FANDOM


円周率 \pi は、数学定数の一つで、円の直径に対する円周の長さの比である[1][2]

\pi無理数であり、超越数である。

紀元前より円周率を近似、及び値を求めるための様々な試みが行われてきた。

定義 編集

円の直径に対する円周の長さの比であるとするのが一般的な定義だが、曲線の長さを最初に定義しない場合の一般数学においては、下記に示した公式のどれかや三角関数から定義する場合も存在する。

編集

10進数 編集

小数点以下1000桁 編集

3.

1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510

5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679

8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128

4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196

4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091

4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273

7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436

7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094

3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548

0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912

9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798

6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132

0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872

1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235

4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960

5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859

5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881

7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303

5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778

1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

上の9が6つ続く部分はファインマン・ポイントと呼ばれる。

1兆桁の手前500桁 (999,999,999,501桁 ~ 1,000,000,000,000桁)編集

3055541549 8630733226 9301895353 2800395568 4100135112

3018054466 7139616326 7123847333 9482691454 3860916430

1625543455 2814410067 9794539929 7396506499 6259579620

9832690772 9598209368 0476885637 4803576440 0887706440

9994610239 6615201174 0666595802 7919531531 8903915600

4823850597 7919334089 3525800653 2108289606 0294989554

9184899441 7318925720 9460412978 6725653700 4298366088

7081085596 4376680868 4559824388 6457656156 6050890585

2962457053 9070959679 6673211870 6342459769 2128529850

2976735807 0882130902 2460461146 5810642210 6680122702 

 1000億桁単位の前後50桁編集

開始桁数 終了桁数 πの値
99999999951 100000000000 9536515199 6948432428 3185077669 0674614692 0191295669
100000000001 100000000050 5528194976 8254737815 8812009413 0550624875 3770635277
199999999951 200000000000 4305017750 7056695457 1580141586 9082820114 5623831042
200000000001 200000000050 0719003966 6177300581 1050342554 4359078194 5552422286
299999999951 300000000000 5803375452 4778184930 3189922956 0236124516 0780255325
300000000001 300000000050 6599215888 0466539975 9060135171 6438662046 9987179320
399999999951 400000000000 4232472530 5584721833 6635696622 7418760375 3353406089
400000000001 400000000050 5153428885 2449501852 7058643345 3453965221 9840456444
499999999951 500000000000 0505992340 4464069733 2573501014 7391768971 9054201320
500000000001 500000000050 0336679104 2284081768 3592963294 7897780453 2589343879
599999999951 600000000000 3881678221 6497792200 1317898559 2410152034 1195374226
600000000001 600000000050 8375605679 0570153726 4071780062 7507938793 3556887383
699999999951 700000000000 3990644438 6185972302 5216652345 2555670391 9799486948
700000000001 700000000050 0560061321 0037612936 9202993173 4162429672 1560414002 
799999999951 800000000000 8917664581 0186796442 6373591937 2841595931 5934969567
800000000001 800000000050 4044168831 4496445335 4402752766 5208374761 4059542846
899999999951 900000000000 1664762922 1380758457 4648412138 0916225059 2303525517
900000000001 900000000050 9143179412 8614675122 2331910634 7897287527 4601473879
999999999951 1000000000000 2976735807 0882130902 2460461146 5810642210 6680122702
1000000000001 1000000000050 4463806240 5498434388 8389727963 8894287067 3227443014
1099999999951 1100000000000 6916214969 5885256742 0876394931 0299322496 7272870249
1100000000001 1100000000050 5987525674 5393540599 2942018884 3201740017 6150687208
1199999999951 1200000000000 5296320811 9703828272 7315356530 7867141740 4641807691 
1200000000001 1200000000050 0591674246 3615412153 5661523987 8737785726 7338115968

