定義
空でない集合 $ G $と $ G $上の二項演算 $ \cdot $ が以下を満たすとき、組 $ (G,\cdot) $ を群（group）と呼ぶ。
- $ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) $ (結合則)
- ある $ e \in G $ が存在し、$ e\cdot a=a=a\cdot e $ をみたす (単位元の存在)
- 任意の $ a \in G $ に対し、$ b \in G $ が存在して $ a\cdot b=e=b\cdot a $ をみたす (逆元の存在)
$ e $ は $ G $ の単位元と呼ばれる。$ b $ は $ a $ の逆元と呼ばれる。
さらに、任意の $ a,b \in G $ が $ a \cdot b = b \cdot a $をみたすとき（交換則） 、$ G $を可換群またはアーベル群（abelian group）と呼ぶ。
性質
- 単位元はただ一つ存在する。
- 任意の $ a \in G $ に対し、その逆元はただ一つ存在する。$ a $の逆元は $ a^{-1} $ と表記される。
- 任意の $ a \in G $ に対し、$ (a^{-1})^{-1} = a $ が成り立つ。
- 任意の $ a,b,c \in G $ に対し、$ a \cdot b=a \cdot c $ ならば $ b=c $ が成り立つ。$ b \cdot a = c \cdot a $ ならば $ b=c $ が成り立つ。
補足
- 有限生成アーベル群は巡回群の直積と同型である事が知られている（有限生成アーベル群の基本定理）。
- 群はマグマと呼ばれる代数的構造に属している。
