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最小公倍数とは、$ a, b \neq 0 $のときに、a, bの正の公倍数の中で最小の整数を指す。式に直すと

$ x = an, n \in \mathbb{Z} x = bm, m \in \mathbb{Z} $

 が成り立つ最小のxのことを言う。

 記号だと、$ \operatorname{lcm}(a, b) $と表記する。

定義の正当化

一番単純な公倍数として$ |ab| $を考える。これは必ず公倍数になる。

そして、アルキメデスの公理を認めたさい、$ 0 < |ab| $の整数は有限である。このとき、仮に$ 0 < |ab| $の範囲にある整数が存在しないと考える。このとき、一番最初に出てくる公倍数は$ |ab| $である。これはa, bが素の場合において成立するが、この性質については後記する。

次に、$ 0 < |ab| $の範囲に、a, bの公倍数があると考える。このとき、「空ではない整数の集合には必ず最小の整数が存在している」と仮定した。$ 0 < |ab| $の範囲に公倍数が存在するということは、最小の整数も存在しているということである。従って、公倍数が存在するとき、仮定により、最小の公倍数も存在する。従って、この定義は正当化される。

具体例

$ \operatorname{lcm}(12, 16) $のときを考えてみよう。このとき、

  • x = 12n
  • x = 16m

つまり、$ 12n = 16m $である整数を探せばよい。このとき、12と16の倍数を羅列すれば

  • 12n = 12, 24, 36, 48, 60 ...
  • 16m = 16, 32, 48, 54, 70 ...

となる。このとき、xを満たす最小の数は48である。従って、$ \operatorname{lcm}(12, 16) = 48 $である。