==== 1 兆 2400 億桁の 10 進 pi における興味深い数列:====

012345678910 : pi の小数点以下 1 兆 1988 億 4276 万 6717 桁目から


01234567890 : pi の小数点以下 532 億 1768 万 1704 桁目から

01234567890 : pi の小数点以下 1484 億 2564 万 1592 桁目から

01234567890 : pi の小数点以下 4617 億 6619 万 8041 桁目から

01234567890 : pi の小数点以下 5422 億 2902 万 2495 桁目から

01234567890 : pi の小数点以下 6748 億 3691 万 4243 桁目から

01234567890 : pi の小数点以下 7319 億 304 万 7549 桁目から

01234567890 : pi の小数点以下 7519 億 3175 万 4993 桁目から

01234567890 : pi の小数点以下 8843 億 2644 万 1338 桁目から

01234567890 : pi の小数点以下 1 兆 732 億 1676 万 6668 桁目から


432109876543 : pi の小数点以下 1495 億 8931 万 4822 桁目から

543210987654 : pi の小数点以下 1979 億 5499 万 4289 桁目から

7654321098765 : pi の小数点以下 4030 億 7686 万 7519 桁目から

654321098765 : pi の小数点以下 4728 億 1802 万 3403 桁目から

987654321098 : pi の小数点以下 5931 億 54 万 6152 桁目から

543210987654 : pi の小数点以下 8317 億 9188 万 8197 桁目から

321098765432 : pi の小数点以下 8494 億 5445 万 3339 桁目から

987654321098 : pi の小数点以下 1 兆 1161 億 603 万 8318 桁目から

321098765432 : pi の小数点以下 1 兆 1684 億 8220 万 5220 桁目から

654321098765 : pi の小数点以下 1 兆 1745 億 1359 万 9306 桁目から


678901234567 : pi の小数点以下 2350 億 1178 万 8226 桁目から

789012345678 : pi の小数点以下 4684 億 3152 万 8439 桁目から

234567890123 : pi の小数点以下 5069 億 643 万 5245 桁目から

456789012345 : pi の小数点以下 7072 億 7911 万 1938 桁目から

567890123456 : pi の小数点以下 7167 億 5491 万 5804 桁目から

789012345678 : pi の小数点以下 9152 億 6783 万 9735 桁目から

567890123456 : pi の小数点以下 1 兆 460 億 4392 万 3886 桁目から

567890123456 : pi の小数点以下 1 兆 1565 億 1522 万 577 桁目から


98765432109 : pi の小数点以下 1230 億 4086 万 473 桁目から

98765432109 : pi の小数点以下 1336 億 156 万 9485 桁目から

98765432109 : pi の小数点以下 1503 億 3916 万 1883 桁目から

98765432109 : pi の小数点以下 1838 億 5955 万 237 桁目から

98765432109 : pi の小数点以下 3008 億 5471 万 9683 桁目から

98765432109 : pi の小数点以下 5348 億 4693 万 1487 桁目から

98765432109 : pi の小数点以下 5931 億 54 万 6152 桁目から

98765432109 : pi の小数点以下 6092 億 3833 万 6350 桁目から

98765432109 : pi の小数点以下 6475 億 6567 万 462 桁目から

98765432109 : pi の小数点以下 9369 億 9838 万 9684 桁目から

98765432109 : pi の小数点以下 1 兆 1161 億 603 万 8318 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 423 億 2175 万 8803 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 574 億 206 万 8394 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 833 億 5819 万 7954 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 2645 億 5692 万 1332 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 4378 億 9885 万 9384 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 4544 億 7925 万 2941 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 6147 億 1758 万 4937 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 7040 億 2366 万 8380 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 7185 億 719 万 2392 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 7900 億 9268 万 5538 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 8189 億 3560 万 7491 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 9074 億 6612 万 5920 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 9638 億 6861 万 7364 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 9651 億 7235 万 6422 桁目から

