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正の整数

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正の整数とは、x \in \mathbb{Z} かつ x \in \mathbb{N}のときに、x \neq 0でありx > 0を満たすものである。

具体的な数として、1, 2, 3が挙げられる。

公理 編集

1は最小の正の整数である 編集

「すべての空ではない正の整数の集合は最小の整数を含む」というのを、正の整数の性質として仮定した場合、当然正の整数全体に対しても、同様のことが言える。そのとき、「1は最小の正の整数である」という公理を作ることができる。

この公理は整数の離散性を表すための重要な公理である。また、この公理を認めることにより、n \in \mathbb{Z}に対してn < mを満たす最小のmが確定する。

派生する命題 編集

上記に書いたとおり、この公理を認めることにより、n \in \mathbb{Z}に対してn < mを満たす最小のmが確定する。

m > n  m - n > 0 である。

 m - n = aとする場合、a > 0で最小の数は、上記の公理により1になる。

従って、m - n > 0 の最小の数は1になる。

このとき、 m - n = 1 とおける。そのため、任意の数nの次に大きい整数は

 n + 1

となる。このことにより、b \in \mathbb{Z}であるbがあり、なおかつ|b - a|  < 1 であるならば、b = aとなる。

これは、b - a = cと置いた場合、|c| < 1 の範囲は-1 < c < 1 となる。このとき、 c \in \mathbb{Z} であるとした場合、任意の整数において、次に大きい整数はc + 1であるわけだから、少なくとも c < z < c + 1, z \in \mathbb{Z} を満たすzは存在しない。また、同様に、 c - 1 < z < c も存在しない。

まとめると、正の整数の範囲、ならびに負の整数の範囲において、  |b - a| < 1 を満たす整数は存在しない。しかし、絶対値は0をとることができる。

ならば、|b - a| < 1は、実質的に|b - a| = 0となる。

0であるということは、同値による引算であるわけだから、 b = aだということがわかる。

上記の証明からわかるように、|b| < 1 である正の整数と、負の整数は存在しない。従って、|b| < 1 が明確な場合は、b = 0だということがわかる。同時に、 b \neq 0 であるときは、|b| \le 1になる。

0は正の整数か? 編集

 上記の定義において、正の整数において、0は含まれないという定義になっている。しかし、必ずしもこの定義が採用されているわけではない。

 例えば、アンドレ・ヴェイユは、正の有理数を定義する場合、下のような定義を採用している。

  x \ge 0

 同様に、負の有理数は下の定義を採用している。

  x \le 0

 このとき、0は、正でも負でもあるという扱いになる。この定義を受け入れた場合、数学的帰納法に影響を与える。数学的帰納法の開始が0からの証明になる。

正の整数は非負か? 編集

 正の整数と言えば、非負であると思いがちであるが、非負ではない。非負、というのは正の整数と一致しない。

 まず負の整数をx \in \mathbb{Z} かつ x \in \mathbb{N}のときに、x \neq 0でありx > 0と定義する。

 このとき、非負は 0 \le x であり、0を含む。しかし、正の整数の定義上、0は含まれない。従って、非負は正の整数とは一致しない。

 したがって、非負は正の整数ではない。また、同様に、0が正の整数でもあり、負の整数でもあるとした場合、非負は0を除外する。しかし、正の整数は0を含んでいる。やはり矛盾する。

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