right)-\log\sin{{\pi}z}-\log{\pi}=0
2C+\frac{{\pi}i}{2}-{\pi}iz-\log\sin{{\pi}z}-\log{\pi}=0

となるが

\log\sin{{\pi}z}=\log\left(e^{{\pi}iz}-e^{-{\pi}iz}\right)-\frac{{\pi}i}{2}-\log{2}\approx{\pi}iz-\frac{{\pi}i}{2}-\log{2}

であるから

C=\frac{\log{2\pi}}{2}

を得る。剰余項については

\alpha=\frac{2}{1+\cos(\arg{z})}

として

\begin{align}
\left|\int_{n=1}^{N}\frac{B_{2m+1}(n-\lfloor{n}\rfloor)dn}{(2m+1)(n+z-1)^{2m+1}}\right|
&\le\frac{\left|B_{2m}\right|}{2m}\int_{n=1}^{N}\frac{dn}{\left|n+z-1\right|^{2m+1}}\\
&\le\frac{\left|B_{2m}\right|}{2m\alpha^{2m+1}}\int_{n=1}^{N}\frac{dn}{(n+\left|z\right|-1)^{2m+1}}
=\frac{\left|B_{2m}\right|}{\alpha^{2m+1}\left|z\right|^{2m}}=O\left(z^{-2m}\right)\\
\end{align}

である。故に

\log\Gamma(z)=\frac{\log{2\pi}}{2}-z+\left(z-\frac{1}{2}\right)\log{z}+\sum_{k=1}^{m}\frac{B_{2k}}{(2k)(2k-1)z^{2k-1}}+O\left(z^{-2m}\right)

を得る。最初の数項を書き下せば

\log\Gamma(z)\approx\log\sqrt{2\pi}-z+\left(z-\frac{1}{2}\right)\log{z}
 +\frac{1}{12z}-\frac{1}{360z^3}+\frac{1}{1260z^5}-\frac{1}{1680z^7}+\frac{1}{1188z^9}

\Gamma(z)\approx\sqrt{\frac{2\pi}{z}}\left(\frac{z}{e}\right)^z
 \exp\left(\frac{1}{12z}-\frac{1}{360z^3}+\frac{1}{1260z^5}-\frac{1}{1680z^7}+\frac{1}{1188z^9}\right)

とやり、指数関数のテイラー展開により

\Gamma(z)\approx\sqrt{\frac{2\pi}{z}}\left(\frac{z}{e}\right)^z
 \left(1+\frac{1}{12z}+\frac{1}{288z^2}-\frac{139}{51840z^3}\right)

となる。

鞍点法による導出 編集

スターリングの公式は鞍点法の好適例とされることが多いが、実際に複素平面全体(負の実数を除く)で漸近近似が成立することを鞍点法によって示すのは困難であるから、ここではzを正の実数に限定する。ガンマ関数t=z(1+u)の置換により

\begin{align}\Gamma(z+1)
&=\int_{0}^{\infty}{t^ze^{-t}dt}\\
&=\int_{-1}^{\infty}{z^z(1+u)^ze^{-z-zu}zdu}\\
&=z^{z+1}e^{-z}\int_{-1}^{\infty}{e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}du}\\
&=z^{z+1}e^{-z}\left(\int_{-1}^{-\epsilon}{e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}du}+\int_{-\epsilon}^{\epsilon}{e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}du}+\int_{\epsilon}^{\infty}{e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}du}\right)\qquad(\epsilon\ll1)\\
\end{align}

となるが、zが十分に大きければu=0の附近が支配的であるから

\Gamma(z+1)\approx{z^{z+1}e^{-z}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}{e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}du}}\approx{z^{z+1}e^{-z}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}{e^{-zu^2/2}du}}\approx{z^{z+1}e^{-z}\int_{-\infty}^{\infty}{e^{-zu^2/2}du}}

という近似が許され、ガウス積分により

\Gamma(z+1)\approx{z^{z+1}e^{-z}\sqrt\frac{2\pi}{z}=\sqrt{2{\pi}z}\left(\frac{z}{e}\right)^z}

