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完全数

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完全数(かんぜんすう,英: perfect number)とは、その数自身を除く約数の和が、その数自身と等しい自然数のことである。例えば 6 (= 1 + 2 + 3)、28 (= 1 + 2 + 4 + 7 + 14) や496が完全数である。『聖書』の研究者は、最初の完全数が 6 なのは「神が6日間で世界を創造した」こと(天地創造)、次の完全数が 28 なのは「月の公転周期が28日である」ことと関連があると考えていたとされる[1]。2013年2月現在、発見されている完全数はメルセンヌ素数と同じく48個である。紀元前より考察されている対象であるにもかかわらず、「偶数の完全数が無数に存在するか?」、「奇数の完全数は存在するか?」、「末尾が6か8以外の完全数は存在するか?」、という問題は未解決である。

完全数の定義より、完全数の正の約数の総和は元の数の2倍に等しい。すなわち、n が完全数であるとは、約数関数 σ に対して σ(n) = 2n を満たすことであると表現できる。

概要 編集

完全数はメルセンヌ素数と関係が深く、Mn (= 2n − 1) が素数ならば 2n−1Mn が完全数であることが、ユークリッドによって証明されている[2]。このことから、紀元前には、21(22 − 1) = 6, 22(23 − 1) = 28, 24(25 − 1) = 496, 26(27 − 1) = 8128 が完全数であることが知られていた。また、メルセンヌ素数 2n − 1 に対応する完全数 2n − 1(2n − 1) は 2n − 1 番目の三角数でもある。

その後、オイラーが登場するまでは、212(213 − 1) = 33550336, 216(217 − 1) = 8589869056, 218(219 − 1) = 137438691328 が完全数であることが発見されただけであった。オイラーは、全ての偶数の完全数が、メルセンヌ素数に対応するものであることを示した。これによって、偶数の完全数を探すことは、メルセンヌ素数を探すことと同等であることが分かった。また、オイラーは 231 − 1 が素数であることを確かめ、その結果 230(231 − 1) が完全数であることを示した。

リュカは19年かけて39桁の自然数 2127 − 1 が素数であることを確かめ、その結果、77桁の完全数を発見した。2127 − 1 は、手計算で発見された素数のうち、最大のものである。現代においては、メガ素数の発見にはコンピュータが用いられる。特に、メルセンヌ素数の発見においては、分散コンピューティングによるプロジェクト GIMPS が有名であり、35個目以降の完全数の発見は全て GIMPS によるものである。

完全数は、小さい順に

6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, …(オンライン整数列大辞典の数列 A000396

である。知られている完全数の一覧についてはメルセンヌ数を参照のこと。

またこれらの完全数の約数の和は

12, 56, 992, 16256, 67100672, 17179738112, …(オンライン整数列大辞典の数列 A139256

である。

  • 6以外の完全数は奇数の立方和で表せることが知られている。(例.28=13+33、496=13+33+53+73)
  • 完全数の約数の逆数の総和は 2 になる。
  • 完全数の和の数列がある。 6, 34, 530, 8658, 33558994,… (オンライン整数列大辞典の数列 A092336)

偶数の完全数 編集

Mn = 2n − 1 が素数のとき、2n−1Mn の正の約数は 1, 2, 4, …, 2n−2, 2n−1, Mn, 2Mn, 4Mn, …, 2n−2Mn, 2n−1Mn である。これらのうち 2n−1Mn 自身を除く総和

\sum_{k=0}^{n-1} 2^k + \sum_{k=0}^{n-2}2^k M_n = M_n +(2^{n-1}-1) M_n = 2^{n-1} M_n

となる。したがって 2n−1Mn は完全数である。このタイプが無数に存在するか否か、すなわち Mn = 2n − 1 が素数となる n が無数に存在するか否かは未解決である。

また逆に偶数の完全数が 2n−1Mn の形に限られることもオイラーによって以下のように証明されている。

Nを偶数の完全数とする。Nが2でn回割れるとすると、N=2^nK(ただしnは自然数、Kは奇数) とおける。2 とKは互いに素であるので、Nの正の約数の総和σ(N)は以下のようになる。

\begin{align} 
\sigma (N) &= \sigma (2^n) \ \sigma (K) &=( 2^{n+1} -1) \ \sigma(K)
\end{align}

Nが完全数ならば\sigma(N) = 2N=2^{n+1}K なので

(2^{n+1}-1)\sigma (K) = 2^{n+1}Kでなければならない。

2^{n+1}-1は奇数のため2で割れず、式が成立するためには、\sigma (K)2^{n+1}で割れなければならない。\sigma (K)=2^{n+1}aとする。代入すれば

