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定義

空でない集合 $ G $$ G $上の二項演算 $ \cdot $ が以下を満たすとき、組 $ (G,\cdot) $(group)と呼ぶ。

  • $ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) $ (結合則)
  • ある $ e \in G $ が存在し、$ e\cdot a=a=a\cdot e $ をみたす (単位元の存在)
  • 任意の $ a \in G $ に対し、$ b \in G $ が存在して $ a\cdot b=e=b\cdot a $ をみたす (逆元の存在)

$ e $$ G $ の単位元と呼ばれる。$ b $$ a $ の逆元と呼ばれる。

さらに、任意の $ a,b \in G $$ a \cdot b = b \cdot a $をみたすとき(交換則) 、$ G $可換群またはアーベル群(abelian group)と呼ぶ。

性質

  • 単位元はただ一つ存在する。
  • 任意の $ a \in G $ に対し、その逆元はただ一つ存在する。$ a $の逆元は $ a^{-1} $ と表記される。
  • 任意の $ a \in G $ に対し、$ (a^{-1})^{-1} = a $ が成り立つ。
  • 任意の $ a,b,c \in G $ に対し、$ a \cdot b=a \cdot c $ ならば $ b=c $ が成り立つ。$ b \cdot a = c \cdot a $ ならば $ b=c $ が成り立つ。

補足

関連項目