09876543210 : pi の小数点以下 1 兆 975 億 7806 万 3492 桁目から


10987654321 : pi の小数点以下 896 億 3482 万 5550 桁目から

10987654321 : pi の小数点以下 1378 億 326 万 8208 桁目から

10987654321 : pi の小数点以下 1527 億 5220 万 1245 桁目から

10987654321 : pi の小数点以下 2656 億 1612 万 8905 桁目から

10987654321 : pi の小数点以下 5248 億 9693 万 8580 桁目から

10987654321 : pi の小数点以下 5609 億 3487 万 1496 桁目から

10987654321 : pi の小数点以下 9126 億 936 万 6275 桁目から

10987654321 : pi の小数点以下 9901 億 8027 万 1473 桁目から

10987654321 : pi の小数点以下 1 兆 411 億 7939 万 6679 桁目から

10987654321 : pi の小数点以下 1 兆 1715 億 6679 万 976 桁目から


777777777777 : pi の小数点以下 3682 億 9989 万 8266 桁目から

999999999999 : pi の小数点以下 8978 億 3131 万 6556 桁目から

111111111111 : pi の小数点以下 1 兆 410 億 3260 万 9981 桁目から

888888888888 : pi の小数点以下 1 兆 1413 億 8590 万 5180 桁目から

666666666666 : pi の小数点以下 1 兆 2215 億 8771 万 5177 桁目から

271828182845 : pi の小数点以下 1 兆 160 億 6541 万 9627 桁目から

314159265358 : pi の小数点以下 1 兆 1429 億 531 万 8634 桁目から

16進数 編集

最初の500桁 (1 ~ 500桁)編集

 3.
 243F6A8885 A308D31319 8A2E037073 44A4093822 299F31D008
 2EFA98EC4E 6C89452821 E638D01377 BE5466CF34 E90C6CC0AC
 29B7C97C50 DD3F84D5B5 B547091792 16D5D98979 FB1BD1310B
 A698DFB5AC 2FFD72DBD0 1ADFB7B8E1 AFED6A267E 96BA7C9045
 F12C7F9924 A19947B391 6CF70801F2 E2858EFC16 636920D871
 574E69A458 FEA3F4933D 7E0D95748F 728EB65871 8BCD588215
 4AEE7B54A4 1DC25A59B5 9C30D5392A F26013C5D1 B023286085
 F0CA417918 B8DB38EF8E 79DCB0603A 180E6C9E0E 8BB01E8A3E
 D71577C1BD 314B2778AF 2FDA55605C 60E65525F3 AA55AB9457
 48986263E8 144055CA39 6A2AAB10B6 B4CC5C3411 41E8CEA154

 1兆桁の手前500桁 (999,999,999,501桁 ~ 1,000,000,000,000桁)編集

 57F5C7D088 813AFC1390 8A7C25E945 C0B273D634 AF4635ABB8
 E6A0E2AE02 5B8FF92F3F FEB7790C39 428D3FD1A9 30A4EEA66C
 46E2B32554 58F2AC54FE DE1EC2EA07 69441AD54C 789F3CB62B
 B721C2746E 1BE973B3FF 6C5EDED988 3F666CD37F 6B2A957219
 3E06AA688A B87CA92226 05F23B43E1 D7013CEAC5 DF6534E1E7
 7E037E4623 A40AB23A2E 02A43BA7CD FC9BCF82D6 AEBF43FB26
 6C5E139363 097AAB1247 2A53B4E0A9 5CAA018D17 70714B7495
 20B3BC88DB 689CA207C4 6EF39031B3 E5A5ED5D35 4356DB9868
 32AAE8629E 87080B38E6 6A3440DE3E 7E71AB9D04 84B0B2EAC0
 CDDEE9D16E B4A295E569 54E5E30B51 24A9EA02A9 3F89341CD5

 世界記録桁数の手前500桁 (1,030,699,999,501 ~ 1,030,700,000,000桁)編集

 51A6C6B535 F65346B1A4 4E6BCA5C9F D20CAAE6DA 92B6767F88
 016E232548 5609D52CBD 37D8D20D6D F730B6F021 0E62732B24
 13826E7CEA FFCE21D763 DE1B6E63E3 053B348A12 54A43A4E49
 5001914DBE 17FF49BE27 324CDE6196 4FE47BAA3B AF35EB2347
 CB4BBE8858 728494934E 1DB710880B 0B380E176D FDE0DE2ADC
 15353C88AD 23035A18AF 1D51C82361 D64E21430C DF7909A3E9
 0EB0D7FAC6 045303659B A357F14EBE 927076F1DE E18580D41B
 1A98032361 CAA8524A63 687DCB8636 52EFB18D22 6DD9CA23F5
 E91EAC46CF 795DBE03F2 2C201D2BB4 CC1516C203 3B7985FD34
 28C7C6A1DC 75E2D2B765 2D23340DAE 5573D62B57 1BAF9CC340