(2^{n+1}-1)a = K

もし a \ne 1 なら、1a(2^{n+1}-1)aKの約数のため、

\sigma (K) \ge 1 + a + (2^{n+1}-1)a=2^{n+1}a+1=\sigma (K)+1

となって矛盾が発生してしまうため、a=1でならなければならない。このため、Nが完全数であるためには、

K=2^{n+1}-1かつ\sigma (K)=2^{n+1}=K+1

\sigma (K)=K+1よりKは、K1以外に約数がない素数でなければならない。

逆に2^{n+1}-1が素数であれば、

N=2^n(2^{n+1}-1)は、\sigma (N)=\sigma(2^n)\sigma(2^{n+1}-1)=(2^{n+1}-1)2^{n+1}=2Nより完全数。

ゆえに偶数の完全数 N は、 N = 2n(2n+1 − 1)(ただし2n+1 − 1 は素数)の形に限られる。

奇数の完全数 編集

奇数の完全数が存在するか否かは未解決であるが、約数関数がmultiplicativeであることから、二平方数の和である事が古くから知られていた。もし奇数の完全数 N が存在すれば、N は以下の各条件を満たさなければならないことが知られている。

計算機を用いないで得られた条件 編集

  • N素因数分解qαp12e1 ... pk2ek の形である。ここで q, p1 < p2 < … < pk は相異なる素数で q ≡ α ≡ 1 (mod 4) を満たす[3]
    • N < 24k+1 である[4]
    • p_1 < \frac{2}{3} k+2 である[5]。また、2 ≤ i ≤ 6 のとき pi < 22i−1(ki + 1) である[6]
    • e1e2 ≡ … ≡ ek ≡ 1 (mod 3) ではない[7]
    • e1 = e2 = … = ek = β とすると、k ≤ 4β2 + 2β + 2 である[8]
    • N ≡ 1 (mod 12) もしくは   N \equiv \frac{1}{2} \cdot 3^{2 e_1} (3^{2e_1+1}-1) (mod 2・32e1(32e1+1 − 1)) である[9][10][11][12]

計算機を用いて得られた条件 編集

  • N > 10300 である[13]
  • N は少なくとも9個の相異なる素因数を持つ[14]
    • これは2006年に発表されたものであるが、「7個」の場合は1972年までにカール・ポメランスによって示され、「8個」の場合は1980年頃に Chein[15] と Hagis[16] によってほぼ同時に示されており、その後多くの数学者の努力[17]にもかかわらず、26年もの間「9個」の場合は示されなかった。
  • N が 3 で割り切れない場合は、少なくとも12個の素因数を持つ[14]。3 でも 5 でも割り切れない場合は15個以上の、3 でも 5 でも 7 でも割り切れない場合は27個以上の相異なる素因数を持つ[18]
  • N は重複も数えて少なくとも75個の素因数を持つ[19]
  • N は 108 より大きい素因数を持つ[20]
    • これは2006年に発表されたものであるが、より古い下界としては2003年の 107[21]や、1998年の 106[22]などがある。
  • N の2番目に大きな素因数は 104 より大きい[23]
  • N の3番目に大きな素因数は 100 より大きい[24]
  • 上記で e1 = e2 = … = ek = β とすると、β は 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 12, 14, 17, 18, 24, 62 ではない[25][26]

関連する数 編集

約数の和を考えることで特徴付けられる数の種類には他にも次のようなものがある。完全数と併せて、これらの名称には古代ギリシャの数秘学の影響が見られる。

不完全数 (imperfect number)
完全数以外の全ての自然数を不完全数という
不足数 (deficient number)

不足数(ふそくすう、英: deficient number)は、自然数のうち、その正の約数総和が元の数の2倍より小さい数のことである。この不足数の定義は「その数自身を除く正の約数の総和が元の数より小さくなるような数」と同値である。例えば15の約数の総和は 1+3+5+15=24<15×2 であるので15は不足数である。もしくは「15の自身を除く約数の総和は 1+3+5=9<15 であるので15は不足数」と考えてもよい。約数関数("σ(n)"と表記)では σ(n)<2n を満たすnが不足数である。 不足数は無数に存在し、そのうち最小のものは1である。

不足数を1から小さい順に列記すると

1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 29, 31, … (オンライン整数列大辞典の数列 A005100

全ての素数pは約数の和が σ(p)=1+p<2p である不足数である。また素数 p≧5 を2倍した偶数2pの約数の和は σ(2p)=1+2+p+2p<2×2p となるので不足数である。素数は無数にあるので偶数の不足数も奇数の不足数も無数に存在する。また不足数や完全数の約数は全て不足数となる。

過剰数 (abundant number)

