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量子力学における確率流束とは、時間変化による存在確率の空間的な流れを表すベクトル量である。

連続の方程式から、確率流束jは次の式で表されるとわかる。(もしくは次の式が定義であるとすると、連続の方程式を満たす。)

\mathbf{j}=\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\nabla \Psi-\Psi\nabla \Psi^*)

導出過程 編集

ボルンの確率解釈に従えば確率密度は\rho=|\Psi|^2であるので、連続の式に従って確率流束を求める。

\begin{array}{rcl}
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\mathbf{j}&=&0\\
\nabla\cdot\mathbf{j}&=&-\frac{\partial \rho}{\partial t}\\
&=&-\frac{\partial}{\partial t}|\Psi|^2\\
&=&-\frac{\partial}{\partial t}(\Psi^*\Psi)\\
&=&-\Psi^*\frac{\partial}{\partial t}\Psi-\Psi\frac{\partial}{\partial t}\Psi^*\\
\end{array}

ここで、シュレーディンガー方程式

i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi+U\Psi

とその複素共役

-i\hbar\frac{\partial \Psi^*}{\partial t}=\frac{\hbar^2}{2m}\Delta\Psi^*+U\Psi^*

を用いて、 \begin{array}{rcl}
\nabla\cdot\mathbf{j}&=&-\Psi^*\frac{\partial}{\partial t}\Psi-\Psi\frac{\partial}{\partial t}\Psi^*\\
&=&-\Psi^*\left(\frac{i\hbar}{2m}\Delta\Psi-\frac{i}{\hbar}U\Psi\right)-\Psi\left(-\frac{i\hbar}{2m}\Delta\Psi^*+\frac{i}{\hbar}U\Psi^*\right)\\
&=&-\Psi^*\frac{i\hbar}{2m}\Delta\Psi+\frac{i}{\hbar}U\Psi^*\Psi+\Psi\frac{i\hbar}{2m}\Delta\Psi^*-\frac{i}{\hbar}U\Psi^*\Psi\\
&=&\frac{i\hbar}{2m}(\Psi\Delta\Psi^*-\Psi^*\Delta\Psi)\\
\end{array}

ここで、ベクトル解析の公式\nabla\cdot(f\mathbf{F})=f\nabla\cdot\mathbf{F}+(\nabla f)\cdot\mathbf{F}より、\mathbf{F}=\nabla gとすると、

\begin{array}{rcl}
\nabla\cdot(f\nabla g)&=&f \Delta g +(\nabla f)(\nabla g)\\
f \Delta g&=&(\nabla f)(\nabla g)-\nabla\cdot(f\nabla g)\\
\end{array}

これより、

\begin{array}{rcl}
\nabla\cdot\mathbf{j}&=&\frac{i\hbar}{2m}(\Psi\Delta\Psi^*-\Psi^*\Delta\Psi)\\
&=&\frac{i\hbar}{2m}((\nabla \Psi)(\nabla \Psi^*)-\nabla\cdot(\Psi\nabla \Psi^*)-(\nabla \Psi^*)(\nabla \Psi)+\nabla\cdot(\Psi^*\nabla \Psi))\\
&=&\frac{i\hbar}{2m}(\nabla\cdot(\Psi^*\nabla \Psi)-\nabla\cdot(\Psi\nabla \Psi^*))\\
&=&\nabla\cdot\left(\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\nabla \Psi-\Psi\nabla \Psi^*)\right)\\
\end{array}

これより、確率流束は

\mathbf{j}=\frac{i\hbar}{2m}(\Psi^*\nabla \Psi-\Psi\nabla \Psi^*)

であることがわかった。

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