を得る。\epsilon=z^{-1/3}として、近似の誤差は

\begin{align}\left|\int_{-1}^{-\epsilon}e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}du\right|
&\le\frac{1}{\epsilon}\int_{-1}^{-\epsilon}\left|\frac{-u}{(1+u)}e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}\right|du=\frac{1}{\epsilon{z}}\left[e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}\right]_{-1}^{-\epsilon}\\
&=\frac{1}{\epsilon{z}}\left(e^{-z\left(\epsilon^2/2+O(\epsilon^3)\right)}\right)-0\approx{z^{2/3}}e^{-z^{1/3}/2}
\end{align}
\begin{align}\left|\int_{\epsilon}^{\infty}e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}du\right|
&\le\frac{2}{\epsilon}\int_{\epsilon}^{\infty}\left|\frac{2u}{(1+u)\epsilon}e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}\right|du=\frac{2}{\epsilon{z}}\left[-e^{-z)\left(u-\log(1+u)\right)}\right]_{\epsilon}^{\infty}\\
&=0-\frac{2}{\epsilon{z}}\left(e^{-z)\left(\epsilon^2/2+O(\epsilon^3)\right)}\right)\approx{2z^{2/3}}e^{-z^{1/3}/2}
\end{align}
\begin{align}\int_{-\epsilon}^{\epsilon}e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}du
&=\int_{-\epsilon}^{\epsilon}e^{-z\left(u^2/2-u^3/3+O(u^4)\right)}du=\int_{-\epsilon}^{\epsilon}e^{-zu^2/2}e^{z\left(u^3/3+O(u^4)\right)}du\\
&=\int_{-\epsilon}^{\epsilon}e^{-zu^2/2}\left(1+zu^3/3+zO(u^4)\right)du\\
&=\int_{-\epsilon}^{\epsilon}e^{-zu^2/2}\left(1+zO(u^4)\right)du\\
\end{align}
\left|\int_{-\epsilon}^{\epsilon}e^{-z\left(u-\log(1+u)\right)}du-\int_{-\epsilon}^{\epsilon}e^{-zu^2/2}du\right|\le\left|zO(\epsilon^4)\int_{-\epsilon}^{\epsilon}e^{-zu^2/2}du\right|=\left|O(z^{-1/3})\int_{-\epsilon}^{\epsilon}e^{-zu^2/2}du\right|

であり

{z^{2/3}}e^{-z^{1/3}/2}\ll{z^{-1/2}}\qquad(z\to\infty)

であるから

\Gamma(z+1)=\sqrt{2{\pi}z}\left(\frac{z}{e}\right)^z\left(1+O(z^{-1/3})\right)

を得る。これは

\lim_{z\to\infty}\frac{\Gamma(z+1)}{\sqrt{2{\pi}z}\left(\frac{z}{e}\right)^z}=1\qquad(|\arg{z}|<{\pi})

を示すに十分である。但し、実際の誤差はO(z^{-1})であるが、それを鞍点法で示すのは困難である。

収束の速度と誤差見積もり 編集

より正確に記すと、次のようになる。

n! = \sqrt{2 \pi n} \; \left(\frac{n}{e}\right)^{n}e^{\lambda_n}

ここで

\frac{1}{12n+1} < \lambda_n < \frac{1}{12n}.

スターリングの公式は以下の級数(スターリング級数)の近似(初項で打ち切ったもの)である。


  n!=\sqrt{2\pi n}\left({n\over e}\right)^n
  \left(
   1
   +{1\over12n}
   +{1\over288n^2}
   -{139\over51840n^3}
   -{571\over2488320n^4}
   + \cdots
  \right).

n \to \infty としたとき、省かれた級数はその最初の項とそれ以降が相殺するように漸近していく。これは漸近展開の一例である。

以下のような階乗の対数の漸近展開も「スターリング級数」と呼ぶ。


  \ln n!=n\ln n - n + {1\over 2}\ln(2\pi n)
   +{1\over12n}
   -{1\over360n^3}
   +{1\over1260n^5}
   -{1\over 1680n^7}
   +\cdots.

この場合、誤差は打ち切った級数の初項と同じ符号で同程度の大きさであることが知られている。

ガンマ関数に対するスターリングの公式 編集

すべての正の整数に対して、

n! = \Pi(n) = \Gamma(n+1)

が成り立つ。ここで Γ はガンマ関数を表す。

しかしながら、π関数 \Pi(z)=\Gamma(z+1) は、階乗とは異なり、より広く、正でない整数を除いてすべての複素数に対して定義される。それにもかかわらず、スターリングの公式をなお適用することができる。Re(z) > 0 であれば

\log(\Gamma (z)) =\left(z-\tfrac{1}{2}\right)\log(z) -z + \tfrac{1}{2}\log(2 \pi)
 +2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{\exp(2\pi t)-1}\,{\rm d}t

部分積分を繰り返すことで次が得られる

\log(\Gamma (z)) \sim \left(z-\tfrac{1}{2}\right)\log(z) -z + \tfrac{1}{2}\log(2 \pi)
 +\sum_{n=1}^\infty \frac{B_{2n}}{2n(2n-1)z^{2n-1}}

ここで Bnn 番目のベルヌーイ数である。(無限和は収束しないので、この公式は漸近展開にすぎないことに注意する。)公式はεを正数として |arg(z)| < π−ε であるときに絶対値の十分大きい z に対して成り立つ。最初の m 項が使われるとき誤差項は O(z^{-2m-1}) である。対応する近似は

\Gamma(z) = \sqrt{\frac{2 \pi}{z}}~{\left( \frac{z}{e} \right)}^z \left( 1 + O \left( \frac{1}{z} \right) \right)

