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数学において、超幾何級数(ちょうきかきゅうすう、hypergeometric series)は、一般に

$ _rF_s\left[\begin{matrix}a_1,a_2,\dots,a_r\\b_1,b_2,\dots,b_s\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a_1)_n(a_2)_n\dots(a_r)_n}{(b_1)_n(b_2)_n\dots(b_s)_n\;n!}z^n $

の形式で表される級数である[1]。但し、

$ \begin{align} &(x)_0=1\\ &(x)_n=\prod_{k=0}^{n-1}(x+k)\\ \end{align} $

ポッホハマー記号である。古典的にはガウスの超幾何関数

$ F(a,b,c;z)={_2F_1}\left[\begin{matrix}a,b\\c\end{matrix};z\right]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n $

を単に超幾何級数という。なお、厳密にいうと、右辺の級数が超幾何級数であり、左辺の記号は級数の和によって定義される超幾何関数を表すものである。

ラマヌジャンの恒等式

$ {}_3F_2\left(\begin{matrix}\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2} \\ 1,1 \end{matrix},-1\right)=\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n {}_{2n}C_n}{64^n}=\frac{\Gamma^2(\frac{9}{8})}{\Gamma^2(\frac{5}{4})\Gamma^2(\frac{7}{8})} $

この恒等式のことをラマヌジャンの恒等式という。[2]

q-超幾何級数

q-類似を参照。

出展

  1. Weisstein, Eric W., "Hypergeometric Series" - MathWorld.(英語)
  2. pi314.net