群 | 数学 Wiki | Fandom powered by Wikia

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定義編集

空でない集合 $G$ と $G$ 上の二項演算 $\cdot$ が以下を満たすとき、組 $(G,\cdot)$ を群（group）と呼ぶ。

$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ (結合則)
ある $e \in G$ が存在し、 $e\cdot a=a=a\cdot e$ をみたす (単位元の存在)
任意の $a \in G$ に対し、 $b \in G$ が存在して $a\cdot b=e=b\cdot a$ をみたす (逆元の存在)

$e$ は $G$ の単位元と呼ばれる。 $b$ は $a$ の逆元と呼ばれる。

さらに、任意の $a,b \in G$ が $a \cdot b = b \cdot a$ をみたすとき（交換則）、 $G$ を可換群またはアーベル群（abelian group）と呼ぶ。

性質編集

単位元はただ一つ存在する。
任意の $a \in G$ に対し、その逆元はただ一つ存在する。 $a$ の逆元は $a^{-1}$ と表記される。
任意の $a \in G$ に対し、 $(a^{-1})^{-1} = a$ が成り立つ。
任意の $a,b,c \in G$ に対し、 $a \cdot b=a \cdot c$ ならば $b=c$ が成り立つ。 $b \cdot a = c \cdot a$ ならば $b=c$ が成り立つ。

補足編集

有限生成アーベル群は巡回群の直積と同型である事が知られている（有限生成アーベル群の基本定理）。
群はマグマと呼ばれる代数的構造に属している。

関連項目編集

「http://ja.math.wikia.com/wiki/%E7%BE%A4?oldid=2310」より作成

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