のように書ける。この漸近展開のより進んだ応用は Re(z) が定数の複素変数 z に対してである。例えば直線 1/4 + it 上でリーマン・ジーゲルテータ関数の Im(z) において適用されたスターリングの公式を見よ。

ビネーの公式 編集

スターリングの公式は収束しない級数を伴うので解析的に扱いづらいが、収束しない級数を収束する積分に換えたものとしてビネーの(第二)公式がある。

\Gamma(z+1)=\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^ze^{\mu(z)},\quad
\mu(z)=2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt,\quad(\real{z}>0)

ビネーの公式は、スターリングの級数を形式的に(収束条件を無視して)操作することによっても導かれるが、厳密には対数ガンマ関数の導関数にアベル・プラナの和公式を適用して得られる。

\log\Gamma(z)=\lim_{N\to\infty}z\log{N}+\sum_{n=1}^{N}\log{n}-\sum_{n=0}^{N}\log(n+z)

\frac{d}{dz}\log\Gamma(z)=\lim_{N\to\infty}\log{N}-\sum_{n=0}^{N}\frac{1}{n+z}

\frac{d^2}{dz^2}\log\Gamma(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+z)^2}

\real{z}>0ならf=(n+z)^{-2}は右半平面において正則であるからプラナの和公式により

\begin{align}\frac{d^2}{dz^2}\log\Gamma(z)
 &=\int_0^\infty \frac{1}{(n+z)^2}dt+\frac{1}{2z^2}+i\int_0^\infty \frac{(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t}-1}dt\\
 &=\frac{1}{z}+\frac{1}{2z^2}+i\int_0^\infty \frac{(z+it)^{-2}-(z-it)^{-2}}{e^{2\pi t}-1}dt\\
\end{align}

積分して

\frac{d}{dz}\log\Gamma(z)=C_1+\log{z}-\frac{1}{2z}
 +i\int_0^\infty \frac{-(z+it)^{-1}+(z-it)^{-1}}{e^{2\pi t}-1}dt

\begin{align}\log\Gamma(z)
 &=C_2+C_1z+z\log z-\frac{\log z}{2}+i\int_0^\infty \frac{-\log{(z+it)}+\log{(z-it)}}{e^{2\pi t}-1}dt\\
 &=C_2+C_1z+\left(z-\frac{1}{2}\right)\log z+2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt\\
\end{align}

\real{z}>0なら|\tan(t/z)|<Mは有界であるから

\begin{align}
\left|\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt\right|
 &\le\left|\int_0^{|z|^{1/2}}\frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt\right|
 +\left|\int_{|z|^{1/2}}^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt\right|\\
 &\le\int_0^{|z|^{1/2}}\frac{\sum_{k=1}^\infty |t/z|^kdt}{2\pi{t}}
 +M\int_{|z|^{1/2}}^\infty \frac{e^{2\pi}dt}{(e^{2\pi}-1)e^{t}e^{2\pi}}\qquad(|z|>1)\\
 &\le\int_0^{|z|^{1/2}}\frac{dt}{2\pi(|z|-t)}+\frac{Me^{2\pi}}{e^{2\pi}-1}\int_{t=|z|^{1/2}}^\infty e^{-2\pi t}dt\\
\end{align}

\lim_{z\to\infty}\left|\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt\right|
 \le\lim_{z\to\infty}\frac{1}{2\pi}\Big[\log\left(|z|-t\right)\Big]_0^{|z|^{1/2}}
 +\lim_{z\to\infty}\frac{Me^{2\pi}}{2\pi\left(e^{2\pi}-1\right)}\Big[-e^{-2\pi t}\Big]_{|z|^{1/2}}^\infty
=0

である。 スターリングの公式と比較して積分定数を求め

\log\Gamma(z)=\frac{1}{2}\log2\pi-z+\left(z-\frac{1}{2}\right)\log{z}
 +2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt

真数に直して

\Gamma(z+1)=z\Gamma(z)=\sqrt{2\pi z}\left(\frac{z}{e}\right)^ze^{\mu(z)},\quad
\mu(z)=2\int_0^\infty \frac{\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}dt,\quad(\real{z}>0)

を得る。なお、ビネーの公式を元にして部分積分を繰り返すとスターリングの級数が得られる。

収束級数形式のスターリングの公式 編集

トーマス・ベイズの John Canton への書簡が1763年に王立協会により公表されている。それによると、スターリングの公式は収束級数ではないとされていた[2]

スターリングの公式の収束級数形式を得るには以下を評価する。

\int_0^\infty \frac{2\arctan(t/z)}{\exp(2\pi t)-1}\, dt
 =\ln\Gamma (z) - \left( z-\frac12 \right) \ln z +z - \frac12\ln(2\pi)

1つの方法として、階乗冪の逆数の収束級数を使う方法がある。z^{\overline n} = z(z+1) \cdots (z+n-1) としたとき、次のようになる。

\int_0^\infty \frac{2\arctan(t/z)}{\exp(2\pi t)-1} \, dt
 =\sum_{n=1}^\infty \frac{c_n}{(z+1)^{\overline n}}