過剰数(かじょうすう、英: abundant number)は、自然数で、その正の約数総和が元の数の2倍より大きい数のことである。この過剰数の定義は「その数自身を除く正の約数の総和が元の数より大きくなるような数」と同値である。例えば20の約数の総和は 1+2+4+5+10+20=42>20×2 であるので20は過剰数である。もしくは「20の自身を除く約数の総和は 1+2+4+5+10=22>20 であるので20は過剰数」と考えてもよい。約数関数では σ(n)>2n を満たすnが過剰数である。

過剰数は全て合成数で無数に存在し、そのうち最小のものは12である。

過剰数を12から小さい順に列記すると

12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, … (オンライン整数列大辞典の数列 A005101

奇数の過剰数のうち最も小さい数は945である(σ(945)=1920>945×2)。過剰数もしくは完全数の倍数は全て過剰数であり、したがって偶数の過剰数も奇数の過剰数も無数に存在する。また全ての擬似完全数は完全数もしくは過剰数である。ほとんどの過剰数は擬似完全数でもあり、そうでない過剰数は不思議数とよばれる。

自然数のうち過剰数が占める割合は0.2474から0.2480の間であると証明されている。

20161より大きい整数は2つの過剰数の和で表すことができる。

20が過剰数なので、その倍数つまり下2桁が 00,20,40,60,80 である数は全て過剰数となる。

超過剰数(superabundant number)

超過剰数(ちょうかじょうすう、:superabundant number)は自然数で、m<n である全ての自然数mに対して

\frac{\sigma(m)}{m} < \frac{\sigma(n)}{n}

を満たす自然数nである。ただしσは約数関数である。例えば12は σ(12)/12 = (1+2+3+4+6+12)/12 = 7/3 であり、11以下のmで σ(m)/m > 7/3 を満たす数はないので12は超過剰数である。超過剰数は無数にあり、そのうち最小の数である1から小さい順に列記すると

1, 2, 4, 6, 12, 24, 36, 48, 60, 120, 180, 240, 360, 720, 840, 1260, 1680, 2520, 5040, 10080, …

超過剰数のうち1,2,4は不足数、6は完全数であり、12以上の超過剰数は全て過剰数である。超過剰数は高度合成数と関係が深く、特に最初の19個までの超過剰数と高度合成数は同じ数である。

性質

ポール・エルデシュとLeonidas Alaogluはnが超過剰数ならば

n=\prod_{i=2}^pi^{a_i}
a_2\geq a_3\geq\dots\geq a_p

を満たすことを証明した。nが4と36のときを除けば ap=1 である。つまり超過剰数のうち平方数は4と36のみである。

擬似完全数(semiperfect number)

擬似完全数(ぎじかんぜんすう、英: semiperfect number)は、自然数のうち自身を除くいくつかの約数の和が元の数に等しい数のことである。例えば40の約数の内 1,4,5,10,20 を選ぶと、それらの和は 1+4+5+10+20=40 と元の数に等しくなるので擬似完全数である。擬似完全数は全て合成数で無数に存在し、その内最小のものは6である。

擬似完全数を6から小さい順に列記すると

6, 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …(オンライン整数列大辞典の数列 A005835

奇数の擬似完全数のうち最も小さい数は945である。擬似完全数の倍数は全て擬似完全数であり、したがって偶数の擬似完全数も奇数の擬似完全数も無数に存在する。

nを自然数、pを p<2n+1 を満たす素数として 2np で表される数は全て擬似完全数である。

擬似完全数は全て完全数もしくは過剰数であり、特に全ての完全数は擬似完全数でもある。しかし過剰数であっても擬似完全数でない数はいくつか存在し、それらは不思議数とよばれる。

原始擬似完全数(primitive semiperfect number)

擬似完全数の内、その約数に他の擬似完全数を含まない数を原始擬似完全数primitive semiperfect number)という。原始擬似完全数は無数に存在し、その内最小の数は6である。原始擬似完全数を6から小さい順に列記すると

6, 20, 28, 88, 104, 272, 304, 350, 368, 464, 490, 496, 550, 572, 650, 748, 770, 910, 945, 1184, … (オンライン整数列大辞典の数列 A006036

奇数の原始擬似完全数は無数に存在し、調和数でない原始擬似完全数も無数に存在する。

不思議数(weird number)

不思議数(ふしぎすう、英: weird number)とは、自然数のなかで過剰数でありながら擬似完全数でない数のことである。言い換えると次の条件を両方とも満たす数である。

  • (1)その数自身を除く約数総和が元の数より大きい(過剰数)。
  • (2)約数を(重複させずに)どのように組み合わせても、その和は元の数には一致しない(擬似完全数でない)。