1000億桁単位の前後50桁編集

開始桁数 終了桁数 πの値
99999999951 100000000000 2329318EB4 E6271DEFB5 5BD1C7775F FE3DC62467 C3AD8FD53C
100000000001 100000000050  9C381872D2 7596F81D0E 48B95A6C46 BCE673ED9D EF03E2D62F
199999999951 200000000000 078BF405C8 E945FA0914 B53F22AB16 8B09319559 E2437C7383E
200000000001 200000000050 6FBDAC38A 97197785ED 6A4885A713 3A5491DAEF 29AA3BB5AC
299999999951 300000000000 90B993AA85 07CE7E9885 B3687119C4 9B51893B4F E7AAE96A68
300000000001 300000000050 4C70A76287 9A4D2B5E24 953D049206 5A15239DCF 04E2D6378C
399999999951 400000000000 D311DC8058 23A6A76FEF B16B43C436 6A6C6ADF76 D607CF74FA 
400000000001 400000000050 9B8A5C4793 B384EE4BA0 4133976EE5 CD4350D0CD 4E049F5AB9
499999999951 500000000000 6418AF6732 0BE600AEE1 19EE6B568C 52B81B5EFD F1A3F12CE9
500000000001 500000000050 1FB9125F7B E31BEEBE1B 999A5DF1F1 91A965B8AA A1BB014C82
599999999951 600000000000 B037E93F68 3F0032B836 59DA63A517 A1256457E7 E8E08947FD 
600000000000 600000000050 AED214B830 A312DAC1D4 AB6041BFD7 0C91C6D219 2CD83C2247 
699999999951 700000000000 8B622DE784 46DCB10A08 6B242A9D37 98338C2316 F1642E5B50
700000000001 700000000050 5312243260 E4D80A74B3 BC3081F0D1 91396AB8DF 80DAD0CAB3
799999999951 800000000000 5EC234DAD9 AEE7CEFFA0 81081537D5 2710BA763A A95B7CD682
800000000001 800000000050 F5E95F9326 AD7FBDD56A 04AE4DD8E9 43FB451FE7 9CBBBFF16F 
899999999951 900000000000 7315E0ED90 D601BFAC64 B047F7D0F1 F4A6A5CAE2 189F0A8F08
900000000001 900000000050 952A7EB2D1 76F8F80814 B16979959F CC786D9E60 89E199137C
999999999951 1000000000000 CDDEE9D16E B4A295E569 54E5E30B51 24A9EA02A9 3F89341CD5
1000000000001 1000000000050 B4466E8D21 5388C4E014 CEC50EE706 D5EB275865 C496E68A3E