ここで

c_n =\frac{1}{n} \int_0^1 x^{\overline n} \left( x-\frac{1}{2} \right)\, dx

である。以上から次のようなスターリング級数が得られる。

 \begin{align}
\ln \Gamma (z) &= \left( z-\frac{1}{2} \right) \ln z -z + \frac{1}{2}\ln(2\pi) \\
 &\quad +\frac{1}{12(z+1)} + \frac{1}{12(z+1)(z+2)} + \frac{59}{360(z+1)(z+2)(z+3)} + \frac{29}{60(z+1)(z+2)(z+3)(z+4)} + \cdots
\end{align}

これは、\Re(z)>0 のとき収束する。

計算機向けの変形 編集

ガンマ関数の(関数電卓などの)計算機向けの近似として次の式がある。

\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z} } \left( \frac{z}{e} \sqrt{ z \sinh \frac{1}{z}  + \frac{1}{810z^6} } \right)^{z},

これは、次と同等である。

2 \ln \Gamma(z) \approx \ln(2 \pi) - \ln z + z \left(2 \ln z + \ln \left( z \sinh \frac{1}{z}  + \frac{1}{810z^6} \right) - 2 \right),

これらはスターリングの公式を組み替えて、その結果生じる冪級数と双曲線正弦関数のテイラー展開の間の合致を観察することで得られる。この近似は z の実数部が 8 以上のとき、小数点以下 8 桁を超える精度を持つ。2002年、Robert H. Windschitl がリソースの制限された計算機(電卓など)でのそれなりの正確性を持った近似としてこれを示した(参考文献の 'Toth' 参照)。

Gergő Nemes は 2007年にほぼ同程度の結果を与える近似式を提案した。こちらはより単純である。

\Gamma(z) \approx \sqrt{\frac{2 \pi}{z} } \left( \frac{1}{e} \left( z + \frac{1}{12z- \frac{1}{10z}} \right) \right)^{z},

これは、次と同等である。

 \ln \Gamma(z) \approx \frac{1}{2} \left(\ln(2 \pi) - \ln z \right) 
+ z \left(\ln \left( z + \frac{1}{12z- \frac{1}{10z}} \right)-1\right).

歴史 編集

この公式を最初に発見したのはアブラーム・ド・モアブルで、次のような形式だった。

n!\sim [{\rm constant}]\cdot n^{n+1/2} e^{-n}

スターリングの貢献は定数が \sqrt{2\pi} であることを示したことである。より正確な形式は Jacques Binet が見出した。

スターリングの近似の「一次」バージョン n!=n^n は、マックス・プランクが1901年の黒体放射の論文で使用した。これは多量の光子や振動子についての黒体放射エネルギーの方程式にリンクしている。この近似は量子論でよく使われ、例えばピーター・デバイとルイ・ド・ブロイも使っている。アルベルト・アインシュタインとサティエンドラ・ボースは違う方式を採用した。非常に大きな n について確率分布をグラフに描画してみると、両者はほぼ平行になる。

連続変数への補間 編集

ガンマ函数とパイ函数 編集

Generalized factorial function.svg

階乗函数は負の整数を除く任意の実数に対するものに一般化することができる。例えば * 0! = 1! = 1, * (−1/2)! = π, * (1/2)! = π/2.

負の整数を除けば、階乗函数は非整数の値に対しても定義することができるが、そのためには解析学の道具立てが必要である。そのように階乗の値を「補間」して得られるものの一つがガンマ函数 Γ(z) である(ただし引数が 1 だけずれる)。これは負の整数を除く任意の複素数 z に対して定義される。z の実部が正である場合には

\Gamma(z)=\int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\, dt

で与えられる。ガンマ函数と階乗との関係は、任意の自然数 n に対して

n!=\Gamma(n+1)

が成り立つことである。オイラーのもともとの定義式は

\Gamma(z)=\lim_{n\to\infty}\frac{n^zn!}{\displaystyle\prod_{k=0}^n (z+k)}

である。ガウスの導入した別表記として、負でない実数 z に対するパイ函数 Π(z)

\Pi(z)=\int_0^\infty t^{z} e^{-t}\,dt

を満たす。ガンマ函数との関係は

\Pi(z) = \Gamma(z+1)

である。

\Pi(n) = n!\text{ for }n \in \mathbf{N}

が成り立つことを思えば、こちらのほうが階乗を補完した函数としては適していると言えるかもしれない。さてパイ函数は階乗が満たすのと同じ漸化式

\Pi(z) = z\Pi(z-1)

を、しかし定義される限り任意の複素数 z に対して満たす。事実としてはこれはもう漸化式ではなくて函数等式と見るべきものであるが。この函数等式をガンマ函数に関するものに書き換えれば

\Gamma(n+1)=n\Gamma(n)

となる。階乗を延長したものがパイ函数なのだから、定義可能な任意の複素数 z に対して

z! := \Pi(z)