例えば、数70の場合を考える。

  • (1)自身を除く約数の総和は 1+2+5+7+10+14+35 = 74 > 70 であり元の数より大きくなる(過剰数)。
  • (2)上記の約数をどのように組み合わせて和を計算しても、元の数70には一致しない(擬似完全数でない)。

したがって、70は不思議数である。

これに対して、数20の場合を考える。

  • (1)自身を除く約数の総和は 1+2+4+5+10 = 22 > 20 であり元の数より大きくなる(過剰数)。
  • (2)上記の約数のうち、1と4と5と10を組み合わせると、1+4+5+10 = 20 であり、元の数20と一致させることができる(擬似完全数)。

したがって、20は不思議数ではない。

不思議数は無数に存在し、そのうち最小のものは70である。

不思議数を70から小さい順に列記すると

70, 836, 4030, 5830, 7192, 7912, 9272, 10430, 10570, 10792, 10990, 11410, 11690, 12110, 12530, 12670, 13370, 13510, …(オンライン整数列大辞典の数列 A006037)

奇数の不思議数は発見されていないが、もし存在するなら 232 = 4 294 967 296 より大きい数であることが知られている[27]

友愛数 (amicable number)

友愛数(ゆうあいすう)とは、異なる2つの自然数の組で、自分自身を除いた約数の和が、互いに他方と等しくなるような数をいう。親和数とも呼ばれる。

一番小さな友愛数の組は(220, 284)である。

220の自分自身を除いた約数は、1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110で、和は284となる。一方、284の自分自身を除いた約数は、1,2,4,71,142で、和は220である。
220, 284, 1184, 1210, 2620, 2924, 5020, 5564 \cdots (オンライン整数列大辞典の数列 A063990)

現在まで知られる友愛数の組は、すべて偶数同士または奇数同士の組である。

友愛数はピタゴラス学派の時代にはすでに知られていた(ダンブリクス Damblichus)。

850年頃にサービト・イブン=クッラ (826年-901年)によって友愛数を求める事が出来る可能性のある関係式が導き出されている:

p = 3 × 2n-1 - 1,
q = 3 × 2n - 1,
r = 9 × 22n-1 - 1,

ここで、nは、1以上の整数であり、p,q,rが素数であるようなp,q,r,nが存在したとき、 2npqと 2nrは友愛数の対となる。 この式は全ての友愛数の組に対して成立するわけではない。例えば、友愛数の組(220、284), (17,296、18,416), (9,363,584、9,437,056)はこの関係式を満たしているが、(6,232、6,368)は友愛数であるにも関わらずこの関係式を満たさない。

(220, 284)の次に求められた友愛数は(17,296、18,416)である。この友愛数はそれ以前にも求められていたが、フェルマーにより再発見された。その後、オイラーにより60余りの友愛数が求められている。

なお、自分自身を除いた約数の和が元の数と等しい場合には、完全数と呼ばれる。自身を除いた約数の和を次の数として同じように計算していき元の数に戻る場合には、その組を社交数という。

小さい順の友愛数40組

(220、284)、(1,184、1,210)、(2,620、2,924)、(5,020、5,564)、(6,232、6,368)、
(10,744、10,856)、(12,285、14,595)、(17,296、18,416)、(63,020、76,084)、(66,928、66,992)、

(67,095、71,145)、(69,615、87,633)、(79,750、88,730)、(100,485、124,155)、(122,265、139,815)、

(122,368、123,152)、(141,664、153,176)、(142,310、168,730)、(171,856、176,336)、(176,272、180,848)、
(185,368、203,432)、(196,724、202,444)、(280,540、365,084)、(308,620、389,924)、(319,550、430,402)、
(356,408、399,592)、(437,456、455,344)、(469,028、486,178)、(503,056、514,736)、(522,405、525,915)、
(600,392、669,688)、(609,928、686,072)、(624,184、691,256)、(635,624、712,216)、(643,336、652,664)、
(667,964、783,556)、(726,104、796,696)、(802,725、863,835)、(879,712、901,424)、(898,216、980,984)

未解決問題

参照:数学上の未解決問題

  • 友愛数の組は無限に存在するか?
x が大きいとき、x より小さい友愛数の個数はxe^{(\log x)^{-\frac{1}{3}}}以下であることが知られている。
特に友愛数の逆数の和は収束する。
  • 偶数と奇数からなる友愛数の組は存在するか?
婚約数(Betrothed numbers )

婚約数(こんやくすう)とは、異なる2つの自然数の組で、1と自分自身を除いた約数が、互いに他方と等しくなるような数をいう。準友愛数とも呼ばれる。現在まで知られる婚約数の組はすべて偶数奇数の組である。