1 兆 300 億桁の 16 進 pi における興味深い数列編集

ABCDEF01234 : pi の小数点以下 417 億 8903 万 7926 桁目から

BCDEF012345 : pi の小数点以下 6921 億 5860 万 2718 桁目から


DCBA9876543 : pi の小数点以下 566 億 1634 万 6453 桁目から

9876543210F : pi の小数点以下 5053 億 1746 万 1934 桁目から

FEDCBA98765 : pi の小数点以下 7842 億 1084 万 1441 桁目から

A9876543210 : pi の小数点以下 9563 億 5809 万 5754 桁目から


012345678 : pi の小数点以下 2167 億 8933 万 2486 桁目から

012345678 : pi の小数点以下 5417 億 7795 万 5585 桁目から

012345678 : pi の小数点以下 6916 億 6236 万 9206 桁目から

012345678 : pi の小数点以下 8580 億 8659 万 9034 桁目から

012345678 : pi の小数点以下 8707 億 8916 万 4286 桁目から

012345678 : pi の小数点以下 9866 億 8989 万 4989 桁目から

012345678 : pi の小数点以下 9896 億 2554 万 5859 桁目から

012345678 : pi の小数点以下 1 兆 129 億 9767 万 8405 桁目から


9876543210 : pi の小数点以下 514 億 7469 万 5464 桁目から

FEDCBA9876 : pi の小数点以下 3195 億 5193 万 8810 桁目から

CBA9876543 : pi の小数点以下 4736 億 6015 万 9809 桁目から

876543210F : pi の小数点以下 7080 億 3611 万 9911 桁目から

10FEDCBA98 : pi の小数点以下 7385 億 9861 万 1051 桁目から

543210FEDC : pi の小数点以下 7576 億 814 万 9848 桁目から

543210FEDC : pi の小数点以下 8237 億 62 万 277 桁目から

10FEDCBA98 : pi の小数点以下 9321 億 9573 万 5371 桁目から

543210FEDC : pi の小数点以下 9491 億 7106 万 1142 桁目から

6543210FED : pi の小数点以下 9781 億 5489 万 9469 桁目から

456789ABCD : pi の小数点以下 103 億 3671 万 8420 桁目から

6789ABCDEF : pi の小数点以下 1277 億 1419 万 7002 桁目から

456789ABCD : pi の小数点以下 1602 億 6718 万 8233 桁目から

89ABCDEF01 : pi の小数点以下 2450 億 8537 万 8614 桁目から

6789ABCDEF : pi の小数点以下 2967 億 1748 万 3975 桁目から

23456789AB : pi の小数点以下 3892 億 5500 万 9621 桁目から

ABCDEF0123 : pi の小数点以下 5107 億 7779 万 9767 桁目から

56789ABCDE : pi の小数点以下 5929 億 8377 万 5357 桁目から

23456789AB : pi の小数点以下 6187 億 882 万 8160 桁目から

89ABCDEF01 : pi の小数点以下 6950 億 1814 万 1882 桁目から

6789ABCDEF : pi の小数点以下 7846 億 8698 万 590 桁目から

123456789A : pi の小数点以下 9189 億 2433 万 2313 桁目から

456789ABCD : pi の小数点以下 9557 億 1954 万 5684 桁目から

3456789ABC : pi の小数点以下 9881 億 9439 万 9061 桁目から


000000000 : pi の小数点以下 95 億 6429 万 6540 桁目から

000000000 : pi の小数点以下 1696 億 6080 万 3051 桁目から

000000000 : pi の小数点以下 3962 億 3011 万 4114 桁目から

000000000 : pi の小数点以下 4026 億 2460 万 3346 桁目から

000000000 : pi の小数点以下 6670 億 4390 万 8697 桁目から

000000000 : pi の小数点以下 7904 億 7505 万 5847 桁目から

000000000 : pi の小数点以下 8318 億 2451 万 2182 桁目から

000000000 : pi の小数点以下 9647 億 2075 万 1737 桁目から


7777777777 : pi の小数点以下 139 億 1187 万 4868 桁目から

9999999999 : pi の小数点以下 477 億 115 万 8980 桁目から

BBBBBBBBBB : pi の小数点以下 644 億 191 万 9723 桁目から

9999999999 : pi の小数点以下 777 億 7150 万 1314 桁目から

7777777777 : pi の小数点以下 822 億 629 万 5810 桁目から

9999999999 : pi の小数点以下 940 億 5464 万 6810 桁目から

CCCCCCCCCC : pi の小数点以下 1333 億 9143 万 2472 桁目から

9999999999 : pi の小数点以下 1836 億 59 万 7107 桁目から

3333333333 : pi の小数点以下 2248 億 9475 万 9935 桁目から

7777777777 : pi の小数点以下 3087 億 388 万 6631 桁目から

7777777777 : pi の小数点以下 4796 億 4860 万 4331 桁目から

1111111111 : pi の小数点以下 5258 億 426 万 2190 桁目から

AAAAAAAAAA : pi の小数点以下 5325 億 5259 万 9881 桁目から

2222222222 : pi の小数点以下 6006 億 5689 万 5513 桁目から

7777777777 : pi の小数点以下 6016 億 1331 万 9932 桁目から

FFFFFFFFFF : pi の小数点以下 7283 億 9991 万 7579 桁目から

5555555555 : pi の小数点以下 7749 億 3721 万 278 桁目から

9999999999 : pi の小数点以下 9052 億 2819 万 5285 桁目から

BBBBBBBBBB : pi の小数点以下 9346 億 5310 万 8901 桁目から

1111111111 : pi の小数点以下 9722 億 1157 万 768 桁目から

DDDDDDDDDD : pi の小数点以下 1 兆 17 億 8095 万 2848 桁目から


1414213562 : pi の小数点以下 858 億 9733 万 7983 桁目から


2718281828 : pi の小数点以下 6059 億 3258 万 9594 桁目から


3141592653 : pi の小数点以下 6267 億 3541 万 2490 桁目から

3141592653 : pi の小数点以下 7060 億 4158 万 1737 桁目から

(pi の最初の '3' は桁数に含まれず。)

連分数表示 編集

円周率の正則連分数表示の最初の100項を示す。なお、円周率の正則連分数表示に規則性はないと考えられている。[3]

[3; 7; 15; 1; 292; 1; 1; 1; 2; 1; 3; 1; 14; 2; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 1; 84; 2; 1; 1; 15; 3; 13; 1; 4; 2; 6; 6; 99; 1; 2; 2; 6; 3; 5; 1; 1; 6; 8; 1; 7; 1; 2; 3; 7; 1; 2; 1; 1; 12; 1; 1; 1; 3; 1; 1; 8; 1; 1; 2; 1; 6; 1; 1; 5; 2; 2; 3; 1; 2; 4; 4; 16; 1; 161; 45; 1; 22; 1; 2; 2; 1; 4; 1; 2; 24; 1; 2; 1; 3; 1; 2; 1; 1; 10; ]

近似編集

円周率は無理数かつ超越数であり、簡単に求めることができないが、古代から工学的に極めて重要な定数であるため、分数などを用いた様々な近似方法が存在する。

その近似値を、小数表記の値、何桁まで正確かとともに以下の表に示す。[4][5]

