である場合、を考えた場合、である場合、aはbの約数と呼ぶ。
このとき、記号ではと書く。
また約数でない場合、と表記する。
正の整数のみを考えている時には、単に「約数」というとき、「正の約数」を意味することがある。ここで、正の約数とは、約数であり、かつ正の整数である数を言う。
命題[]
のとき、 なら、 である[]
証明[]
仮定は である。
このとき、もしnが0であると仮定した場合、aは0になるので矛盾する。従って、nも同様にということがわかる。
このとき、仮定でnは整数であるとしたわけだから、同様にである。「1が最小の正の整数である」という公理より、 になる。
上の事実を利用し、を考えると、整数の性質によりになる。
とすると、絶対値aの最大は絶対値bを取ることがわかる。そして、のとき、になることはない。
従って、 のとき、 なら、 である。
の場合、 である[]
まず、、の場合の式を考える。これらはそれぞれ
と考えることができる。同様にの式は
となる。このときだったので
とすることができる。約数に注目した場合、 は と見ることができる。