一番小さな婚約数の組は (48, 75) である。

48の1と自分自身を除いた約数は、2,3,4,6,8,12,16,24で、和は75となる。一方、75の1と自分自身を除いた約数は、3,5,15,25で、和は48である。

小さい順の婚約数10組 オンライン整数列大辞典の数列 A005276

(48、75)、(140195), (1,050、1,925)、(1,575、1,648)、(2,024、2,295)、(5,775、6,128)、(8,892、16,587)、(9,504、20,735)、(62,744、75,495)、(186,615、206,504)

未解決問題

  • 婚約数の組は無限に存在するか?
  • 偶数同士、奇数同士の婚約数の組は存在するか?
拡大友愛数(augumented amicable number)

拡大友愛数とは、異なる2つの自然数の自分自身を除いた約数の和プラス1が、互いに等しくなるような数をいう。丁度、婚約数の逆と考えると良い。 最小の拡大友愛数の組は(6160, 11697)である。 始めの10組 (6,160、11,697)、(12,220、16,005)、(23,500、28,917)、(68,908、76,245)、(249,424、339,825)、(425,500、570,405)、(434,784、871,585)、(649,990、697,851)、(660,825、678,376)、(1,017,856、1,340,865) 小さい拡大友愛数 小さめの組は、偶数奇数のペアである。

社交数 (sociable number)

社交数(しゃこうすう、Sociable Numbers)とは、友愛数の発展内容で、異なる3つ以上の自然数の組である。

ある数(A)の自分自身を除いた約数の和がほかの数(B)になり、(B)の自分自身を除いた約数の和が(C)になる。これを続けていくと、元の数(A)になるような数の組を言う。

社交数の例 (12496,14288,15472,14536,14264) の5つの数字の組は社交数である。

  • (12496)/(1、2、4、8、11、16、22、44、71、88、142、176、284、568、781、1136、1562、3124、6248):12496の約数の和は14288である。
  • (14288)/(1、2、4、8、16、19、38、47、76、94、152、188、304、376、752、893、1786,3572、7144):14288の約数の和は15472である。              
  • (15472)/(1、2、4、8、16、967、1934、3868、7736):15472の約数の和は14536である。
  • (14536)/(1、2、4、8、23、46、79、92、158、184、316、632、1817、3634、7268):14536の約数の和は14264である。
  • (14264)/(1、2、4、8、1783、3566、7132):14264の約数の和は12496である。

2008年11月現在、171組の社交数が発見されている。そのほとんど(161組)が4個組で、残りは6個組が5つ、8個組が2つ、5個組・9個組・28個組が1つずつである。

  • 28個組の社交数:14316, 19116, 31704, 47616, 83328, 177792, 295488, 629072, 589786, 294896, 358336, 418904, 366556, 274924, 275444, 243760, 376736, 381028, 285778, 152990, 122410, 97946, 48976, 45946, 22976, 22744, 19916, 17716

3個組の社交数は発見されていない。3個組の社交数が存在するかどうか、何個組までの社交数が存在するのか、社交数は無限に存在するのか、などは数学上の未解決問題である。

なお、(103340640,123228768,124015008)が誤って3個組の社交数の例とされることがあるが、この組は

  • 103340640の約数の和=247243776=123228768+124015008
  • 123228768の約数の和=227355648=124015008+103340640
  • 124015008の約数の和=226569408=103340640+123228768

という関係をもつ友愛的三対と呼ばれるもので、社交数とは別の整数の一群である。

友愛的三対(amicable triple)

友愛的三対とは友愛数の発展内容で、異なる3つの自然数の組である。

3つの数の約数関数それぞれの値と、3つの数の和がすべて同じ値であるような数を指す。 (103340640,123228768,124015008)がその例である。

準完全数 (quasiperfect number)
準完全数とは、約数の和が 2n + 1 に等しい数 n である。これは過剰数である。そのような数はいまだに見つかっていないが、存在するならばそれは奇数の平方数で 1035 より大きく、少なくとも7つの約数を持つということが示されている。
概完全数 (almost perfect number)
概完全数とは約数の和が 2n - 1 に等しい数 n である。これは不足数である。2k (1, 2, 4, 8, 16, …) の形をした自然数はこの条件を満たしているが、この形で表される自然数以外でこの条件を満たすものが存在するのかどうかは知られていない。
倍積完全数 (multiply perfect number)