年代 人物 地域 正確さ
1897年 エドウィン・グッドウィン インディアナ州(アメリカ) 4 -1
1897年 エドウィン・グッドウィン インディアナ州(アメリカ) 3.232 0
1897年 エドウィン・グッドウィン インディアナ州(アメリカ) 3.2 0
2世紀 張衡 後漢 \sqrt{10}=3.162\cdots 1
1464 Nicolaus de Cusa \frac{3}{4}(\sqrt{3}+\sqrt{6})=3.1622\cdots 1
古代 エジプト (\frac{4}{3})^4=3.1605\cdots 1
3世紀 王蕃 \frac{142}{45}=3.1555\cdots 1
古代 バビロニア \frac{25}{8}=3.125 1
\sqrt{2}+\sqrt{3}=3.1462\cdots 2
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド \frac{3(3\sqrt{13}+7)}{17}=3.1444\cdots 2
S. Mircea-Mugurel 2002.10.30 4\sqrt{e}=3.1446\cdots 2
G. von Hippel 2+e^{e^{-2}}=3.1444\cdots 2
古代 バビロニア \frac{22}{7}=3.1428\cdots 2
\frac{9-e}{2}=3.1408\cdots 2
1868 Grosvenor 10\sqrt{2}-11=3.14213\cdots 2
\sqrt{4e-1}=3.1421\cdots 2
G. von Hippel e^{e^{e^{-2}}}=3.1421\cdots 2
1580 TychoBrahe \frac{88}{\sqrt{785}}=3.14085\cdots 2
Stoschek \frac{2^9}{163}=3.14110\cdots 3
1988 Castellanos \sqrt[7]{2e^3+e^8}=3.14171\cdots 3
古代 プトレマイオス ローマ \frac{377}{120}=3.1417\cdots 3
2006.5.3 M.Joseph \sqrt[3]{31}=3.14138\cdots 3
\frac{311}{99}=3.14141\cdots 3
3+\frac{\sqrt{2}}{10}=3.14142\cdots 3
\sqrt{51}-4=3.141428\cdots 3
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{19\sqrt{7}}{16}=3.14182\cdots 3
1220年 フィボナッチ イタリア \frac{864}{275}=3.1418\cdots 3
\frac{6}{5}\phi^2=3.14164\cdots 3
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{9}{5}+\sqrt{\frac{9}{5}}=3.14164\cdots 3
M. Schneider 2008.5.6 \sqrt{7+\sqrt{6+\sqrt{5}}}=3.14163\cdots 3
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{7}{3}(1+\frac{\sqrt{3}}{5})=3.14162\cdots 3
500年頃 アリヤバータ インド 3.1416 3
\frac{333}{106}=3.141509\cdots 4
1988 Castellanos (\frac{553}{312})^2=3.141529\cdots 4
Kochanski \sqrt{\frac{40}{3}-2\sqrt{3}}=3.141533\cdots 4
2006.5.3 M.Joseph (\log{6})^{(\log{5})^{(\log{4})^{(\log{3})^{\log{2}}}}}=3.141577\cdots 4
2+\sqrt[24]{24}=3.141586\cdots 4
1988 Castellanos (\frac{3}{14})^4(\frac{193}{5})^2=3.141575\cdots 4
1988 Castellanos (\frac{296}{167})^2=3.1415970\cdots 5
10^8\sin{(\frac{1}{555555}^\circ)}=3.141595\cdots 5
2003 Plouffe and Borwein and Bailey \frac{log{2198}}{\sqrt{6}}=3.14159434\cdots 5
\frac{e^2}{3}+\frac{19}{28}=3.14159012\cdots 5
\frac{6}{5}(7+3\sqrt{5})=3.14159337\cdots 5
2003 Plouffe and Borwein and Bailey \frac{13}{50}\sqrt{146}=3.14159195\cdots 5
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{103\sqrt{13}+125}{158}=3.1415935\cdots 5
1988 Castellanos (\frac{66^3+86^2}{55^3})^2=3.14159245\cdots 6
2003 Plouffe and Borwein and Bailey \frac{\frac{689}{396}}{\log{\frac{689}{396}}}=3.14159259\cdots 6
5世紀 祖沖之 \frac{355}{113}=3.14159292\cdots 6
1988 Castellanos 1.09999901\cdot1.19999911\cdot1.39999931\cdot

1.69999961=3.14159257\cdots

6
エドワード・ペグ・ジュニア 4-\sqrt[3]{\frac{105}{166}}=3.14159203\cdots 6
1988 Castellanos \frac{47^3+20^3}{30^3}-1=3.14159259\cdots 6
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{99}{80}(\frac{7}{7-3\sqrt{2}})=3.14159273\cdots 6
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{9801}{2206\sqrt{2}}=3.14159273\cdots 6
1988 Castellanos 2+\sqrt{1+(\frac{413}{750})}=3.141592649\cdots 7
2003 Plouffe and Borwein and Bailey (\frac{13}{4})^{\frac{1181}{1216}}=\cdots 7
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{66\sqrt{2}}{33\sqrt{29}-148}=3.141592632\cdots 7
K. Rashid (\frac{802\phi -801}{602\phi -601})^4=3.141592639\cdots 7
1988 Castellanos \sqrt[5]{\frac{77729}{254}}=3.141592641\cdots 8
2003 Plouffe and Borwein and Bailey \frac{3\log{5280}}{\sqrt{67}}=3.1415926529\cdots 8
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \sqrt[4]{\frac{2143}{22}}=3.1415926525\cdots 8
1500年頃 ニーラカンタ インド、ケーララ \frac{103993}{33102}=3.14159265301\cdots 9
\log{2\frac{\sqrt[4]{2}+1}{\sqrt[4]{2}-1}}-\frac{1}{8}(\frac{\sqrt[4]{2}-1}{\sqrt[4]{2}+1})^4