と定めることは可能である。これらの補間函数を用いて半整数における階乗の値をさだめるならば、例えば

\Gamma\left (\frac{1}{2}\right )=\left (-\frac{1}{2}\right )!=\Pi\left (-\frac{1}{2}\right ) = \sqrt{\pi}

が成り立ち、さらに自然数 n ∈ N に対して

\Gamma\left (\frac{1}{2}+n\right ) = \left (-\frac{1}{2}+n\right )! = \Pi\left (-\frac{1}{2}+n\right ) = \sqrt{\pi} \prod_{k=1}^n {2k - 1 \over 2} = {(2n)! \over 4^n n!} \sqrt{\pi} = {(2n-1)! \over 2^{2n-1}(n-1)!} \sqrt{\pi}

が得られる。例えば

\Gamma\left (4.5 \right ) = 3.5! = \Pi\left (3.5\right ) = {1\over 2}\cdot{3\over 2}\cdot{5\over 2}\cdot{7\over 2} \sqrt{\pi} = {8! \over 4^4 4!} \sqrt{\pi} = {7! \over 2^7 3!} \sqrt{\pi} = {105 \over 16} \sqrt{\pi} \approx 11.63.

同様に n ∈ N に対して

\Gamma\left (\frac{1}{2}-n\right ) = \left (-\frac{1}{2}-n\right )! = \Pi\left (-\frac{1}{2}-n\right ) = \sqrt{\pi} \prod_{k=1}^n {2 \over 1 - 2k} = {(-4)^n n! \over (2n)!} \sqrt{\pi}

が成り立ち、例えば

\Gamma\left (-2.5 \right ) = (-3.5)! = \Pi\left (-3.5\right ) = {2\over -1}\cdot{2\over -3}\cdot{2\over -5} \sqrt{\pi} = {(-4)^3 3! \over 6!} \sqrt{\pi} = -{8 \over 15} \sqrt{\pi} \approx -0.9453.

パイ函数が殆ど全ての複素数値に対して定義される階乗の延長として唯一のものであるかは確かなことではない、それは定義される限り解析的としても同じことである。しかし、ふつうはこれが階乗の複素函数への最も自然な延長であるものと考える。例えば、ボーア・モレルップの定理はガンマ函数が Γ(1) = 1 かつ函数等式 Γ(n + 1) = nΓ(n) を満足する、ガウス平面の全域で有理型かつ実軸の正の部分で対数凸となるような唯一の函数であることを述べる。同様の主張はパイ函数に関しても、函数等式 Π(n) = nΠ(n − 1) に関して述べられる。

そうは言うものの、解析的函数論の意味で恐らくより簡明な、階乗の値を補間する複素函数は存在する。例えばアダマールの「ガンマ」函数[21]はガンマ函数とは異なり整函数になる[22]

オイラーはまた非整数の階乗に対する近似無限乗積

\begin{align}n! = \Pi(n) &= \prod_{k = 1}^\infty \left(\frac{k+1}{k}\right)^n\!\!\frac{k}{n+k} \\ &= \left[ \left(\frac{2}{1}\right)^n\frac{1}{n+1}\right]\left[ \left(\frac{3}{2}\right)^n\frac{2}{n+2}\right]\left[ \left(\frac{4}{3}\right)^n\frac{3}{n+3}\right]\cdots. \end{align}

についても考察している。これは上記のガンマ函数に関する公式と同じものと見做すことができる。しかしこの公式は収束が遅く、実用的な意味でパイ函数やガンマ函数の値を計算することに利用することはできない。

ガウス平面上での挙動 編集

Factorial05.jpg

複素変数に対する階乗の絶対値と偏角を、単位長さ間隔で −3 ≤ x ≤ 3, −2 ≤ y ≤ 2 の範囲で描いた等高線。太くなぞった等高線は φ = ±π である。

複素変数の階乗の値をガンマ函数による表現を通して評価することができる。絶対値 ρ と偏角 φ を用いて

f=\rho \exp(i\varphi)=(x+iy)!=\Gamma(x+iy+1)

と書けば、絶対値一定曲線 ρ = (定数) と偏角一定曲線 φ = (定数) を等値線として格子を描くことができる。一定間隔で引いた等値線の間にさらに細かく等値線を引けば、それが補間で得られる値である。極である負の整数においては絶対値と偏角が定義できず、またその周辺で等値線は密になる。

展開の係数の最初の方
n gn 近似値
0 1 1
1 −γ −0.5772156649
2 \frac{\pi^2}{12}+\frac{\gamma^2}{2} 0.9890559955
3 -\frac{\zeta(3)}{3}-\frac{\pi^2\gamma}{12}-\frac{\gamma^3}{6} −0.9074790760
γオイラー・マスケローニ定数ζリーマンゼータ函数である。

|z| < 1 に対してはテイラー展開

z!=\sum_{n=0}^{\infty} g_n z^n

が利用できる。この展開のより多くの項は、Sageのような計算機代数システムで計算できる。

階乗の近似 編集

展開の係数 an[23]
n an
0 112
1 130
2 53210
3 195371
4 2299922737
5 2994452319733142
6 10953524100948264275462