倍積完全数(ばいせきかんぜんすう、英: multiply perfect number, multiperfect number)は、自然数のうちその約数の和が元の数の整数倍になっているような数である。約数関数 σ を用いて定義すると σ(n) = knk : 自然数)を満たす自然数 n が倍積完全数であり、これを k倍完全数ともいう。k = 2 の場合である2倍完全数は単に完全数とよぶ。なお、k = 1 の場合は σ(n) = n を満たす n が 1 のみであるため、1倍完全数は 1 のみである。例えば 120 の約数の和は

σ(120) = 1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+20+24+30+40+60+120 = 360

であり、120 の3倍となるので、120 は3倍完全数である。

具体的には 1, 6, 28, 120, 496, 672, 8128, 30240, 32760, 523776, 2178540, 23569920,… (オンライン整数列大辞典の数列 A007691

pn を割り切らない素数とすると、np倍完全数であることと、pn が (p + 1)倍完全数であることは同値である。例えば、3倍完全数 m が 2 で割り切れるが 4 で割り切れない場合(すなわち m単偶数である場合)、m/2 は奇数の完全数となるが、そのような数はいまだに見つかっていない。

k倍完全数表 以下にそれぞれの k倍完全数 (k ≤ 11) のうち現在見つかっている中で最小の数をあげる。

k 最小の k倍完全数 発見者、年
1 1 -
2 6 -
3 120 -
4 30240 デカルト1638年
5 14182439040 デカルト、1638年
6 154345556085770649600 カーマイケル (en:Robert Daniel Carmichael)、1907年
7 141310897947438348259849402738485523264343544818565120000 TE Mason、1911年
8 2.34111439263306338... × 10161 Paul Poulet (en:Paul Poulet), 1929年
9 7.9842491755534198... × 10465 Fred Helenius
10 2.86879876441793479... × 10923 Ron Sorli
11 2.51850413483992918... × 101906 George Woltman (en:George Woltman)

2007年12月現在、11倍完全数までの倍積完全数が見つかっている。

性質 編集

k = 2 のとき、つまり通常の完全数の場合については同項目を参照。

  • k倍完全数が無数にあるかどうかは分かっていないが、3倍完全数は6個、4倍完全数は36個、5倍完全数は65個、6倍完全数は245個がそれぞれ発見されており、それ以上は存在しないと言われている。
  • k ≥ 2 とし、Nr 個の相異なる素因数を持つ k 倍完全数とする。このとき N は、kr に依存するある定数 C 未満の自然数と、1 または偶数の完全数との積になる(Kanold, 1956)。この定数 C は実際に計算可能である(Pomerance, 1977)。
  • k 倍完全数 n における約数の逆数の和は k に等しい。これは n の約数の和を N としたとき、逆数の和は \frac{N}{n} = k になることから証明できる。
例. n = 6 のとき  \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6} = \frac{12}{6} = 2
超完全数 (Superperfect number)

超完全数 (ちょうかんぜんすう、英: Superperfect number)とは完全数を発展させた数で、次の式を満たす整数 n のことである。

\sigma^2(n)=\sigma(\sigma(n))=2n\,

ただしσ は約数関数、超完全数は Suryanarayana (1969) によって定義された。

具体的には

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144,… (オンライン整数列大辞典の数列 A019279)

である。もし n が偶数の超完全数ならば 2k+1-1 がメルセンヌ素数であるような 2k でなければならない。[28][29]

奇数の超完全数はまだ知られていない。 奇数の超完全数 n が存在するなら、その数はn または σ(n) が少なくとも3つの異なる素因数からできる平方数でなければならないことは知られている。[29] 奇数の超完全数は 7 x 1024 までの数では存在しない。[28]

概要 以下の約数関数 σ を用いた数式において m = 1 のとき完全数、m = 2 のとき超完全数、そして m ≥ 3 のとき m-超完全数は存在しない。[28]

 \sigma^m(n) = 2n

これよりm-超完全数とは以下の数式を満たす n で( m , k )-完全数という。 [30]

\sigma^m(n)=kn

( m , k )-完全数の表記において, 完全数は( 1 , 2 )-完全数、倍積完全数は( 1 , k )-完全数、超完全数は( 2 , 2 )-完全数となる。 m-超完全数とは( m , 2 )-完全数のことである。[31]