=3.14159265374\cdots

9
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{63}{25}(\frac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}})=3.14159265380\cdots 9
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{180+52\sqrt{3}}{45\sqrt{93}+39\sqrt{31}-201\sqrt{3}-217}

=3.14159265363\cdots

9
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{12}{\sqrt{58}}\log{\frac{\sqrt{29}+5}{\sqrt{2}}}=3.14159265346\cdots 9
エドワード・ペグ・ジュニア 3+\frac{1-(9-8^{-5})^{-6}}{7+2^{-4}}=3.14159265391\cdots 9
2004.1.9 B. Astle 3+\frac{4}{28}-\frac{1}{790+\frac{5}{6}}=3.14159265392\cdots 9
2002.12.30 エドワード・ペグ・ジュニア \frac{22}{17}+\frac{37}{47}+\frac{88}{83}=3.14159265346\cdots 9
1988 Castellanos \sqrt[3]{31+\frac{62^2+14}{28^4}}=3.14159265363\cdots 9
David W. Hoffman \sqrt[193]{\frac{10^{100}}{11222.11122}}=3.14159265364\cdots 9
2003 Plouffe and Borwein and Bailey \sqrt[3]{\frac{63023}{30510}}+\frac{2\sqrt{5}+3}{4}=3.14159265349\cdots 9
de Jerphanion \log{\frac{10691}{462}}=3.14159265393\cdots 9
P. Lindborg \frac{104348}{33215}=3.14159265392\cdots 9
2003 Plouffe and Borwein and Bailey \frac{48}{23}\log{\frac{60318}{13387}}=3.1415926535949\cdots 10
1988 Castellanos \sqrt[4]{95+\frac{93^4+34^4+17^4+88}{75^4}}

=3.141592653590\cdots

10
2^{5^{0.4}}-0.6-(\frac{0.3^9}{7})^{0.8^{0.1}}

=3.141592653590\cdots

10
2003 Plouffe and Borwein and Bailey \frac{125}{123}\log{\frac{28102}{1277}}=3.141592653591\cdots 10
J. Iuliano \frac{1}{\frac{19}{60}+\frac{1}{\sqrt{370347}}}=3.141592653591\cdots 10
1988 Castellanos \frac{1700^3+82^3-10^3-9^3-6^3-3^3}{69^5}

=3.1415926535881\cdots

11
2003 Plouffe and Borwein and Bailey 2+\sqrt[41]{228+\frac{16}{1329}}=3.1415926535867\cdots 11
2003 Plouffe and Borwein and Bailey \frac{141}{1232}(5+6\sqrt{14})=3.14159265358085\cdots 11
P. Galliani \sqrt[9]{\frac{4297607660}{144171}}=3.14159265358960\cdots 12
1988 Castellanos \sqrt[4]{100-\frac{2125^3+214^3+30^3+37^2}{82^5}}

=3.14159265358979780\cdots

13
\frac{22}{7}\cdot \frac{2484}{2485}\cdot \frac{12983009}{12983008}

=3.141592653589769\cdots

13
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{355}{113}(1-\frac{0.0003}{3533})

=3.1415926535897943\cdots

14
P. Galliani \sqrt[9]{\frac{34041350274878}{1141978491}}

=3.14159265358979312\cdots

15
2003 Plouffe and Borwein and Bailey \frac{3}{\sqrt{163}}\log{640320}

=3.14159265358979301\cdots

15
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{24}{\sqrt{142}}\log{(\frac{10+11\sqrt{2}}{4}+\frac{10+7\sqrt{2}}{4})} 15
G. W. Barbosa \frac{\log{(2\cdot 5!)^3+4!+(\sqrt{9}!)!}}{\sqrt{67}}

=3.14159265358979323\cdots

17
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{12}{\sqrt{190}}\log{((2\sqrt{2}+\sqrt{10})(3+\sqrt{10}))} 18
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{12}{\sqrt{190}}\log{(\frac{1}{4}(3+\sqrt{5})(2+\sqrt{2})}

