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正の整数とは、$ x \in \mathbb{Z} $かつ$ x \in \mathbb{N} $のときに、$ x \neq 0 $であり$ x > 0 $を満たすものである。

具体的な数として、1, 2, 3が挙げられる。

公理

1は最小の正の整数である

「すべての空ではない正の整数の集合は最小の整数を含む」というのを、正の整数の性質として仮定した場合、当然正の整数全体に対しても、同様のことが言える。そのとき、「1は最小の正の整数である」という公理を作ることができる。

この公理は整数の離散性を表すための重要な公理である。また、この公理を認めることにより、$ n \in \mathbb{Z} $に対して$ n < m $を満たす最小のmが確定する。

派生する命題

上記に書いたとおり、この公理を認めることにより、$ n \in \mathbb{Z} $に対して$ n < m $を満たす最小のmが確定する。

$ m > n $$ m - n > 0 $である。

$ m - n = a $とする場合、$ a > 0 $で最小の数は、上記の公理により1になる。

従って、$ m - n > 0 $の最小の数は1になる。

このとき、$ m - n = 1 $ とおける。そのため、任意の数nの次に大きい整数は

$ n + 1 $

となる。このことにより、$ b \in \mathbb{Z} $であるbがあり、なおかつ$ |b - a| < 1 $であるならば、$ b = a $となる。

これは、$ b - a = c $と置いた場合、$ |c| < 1 $の範囲は$ -1 < c < 1 $ となる。このとき、$ c \in \mathbb{Z} $ であるとした場合、任意の整数において、次に大きい整数は$ c + 1 $であるわけだから、少なくとも$ c < z < c + 1, z \in \mathbb{Z} $を満たすzは存在しない。また、同様に、$ c - 1 < z < c $も存在しない。

まとめると、正の整数の範囲、ならびに負の整数の範囲において、 $ |b - a| < 1 $ を満たす整数は存在しない。しかし、絶対値は0をとることができる。

ならば、$ |b - a| < 1 $は、実質的に$ |b - a| = 0 $となる。

0であるということは、同値による引算であるわけだから、$ b = a $だということがわかる。

上記の証明からわかるように、$ |b| < 1 $である正の整数と、負の整数は存在しない。従って、$ |b| < 1 $が明確な場合は、$ b = 0 $だということがわかる。同時に、$ b \neq 0 $ であるときは、$ |b| \le 1 $になる。

0は正の整数か?

 上記の定義において、正の整数において、0は含まれないという定義になっている。しかし、必ずしもこの定義が採用されているわけではない。

 例えば、アンドレ・ヴェイユは、正の有理数を定義する場合、下のような定義を採用している。

 $ x \ge 0 $

 同様に、負の有理数は下の定義を採用している。

 $ x \le 0 $

 このとき、0は、正でも負でもあるという扱いになる。この定義を受け入れた場合、数学的帰納法に影響を与える。数学的帰納法の開始が0からの証明になる。

正の整数は非負か?

 正の整数と言えば、非負であると思いがちであるが、非負ではない。非負、というのは正の整数と一致しない。

 まず負の整数を$ x \in \mathbb{Z} $かつ$ x \in \mathbb{N} $のときに、$ x \neq 0 $であり$ x > 0 $と定義する。

 このとき、非負は$ 0 \le x $であり、0を含む。しかし、正の整数の定義上、0は含まれない。従って、非負は正の整数とは一致しない。

 したがって、非負は正の整数ではない。また、同様に、0が正の整数でもあり、負の整数でもあるとした場合、非負は0を除外する。しかし、正の整数は0を含んでいる。やはり矛盾する。