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a, b \in \mathbb{Z}, a \neq 0 である場合、b = anを考えた場合、n \in \mathbb{Z}である場合、aはbの約数と呼ぶ。

このとき、記号ではa \mid bと書く。

また約数でない場合、 a \nmid b と表記する。

正の整数のみを考えている時には、単に「約数」というとき、「正の約数」を意味することがある。ここで、正の約数とは、約数であり、かつ正の整数である数を言う。

命題 編集

a,b \in \mathbb{Z} \setminus {0} のとき、  a \mid b なら、 |b| \le |a| である 編集

証明 編集

仮定は  a = bn, a \neq 0, b \neq 0 である。

このとき、もしnが0であると仮定した場合、aは0になるので矛盾する。従って、nも同様に n \neq 0 ということがわかる。

このとき、仮定でnは整数であるとしたわけだから、同様に|n| \in
 \mathbb{Z}である。「1が最小の正の整数である」という公理より、|n| \ge 1 になる。

上の事実を利用し、b = an, n = 1を考えると、整数の性質によりb = 1a = a になる。

とすると、絶対値aの最大は絶対値bを取ることがわかる。そして、 |a| = |b||n|のとき、|a| < |b| になることはない。

従って、a , b \in \mathbb{Z} \setminus {0} のとき、  a \mid b なら、 |b| \le |A| である。

 a \mid b, b \mid c の場合、  a \mid c である 編集

 まず、a \mid ba \mid cの場合の式を考える。これらはそれぞれ

  • b = an, n \in \mathbb{Z}
  • c = bm, m \in \mathbb{Z}

 と考えることができる。同様に a \mid c の式は

  • c = ao \in \mathbb{Z}

 となる。このときc = bmだったので

  • bm = ao

 とすることができる。約数に注目した場合、 b \mid c a \mid c と見ることができる。

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