以下に( m , k )-完全数の例を示す。

m k ( m , k )-完全数 OEIS sequence
2 2 2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144,… オンライン整数列大辞典の数列 A019279
2 3 8, 21, 512 オンライン整数列大辞典の数列 A019281
2 4 15, 1023, 29127, 355744082763 オンライン整数列大辞典の数列 A019282
2 6 42, 84, 160, 336, 1344, 86016, 550095, 1376256, 5505024,… オンライン整数列大辞典の数列 A019283
2 7 24, 1536, 47360, 343976 オンライン整数列大辞典の数列 A019284
2 8 60, 240, 960, 4092, 16368, 58254, 61440, 65472, 116508, 466032, 710400, 983040, 1864128, 3932160, 4190208, 67043328, 119304192, 268173312, 1908867072,… オンライン整数列大辞典の数列 A019285
2 9 168, 10752, 331520, 691200, 1556480, 1612800, 106151936,… オンライン整数列大辞典の数列 A019286
2 10 480, 504, 13824, 32256, 32736, 1980342, 1396617984, 3258775296,… オンライン整数列大辞典の数列 A019287
2 11 4404480, 57669920, 238608384 オンライン整数列大辞典の数列 A019288
2 12 2200380, 8801520, 14913024, 35206080, 140896000, 459818240, 775898880, 2253189120,… オンライン整数列大辞典の数列 A019289
2 13 57120, 932064, 3932040, 251650560 オンライン整数列大辞典の数列 A019290
2 14 217728, 1278720, 2983680, 5621760, 14008320, 298721280, 955367424, 1874780160, 4874428416 オンライン整数列大辞典の数列 A019291
3 12, 14, 24, 52, 98, 156, 294, 684, 910, 1368, 1440, 4480, 4788, 5460, 5840, ... オンライン整数列大辞典の数列 A019292
4 2, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 26, 32, 39, 42, 60, 65, 72, 84, 96, 160, 182, ... オンライン整数列大辞典の数列 A019293
サブライム数 (sublime number)

サブライム数(-すう、英:sublime number)は自然数で、約数の個数が完全数であり、なおかつ全ての約数の和が別の完全数になるような数である。例えば12は約数が 1, 2, 3, 4, 6, 12 と6個あり、それらの和は 1+2+3+4+6+12=28 となり、約数の個数および和がともに完全数となるので12はサブライム数である。

最小のサブライム数は12であり、他には6086555670238378989670371734243169622657830773351885970528324860512791691264が知られているだけである。この数はKevin Brownによって計算され、2126×(261-1)×(231-1)×(219-1)×(27-1)×(25-1)×(23-1) という形に素因数分解される。

約数の個数は (126+1)×26 = (27-1)×26 = 8128
約数の和は (2126+1-1)×261+31+19+7+5+3 = (2127-1)×2126

であり、いずれも完全数となる。ここで (2n-1) で表されている数は全てメルセンヌ素数である。2番目のサブライム数を2の累乗とメルセンヌ素数の積の形で表示したときに現れるそれぞれの指数部は 126=61+31+19+7+5+3 という関係になっており、126はメルセンヌ素数である127より1小さい。このような性質は12が 22×(22-1) と素因数分解されることと共通している。

外部リンク 編集

その他 編集

小川洋子の小説『博士の愛した数式』(2003年)では登場人物の「博士」が阪神タイガースの江夏豊投手のファンであったことの理由として江夏の背番号が28であったことを挙げ、その際に完全数の説明がなされている。

脚注 編集

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  1. 淡中忠郎「メルセンヌ数物語」『数学セミナー』、1973年9月号。数学セミナー編集部(1982)、65-67頁に再録されている。
  2. ユークリッド原論』第9巻、命題36は

    もし単位から始まり順次に1対2の比をなす任意個の数が定められ,それらの総和が素数になるようにされ,そして全体が最後の数にかけられてある数をつくるならば,その数は完全数であろう。