大きな値に対する階乗の値の近似をディガンマ函数の積分を通じて連分数表示を用いて記述できる。この方法はスティルチェスによる[24]もので、z! = exp(P(z)) と書けば P(z)

 P(z) = p(z) + \log(2\pi)/2 - z + \left(z+\frac{1}{2}\right)\log(z)

で、スティルチェスはこの第一項 p(z) の連分数展開


p(z)=\cfrac{a_0}{z+
\cfrac{a_1}{z+
\cfrac{a_2}{z+
\cfrac{a_3}{z+\ddots}}}}

を与えた。

さて、任意の複素数 z ≠ 0 に対して log(z!) = P(z) あるいは log(Γ(z + 1)) = P(z) とするのは誤りであり[要出典]]]、実際には実軸の近くの特定の範囲の z でしか成り立たない(一方 |ℑ(Γ(z + 1))| < π である。引数の実部は大きいほど、虚部はより小さくなければならない。しかし逆の関係式 z! = exp(P(z)) は原点を除くガウス平面の全域で有効である。ただし実軸の負の部分では収束性は弱くなる[要出典]]](特異点の周辺ではどのような近似もよい収束性を得ることが難しい)。一方、|ℑ(z)| > 2 または ℜ(z) > 2 の範囲では上記の六つの係数は ​double​ 精度の複素数に対してその階乗の近似値を得るのに十分である。より高い精度でより多くの係数を計算するには rational QD-scheme (H. Rutishauser's QD algorithm)[25]を用いる。

負の整数に対する拡張不能性 編集

関係式 n! = n × (n − 1)! を使えばある整数に対する階乗をそれより「小さい」整数の階乗から計算できる。この関係式を逆に使えば、「大きい」整数に対して与えられた階乗から

(n-1)! = \frac{n!}{n}

と計算することも可能である。しかし注意すべきは、これでは負の整数に関する階乗を計算することはできないということである(この式に従って (−1)! を計算するには零除算が必要となりこれ以下の負の整数における階乗の値の計算は不可能となる)。このことはガンマ函数においても同じことで、ガンマ函数は負の整数を除くガウス平面の全域において定義できるにも拘らず、負の整数における値だけは定義することができない。

一般化 編集

多重指数記法 編集

多重指数\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)に対し階乗は、

\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!

と定義できる。これは例えば、多変数関数の展開に使われる。

デデキント環への拡張 編集

マンジュル・バルガヴァは階乗を一般のデデキント環上で定義し、いくつかの古典的な問題を解決するために用いた[26]。それらの階乗は整数ではなく、イデアルとなる。

階乗に類似する概念 編集

二重階乗の例
(-9)!! = 1105
(-7)!! = −115
(-5)!! = 13
(-3)!! = −1
(-1)!! = 1
0!! = 1
1!! = 1
2!! = 2
3!! = 3
4!! = 8
5!! = 15
6!! = 48
7!! = 105
8!! = 384
9!! = 945
10!! = 3840
11!! = 10395
12!! = 46080
13!! = 135135
14!! = 645120
15!! = 2027025
16!! = 10321920
17!! = 34459425
18!! = 185794560
19!! = 654729075
20!! = 3715891200

二重階乗 編集

階乗の類似として、二重階乗 n!! は自然数 n に対し一つ飛ばしに積を取る。二重階乗 n!! は階乗 n! の二回反復合成 (n!)! とは異なる。

(2n)!!=(2n)(2n-2)\cdots(2)=2^n n!
(2n+1)!!=(2n+1)(2n-1)\cdots(1)=\frac{(2n+1)!}{(2n)!!}

奇数 n = 1, 3, 5, 7, … に対する二重階乗の最初の方の値は

1, 3, 15, 105, 945, 10395, 135135, …, オンライン整数列大辞典の数列 A001147

偶数 n = 0, 2, 4, 6, 8, … に対する二重階乗の値の最初の方は

1, 2, 8, 48, 384, 3840, 46080, 645120, … オンライン整数列大辞典の数列 A000165

で与えられる。

負の奇数にも拡張される((-(2n+1))!! = \frac{(-1)^n}{(2n-1)!!} )。また、複素数値への拡張として、以下が知られている[27]

z!!={2}^{[1+2z-\cos(\pi z)]/4}{\pi}^{ [\cos (\pi z)-1 ]/4}\Gamma (1+\frac{1}{2} z)

多重階乗 編集

より一般に多重階乗 (multifactorial) は、連続した整数の積である通常の階乗 n!、一つ飛ばしの積である二重階乗 n!!、二つ飛ばしの積である三重階乗 n!!! または n!3、三つ飛ばしの四重階乗 n!!!! または n!4 などを総称して言う。一般の k-重階乗 n!k は正整数 n に関して帰納的に

  n!_k= \begin{cases}
 n &\text{if }0\le n<k;\\
 n\,((n-k)!_k) &\text{if }n\ge k
\end{cases}

と定義できる。

これとは異なる多重階乗の定義として

z!^{(k)} = z(z-k)\cdots (k+1)
= k^{(z-1)/k}\left(\frac{z}{k}\right)\left(\frac{z-k}{k}\right)\cdots \left(\frac{k+1}{k}\right)
= k^{(z-1)/k} \frac{\Gamma\left(\frac{z}{k}+1\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{k}+1\right)}\,.

