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$ a, b \in \mathbb{Z}, a \neq 0 $である場合、$ b = an $を考えた場合、$ n \in \mathbb{Z} $である場合、aはbの約数と呼ぶ。

このとき、記号では$ a \mid b $と書く。

また約数でない場合、$ a \nmid b $と表記する。

正の整数のみを考えている時には、単に「約数」というとき、「正の約数」を意味することがある。ここで、正の約数とは、約数であり、かつ正の整数である数を言う。

命題

$ a,b \in \mathbb{Z} \setminus {0} $ のとき、 $ a \mid b $ なら、$ |b| \le |a| $ である

証明

仮定は $ a = bn, a \neq 0, b \neq 0 $ である。

このとき、もしnが0であると仮定した場合、aは0になるので矛盾する。従って、nも同様に$ n \neq 0 $ということがわかる。

このとき、仮定でnは整数であるとしたわけだから、同様に$ |n| \in \mathbb{Z} $である。「1が最小の正の整数である」という公理より、$ |n| \ge 1 $ になる。

上の事実を利用し、$ b = an, n = 1 $を考えると、整数の性質により$ b = 1a = a $になる。

とすると、絶対値aの最大は絶対値bを取ることがわかる。そして、$ |a| = |b||n| $のとき、$ |a| < |b| $になることはない。

従って、$ a , b \in \mathbb{Z} \setminus {0} $ のとき、 $ a \mid b $ なら、$ |b| \le |A| $ である。

$ a \mid b, b \mid c $の場合、 $ a \mid c $ である

 まず、$ a \mid b $$ a \mid c $の場合の式を考える。これらはそれぞれ

  • $ b = an, n \in \mathbb{Z} $
  • $ c = bm, m \in \mathbb{Z} $

 と考えることができる。同様に$ a \mid c $の式は

  • $ c = ao \in \mathbb{Z} $

 となる。このとき$ c = bm $だったので

  • $ bm = ao $

 とすることができる。約数に注目した場合、$ b \mid c $$ a \mid c $と見ることができる。