    エウクレイデス、『ユークリッド原論』第9巻、命題36

    すなわち
    1+2+2^2+2^3+\cdots+2^{n-1}=M_nが素数ならばM_n \times 2^{n-1}は完全数である。
  3. オイラーが証明した。参考文献の Dickson, Chapter 1, 98.
  4. P. P. Nielsen, "An upper bound for odd perfect numbers", Integers, 3 (2003), A14, 9 pp. (electronic).
  5. O. Grün, "Über ungerade vollkommene Zahlen", Math. Z. 55 (1952), 353-354.
  6. M. Kishore, "On odd perfect, quasiperfect, and odd almost perfect numbers", Math. Comp. 36 (1981), 583-586.
  7. W. L. McDaniel, "The non-existence of odd perfect numbers of a certain form", Arch. Math. (Basel) 21 (1970), 52-53.
  8. T. Yamada, "Odd perfect numbers of a special form", Colloq. Math. 103 (2005), 303-307.
  9. J. Touchard, "On prime numbers and perfect numbers", Scripta Math. 19 (1953), 53-59.
  10. M. Satyanarayana, "Odd perfect numbers", Math. Student 27 (1959), 17-18.
  11. J. A. Holdener, "A theorem of Touchard on the form of odd perfect numbers". Amer. Math. Monthly, 109 (2002), 661-663.
  12. T. Roberts, "On the Form of an Odd Perfect Number", Australian Mathematical Gazette, 35:4 (2008), 244
  13. R. P. Brent, Graeme L. Cohen, H. J. J. te Riele, "Improved techniques for lower bounds for odd perfect numbers", Math. Comp. 57 (1991), 857-868
  14. 14.0 14.1 P. P. Nielsen, "Odd perfect numbers have at least nine different prime factors", Math. Comp. 76 (2007), 2109-2126. preprint
  15. J. E. Z. Chein, "An odd perfect number has at least 8 prime factors", Doctoral Thesis, Pennsylvania State University, 1979.
  16. P. Hagis Jr., "Outline of a proof that every odd perfect number has at least eight prime factors", Math. Comp. 35 (1980) 1027-1032.
  17. G. L. Cohen, R. M. Sorli, "On the number of distinct prime factors of an odd perfect number", J. Discrete Algorithms 1 (2003), 21-35.
  18. K. K. Norton, "Remarks on the number of factors of an odd perfect number", Acta Arith., 6 (1960/1961), 365-374.
  19. K. G. Hare, "New techniques for bounds on the total number of prime factors of an odd perfect number", Math. Comp. 76. (2007), 2241-2248. preprint
  20. T. Goto and Y. Ohno, "Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 108", Math. Comp. 77 (2008), 1859-1868. "奇数の完全数の最大素因子について" - preprint を入手可能。
  21. P. M. Jenkins, "Odd perfect numbers have a prime factor exceeding 107", Math. Comp. 72 (2003), 1549-1554.
  22. P. Hagis, Jr. and G. L. Cohen, "Every odd perfect number has a prime factor which exceeds 106", Math. Comp. 67 (1998), 1323-1330.
  23. D. E. Iannucci, "The second largest prime divisor of an odd perfect number exceeds ten thousand", Math. Comp. 68 (1999), 1749-1760.
  24. D. E. Iannucci, "The third largest prime divisor of an odd perfect number exceeds one hundred", Math. Comp. 69 (2000), 867-879.
  25. W. L. McDaniel and P. Hagis Jr., "Some results concerning the non-existence of odd perfect numbers of the form paM", Fibonacci Quart. 13 (1975), 25-28.
  26. G. L. Cohen, R. J. Williams, "Extensions of some results concerning odd perfect numbers", Fibonacci Quart. 23 (1985), 70-76.
  27. [1] C. N.Friedman,"Sums of Divisors and Egyptian Fractions",Journal of Number Theory,July 1993,volume 44,Issue 3 ,pp.328–339
  28. 28.0 28.1 28.2 Guy (2004) p.99
  29. 29.0 29.1 Weisstein, Eric W., "Superperfect Number" - MathWorld.(英語)
  30. Cohen & te Riele (1996)
  31. Guy (2007) p.79

参考文献 編集

  • 『数の世界』 数学セミナー編集部編、日本評論社〈数学セミナー増刊 数学セミナー・リーディングス〉、東京、1982年9月30日
  • 『ユークリッド原論』 ハイベア,メンゲ編、中村幸四郎・寺阪英孝・伊東俊太郎・池田美恵訳・解説、共立出版。
  • Dickson, Leonard Eugene (1966), History of the theory of numbers, Vol. I: Divisibility and primality (Hardcover ed.), New York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1934-8  ([2], p. 3, - Google ブックス)
  • Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-20860-7  ([3] - Google ブックス)
  • Sándor, J.; Crstici, B. (2004), Handbook of number theory, II, Dordrecht, Netherlands: Kluwer Academic Publishers, ISBN 1-4020-2546-7  ([4] - Google ブックス)
  • C. Pomerance, On the distribution of amicable numbers II, J. reine angew. Math. 325 (1981), 183--188.
  • Richard K. Guy, Unsolved problems in number theory, 3rd edition, Springer-Verlag, 2004.
  • H. -J. Kanold, Über einen Satz von L. E. Dickson, II, Math. Ann. 132 (1956), 246--255.
  • C. Pomerance, Multiple Perfect Numbers, Mersenne Primes, and Effective Computability, Math. Ann. 226 (1977), 195--206.
  • この記事は、クリエイティブ・コモンズ・ライセンス 表示-継承 3.0 非移植のもと提供されているオンライン数学辞典『PlanetMath』の項目Superperfect Numberの本文を含む
  • スクリプトエラー
  • Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. B9. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001. 
  • Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds (2006). Handbook of number theory I. Dordrecht: Springer-Verlag. ISBN 1-4020-4215-9. Zbl 1151.11300. 
  • スクリプトエラー

外部リンク 編集

関連項目 編集

外部リンク 編集

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