とするものもある。

階乗冪 編集

nk-順列の総数 nkn から始めて上から k 個の連続する整数の積を取るある意味で不完全な階乗と呼べる階乗の類似物であった。これを下降階乗冪と呼ぶ。その反対に n から始めて下から k 個の連続する整数の積をとったもの nk上昇階乗冪といい、これら二つを総称して階乗冪と呼ぶ。ただし一般に整数 n ではなく実数 x を変数として考えることが多い。

\begin{align} 
 x^{\underline{n}} & =\prod_{k=0}^{n-1}(x-k)\\
 x^{\overline{n}} &=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)
\end{align}

明らかに自然数 n に対して

n^{\underline{k}} = \frac{n!}{(n-k)!},\quad n^{\overline{k}}=\frac{(n+k-1)!}{(k-1)!},
 n!= n^{\underline{n}} = 1^{\overline{n}}.

また実数 x ≠ 0 に対して

x^{\underline{0}}=x^{\overline{0}}=1

だが x = 0 のときは定義されない。

素数階乗 編集

素数階乗 (Primorial) n# は最初の n-個の素数の総乗

n\# = \prod_{i=1}^{n} p_i

である[28]オンライン整数列大辞典の数列 A002110

これは、素数が無限に存在するという命題の証明に用いられることがある。

superfactorial (1) 編集

Clifford Pickover 版の超階乗superfactorial)は、階乗を入れ子に拡張したものである。ドル記号$を用いて書かれる。

n\$={}^{n!}n! = \underbrace{n!^{n!^{\scriptstyle n!^{{\textstyle\,\cdot}^{{\textstyle\,\cdot}^{{\textstyle\,\cdot\,}^{\scriptstyle n!}}}}}}}_{n!}

nが3以上になると、非常に大きい値になる。

これとは異なる種類の超階乗 (superfactorial) の定義がある(次節参照)。

superfactorial (2) 編集

ニール・スローンとサイモン・プラウフは、スーパー階乗superfactorial)をThe Encyclopedia of Integer Sequences (N.J.A. Sloane 1995) の中で定義した。例として、4のスーパー階乗は次のようになる。

 \mathrm{sf}(4)=1! \times 2! \times 3! \times 4!=288. \,

一般的にスーパー階乗は下の式で定義される。


  \mathrm{sf}(n)
  =\prod_{k=1}^n k! =\prod_{k=1}^n k^{n-k+1}
  =1^n\cdot2^{n-1}\cdot3^{n-2}\cdots(n-1)^2\cdot n^1.

次のような定義もある。


  \mathrm{sf}(n)
  =\prod_{0 \le i < j \le n} (j-i)

最初のいくつかの値は、次のようになる[29]

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, 125411328000, ……

スーパー階乗は、複素数値にも拡張できる。その結果はバーンズのG関数と呼ばれる。定義は次のようになる。

 G(z+1)=(2\pi)^{z/2} \text{exp}\left(- \frac{z+z^2(1+\gamma)}{2} \right) \, \prod_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(1+\frac{z}{k}\right)^k \text{exp}\left(\frac{z^2}{2k}-z\right) \right\}

自然数に対しては、以下が成り立っている。

G(n+2)= \mathrm{sf}(n)=\begin{cases} 0&\text{if }n=-1,-2,\dots\\ \prod_{i=0}^{n} i!&\text{if }n=0,1,2,\dots\end{cases}

hyperfactorial 編集

ハイパー階乗hyperfactorial)は、以下で定義される。

  H(n)= \prod_{k=1}^n k^k= 1^1\cdot2^2\cdot3^3\cdots(n-1)^{n-1}\cdot n^n

これはとても大きくなっていく。最初のいくつかの値はつぎの通りである[30]

1, 4, 108, 27648, 86400000, ……

ハイパー階乗は定義域を複素数にまで拡張できる。それはK函数と呼ばれ、以下で定義される。

K(z)=(2\pi)^{(-z+1)/2} \exp\left[\begin{pmatrix} z\\ 2\end{pmatrix}+\int_0^{z-1} \ln(t!)\,dt\right].

