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定義 編集

空でない集合 GG上の二項演算 \cdot が以下を満たすとき、組 (G,\cdot)(group)と呼ぶ。

  • (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c) (結合則)
  • ある e \in G が存在し、e\cdot a=a=a\cdot e をみたす (単位元の存在)
  • 任意の a \in G に対し、b \in G が存在して a\cdot b=e=b\cdot a をみたす (逆元の存在)

eG の単位元と呼ばれる。ba の逆元と呼ばれる。

さらに、任意の a,b \in Ga \cdot b = b \cdot aをみたすとき(交換則) 、G可換群またはアーベル群(abelian group)と呼ぶ。

性質 編集

  • 単位元はただ一つ存在する。
  • 任意の a \in G に対し、その逆元はただ一つ存在する。aの逆元は a^{-1} と表記される。
  • 任意の a \in G に対し、(a^{-1})^{-1} = a が成り立つ。
  • 任意の a,b,c \in G に対し、a \cdot b=a \cdot c ならば b=c が成り立つ。b \cdot a = c \cdot a ならば b=c が成り立つ。

補足 編集

関連項目 編集

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