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とは、集合に、加法 (+) と乗法 (\cdot) と呼ばれるその集合上の二つの演算が備わった代数系である。を集合と一つの演算からなる順序対 (G,\cdot) として捉えることができたように、環を三つ組の順序対 (R,+,\cdot) として捉えることができる。

加法と乗法を持つ集合 (R,+,\cdot) が環であるとは、次の性質を満たすことをいう。

  1. 加法の可換性すべての a,b\in R について、a+b=b+a
  2. 加法と乗法両方の結合性 — すべての a,b,c\in R について、(a+b)+c=a+(b+c) かつ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)
  3. 加法単位元 — すべての a\in R について a+0=a となるような、加法単位元と呼ばれる「ゼロ」の要素 0\in R存在する
  4. 加法逆元 — それぞれの a\in R について、a+b=0 となるような a の加法逆元と呼ばれる b\in R が存在する
  5. 分配法則 — すべての a,b,c\in R について、a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c
  6. 加法と乗法の閉包 — すべての a,b\in R について、 a+b\in R かつ a\cdot b\in R

このような構造のプロトタイプとなっているのは、整数(\mathbb{Z},+,\cdot)である。

2つの元の積 a \cdot bはしばしば abと略記される。 また、乗法と加法が組み合わさった表記においては、加法が括弧で囲まれていない限りは、乗法の演算が優先される。つまり、 a + bc + d = a + \left(bc\right) + dといった具合である。

a \in Rの加法の逆元を -a と表記する. さらに, 減算と呼ばれる演算を a - b = a + \left(-b\right) で定義する.

追加の性質編集

上述の環の公理に加えて、環 R は次のような性質を持ちうる。

  • R可換環であるとは、乗法が可換であることをいう: ab = ba (任意の a,b\in R)
  • R単位元を持つ環単位的環) であるとは、乗法の単位元 1\in Rが存在することをいう: 1a=a=a1 (任意の a\in R)
    • さらに、単位元を持つ可換環 R であるとは、0 以外の任意の元が乗法の逆元を持つことをいう: 任意の0でない元 a \in Rに対して, 元 b\in Rab = ba = 1をみたすものが存在する. このときの b を a の逆元と呼び、 a^{-1} と表す。
  • R整域であるとは、R が単位元を持つ可換環であり、次のゼロ乗算ルールをみたすことをいう: 任意の a,b \in Rについて, ab = 0 ならば a  = 0 または b = 0.

重要な結果編集

Rの公理から、 次が得られる。

  • \left(R,+\right)はアーベル群である
  • 0a = 0 (任意の a \in R)
  • a\left(-b\right) = \left(-a\right)b = -\left(ab\right) (任意の a, b \in R)
  • \left(-a\right)\left(-b\right) = ab \quad (任意の a, b \in R)
  • 1Rの単位元とするとき、
    • \left(-1\right)a = -a \quad (任意の a \in R)
    • \left(-1\right)\left(-1\right) = 1
  • 減算の分配法則が成り立つ: a(b-c)=ab-ac (任意の a,b,c \in R)

部分構造, 写像と商編集

例と結果編集

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