自然数nに対し、次が成り立つ。

K(n+1)=1^1\, 2^2\, 3^3 \cdots n^n.

exponential factorial 編集

exponential factorial [* 3] n!(感嘆符は右肩に添字として書く)は

n^! = \begin{cases}
1 & (n = 0)\\
n^{{(n-1)}^!} & (n > 0) 
\end{cases}

で与えられる。つまり、自然数 n に対して

n^! = n_{}^{(n-1)^{{(n-2)}^{.\,^{.\,^{.\,^{{3}^{{2}^{1}}}}}}}}

であり、最初の5つの値は次のようになる。

0! = 1, 1! = 1, 2! = 2, 3! = 9, 4! = 262144, ……オンライン整数列大辞典の数列 A049384

5! の値は十進展開で183231桁にも及ぶきわめて大きな自然数であり、これ以降も非常に大きくなる。 全ての自然数のexponential factorialの逆数の総和は、

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^!} =1.611114925808376736\underbrace{11\cdots11}_{183213}272243\cdots

となる。この数は、超越数であり、リウヴィル数である[32]

また、高次exponential factorialが定義される。例として、二次exponential factorialは、

n^{!!} = n^{{!}^{2}} = {n^{{!}{(n-1)^{{!}{{(n-2)}^{{!}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!}{2^{{!}{1^!}}}}}}}}}}}}}}

となる。一般の m-次 exponential factorial は、

n^{{!}^{m}} = n^{{{!}^{(m-1)}{(n-1)}^{!^{m}}}} = {n^{{!^{(m-1)}}{(n-1)^{{!^{(m-1)}}{{(n-2)}^{{!^{(m1)}}{{.}^{{.}^{{.}^{3^{{!^{(m-1)}}{2^{{!^{(m-1)}}{1^{!^{(m-1)}}}}}}}}}}}}}}}}

で与えられる。ただし、n, m は自然数である。

脚注 編集

注釈 編集

  1. Graham & Knuth Patashnik, p. 111
  2. Biggs, pp. 109−136
  3. Stedman 1677, pp. 6–9
  4. Stedman 1677, p. 8
  5. Higgins, p. 12
  6. http://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-01-single-variable-calculus-fall-2006/lecture-notes/lec4.pdf
  7. Wolfram mathworld: Gamma Function
  8. Springer Online Reference Works: Gamma-function
  9. Schmelzer & Trefethen (2007), Computing the Gamma function using contour integrals and rational approximations
  10. Otto Ludwig Hölder, "Über die Eigenschaft der Gammafunction keiner algebraischen Differentialgleichung zu genügen," Math. Ann., 28, (1887) pp. 1–13.
  11. Eliakim Hastings Moore, "Concerning transcendentally transcendental functions," Math. Ann., 48 (1897), pp. 49–74.
  12. A. Ostrowski, "Neuer Beweis der Hölderschen Satzes, dass die Gammafunktion keiner algebraischen Differntialgleichung genügt." Math. Ann. 79 (1919), pp. 286–288.
  13. A. Ostrowski, "Zum Hölderschen Satz über Γ(x). Math. Ann. 94 (1925), pp. 248–251.
  14. E. W. Barnes, "The theory of the Gamma function," Messenger of Math. 29 (1900), pp. 64–128.
  15. F. Hausdorff, "Zum Hölderschen Satz über Γ(x)," Math. Ann. 94 (1925), pp. 244–247.
  16. Raimundas Vidūnas, Expessions for Values of the Gamma Function
  17. Weisstein, Eric W., "Gamma Function" - MathWorld.(英語)
  18. K.O. Geddes, M.L. Glasser, R.A. Moore and T.C. Scott, Evaluation of Classes of Definite Integrals Involving Elementary Functions via Differentiation of Special Functions, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), vol. 1, (1990), pp. 149-165, [1]
  19. Guy 2004, p. 346
  20. Ramanujan 1988, p. 339
  21. Hadamard 1894
  22. Peter Luschny, Hadamard versus Euler - Who found the better Gamma function?.
  23. Digital Library of Mathematical Functions, http://dlmf.nist.gov/5.10
  24. Hadamard 1894
  25. Peter Luschny, On Stieltjes' Continued Fraction for the Gamma Function..
  26. The Factorial Function and Generalizations
  27. Weisstein, Eric W., "Double Factorial" - MathWorld.(英語)
  28. Weisstein, Eric W., "Primorial" - MathWorld.(英語)
  29. オンライン整数列大辞典の数列 A000178
  30. オンライン整数列大辞典の数列 A002109
  31. 巨大数研究 Wiki 指数階乗
  32. Sondow, Jonathan, "Exponential Factorial" - MathWorld.(英語)
  1. The publisher is given as "W.S." who may have been William Smith, possibly acting as agent for the Society of College Youths, to which society the "Dedicatory" is addressed.[3]
  2. このような(n, m)を、ブラウン数 (英: Brown numbers) と呼ぶ。
  3. 中国語: 阶幂(階冪)、指数階乗[31]

出典 編集


参考文献 編集


関連項目 編集


外部リンク 編集

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