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Wikipedia記事「順序数の演算 」の内容を噛み砕いて説明しようと思います。(順序数で説明するからややこしいのであって、整列集合でまず説明する方がいいと思った)

2つの整列集合 $ A,B $ が与えられたとき、その和、積、べき乗を定義することができます。$ A,B $ の和、積、べき乗は各々が再び整列集合になります。

以下 $ A,B $ を整列集合とする。

まず $ A $$ B $ の非交和 $ A\sqcup B $ を考える。

非交和(disjoint union)とは集合の和 $ A\cup B $ と似た演算ですが、集合 $ A $$ B $ に同じ元があるときにもそれらを違う元とみなして和集合をとる操作のことです。例えば

$ \{2,3,4\} \cup \{1,2,3\} = \{1,2,3,4\},\quad \{2,3,4\} \sqcup \{1,2,3\} = \{2,3,4,1',2',3'\}. $

この $ A\sqcup B $ に全順序を入れよう。$ A\sqcup B $ の元 $ x,y $ に対して、

$ x \le y :\Leftrightarrow $$ x,y\in A $ かつ $ x \le y $」または「$ x,y\in B $ かつ $ x \le y $」または「$ x\in A $, $ y\in B $

と定める。このとき $ A\sqcup B $ は全順序集合になり、さらに整列集合になることがわかります。このような全順序の備わった整列集合 $ A\sqcup B $$ A+B $ と書き、整列集合 $ A $$ B $と言います。

まず $ A $$ B $ の直積集合($ A $ の元と $ B $ の元の組全体の集合 ) $ A \times B = \{(a,b); a\in A, b\in B\} $ を考える。

この $ A \times B $ に全順序を入れよう。$ A \times B $ の元 $ (a,b),(a',b') $ に対して、

$ (a,b) \le (a',b') :\Leftrightarrow $$ (a,b) = (a',b') $」または「$ b< b' $」または「$ b=b' $ かつ $ a<a' $

と定める。

これは「まず $ B $ で勝負して、それで決まらなかったら $ A $ で勝負する」という順序であり、$ (a,b) $ のうちの $ b $ の大きさの方が $ a $ の大きさより重要なことがわかります。

このとき $ A\times B $ は全順序集合になり、さらに整列集合になることがわかります。このような全順序の備わった整列集合 $ A\times B $ を整列集合 $ A $$ B $と言います。

べき乗

まず 集合のべきについて定義します。集合 $ X $ と集合 $ Y $ のべき $ X^Y $ を、$ Y $ から $ X $ への写像全体と定義します。つまり、$ X^Y = \{f; f: Y \rightarrow X \} $$ X $$ Y $ が有限集合のときは、$ X^Y $ の元の個数は ($ X $の元の個数)^($ Y $の元の個数) に等しくなることがわかります。

さて、整列集合ももちろん集合なので、$ A $$ B $ のべき $ A^B $ が作れます。 注意したいのは、この $ A^B $ に整列集合の構造をいれるのではないということです。 $ A^B $ の代わりに、その部分集合 $ F(A,B) $ を次で定めます。

$ F(A,B) = \{f\in A^B; f(b)\neq 0 $ となる $ b $ は有限個 $ \} $

この $ F(A,B) $ に全順序を入れよう。$ F(A,B) $ の元 $ f,g : B \rightarrow A $ に対して、

$ f \le g :\Leftrightarrow f=g $ または 「$ f\neq g $ かつ $ f(b) \neq g(b) $ となる最大の $ b $ について、$ f(b)<g(b) $

と定める。このとき $ F(A,B) $ は全順序集合になり、さらに整列集合になることがわかります。このような全順序の備わった整列集合 $ F(A,B) $ を整列集合 $ A $$ B $と言います(?)。

wikipedia では 順序数 $ \alpha, \beta $ に相当する整列集合 $ A,B $ をとり、上述の整列集合 $ F(A,B) $ を定め、$ F(A,B) $ に相当する順序数のことを $ \alpha^\beta $ と書いて「$ \alpha $$ \beta $ 乗」と呼んでいます。上に(?)を付けたのは、整列集合の世界で $ A $$ B $ 乗という言い方をしてもいいのか微妙な感じがしたからです(集合のべきと紛らわしいし…)。

$ F(\mathbb{N},\mathbb{N}) $整列集合記事の例2に出てくる $ Y $順序同型です。同型写像は次のように作ります:

$ F(\mathbb{N},\mathbb{N}) \ni f \mapsto (f(0),f(1),f(2),\ldots) \in Y $