(5+2\sqrt{10})\sqrt{61+20\sqrt{10}}))

22
2003 Plouffe and Borwein and Bailey \sqrt[158]{\frac{276694819753963}{226588}}+2

=3.1415926535897932384626492\cdots

23
\frac{1019514486099146}{324521450032945}

=3.141592653589793238462643378\cdots

25
2003 Plouffe and Borwein and Bailey \frac{640320^3+744}{\sqrt{163}}

=3.1415926535897932384

6264338327972\cdots

30
20世紀初頭 シュリニヴァーサ・ラマヌジャン インド、イギリス \frac{4}{\sqrt{522}}(\log (\frac{\sqrt{29}+5}{\sqrt{2}})^3(5\sqrt{29}+11\sqrt{6})

(\frac{9+3\sqrt{6}}{4}+\frac{5+3\sqrt{6}}{4})^6)

31
\frac{\log{(640320^3+744)^2-2\cdot 196884}}{2\sqrt{163}}

=3.14159265358979323642643383

279502884197169399282071114789451\cdots

46
\frac{6}{\sqrt{3502}}\log (2 (\frac{1071+184\sqrt{34}}{2}

+\sqrt{(\frac{1071+184\sqrt{34}}{2})^2-1})

(\frac{1536+266\sqrt{34}}{2}+

\sqrt{(\frac{1536+266\sqrt{34}}{2})^2-1})

(429+304\sqrt{2}+\sqrt{(429+304\sqrt{2})^2-1})

(\frac{627+442\sqrt{2}}{2}+\sqrt{(\frac{627+442\sqrt{2}}{2})^2-1}))

80

計算編集

円周率の値はいくつかの方法によって四則演算などの比較的容易に計算可能な演算、特に級数などを用いて表すことができ、それによって計算機で正確な値を任意の精度で時間と計算リソースさえあれば求めることが出来る。

円周率の公式編集

円周率を計算で求めるために使うことのできる公式のうち、いくつかを下に示す。[6][7]

多角形の周の長さを用いた公式 編集

U_0=\frac{1}{2},V_0=\frac{1}{\sqrt{3}},U_{n+1}=\sqrt{\frac{1}{2}(1-\sqrt{1-U_n^2})},V_{n+1}=\frac{-1+\sqrt{1+V_n^2}}{V_n}

とすると\lim_{n\to \infty}6\cdot 2^nU_n=\lim_{n\to \infty}6\cdot 2^nV_n=\pi

証明

\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1-\sqrt{1-\sin^2 x}}{2}

\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-(\sin x)^2}}{2}}

これより、帰納的にU_n=\sin \frac{1}{2^n}\arcsin U_0=\sin \frac{1}{2^n}\arcsin \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6\cdot 2^n}

\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=xとすると、

\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^nU_n=\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^n \sin\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\sin x}{x}=\pi

また、\tan x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}}

\tan \frac{x}{2}=\frac{-1+\sqrt{1+\tan^2 x}}{\tan x}

これより、帰納的にV_n=\tan \frac{1}{2^n}\arctan U_0=\sin \frac{1}{2^n}\arctan \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6\cdot 2^n}

\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=xとすると、

\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^nU_n=\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^n \tan\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\tan x}{x}=\pi

なお、U_n,V_nは半径1の円にそれぞれ内接、外接する正6\cdot 2^nの一辺の長さを表している。

\pi = \lim_{n \to \infty}2^{n+1}\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_n}(劉徽の公式)

ちなみに、\pi_n=\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\cdots +\sqrt{2}}}}}}

の漸化式は\pi_0=\sqrt{2},\pi_n=\sqrt{(\frac{1}{2}\pi_{n-1})^2+[1-\sqrt{1-(\frac{1}{2}\pi_{n-1})^2}])}

である。

証明

ヴィエトの無限積の逆数をとれば劉徽の公式となる。

しかしこれは直感的にわかりにくいので、途中式を以下に示す。

n > 2 である整数nにおいて、

\cos{\frac{\pi}{2^n}}=\frac{\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_{n-3}}}{2\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_{n-2}}}…①

であることを帰納法を用いて示す。

[1]n=3のとき

\cos{\frac{\pi}{8}} = \sqrt{\frac{1+\cos{\frac{\pi}{4}}}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \sqrt{\frac{(2+\sqrt{2})(2-\sqrt{2})}{4(2-\sqrt{2})}} = \sqrt{\frac{2}{4(2-\sqrt{2})}} = \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{2-\sqrt{2}}}

[2]n=kのとき①が成立するとして、\sqrt{\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_{n-3}}= X とすると、

\cos{\frac{\pi}{2^{k+1}}} = \sqrt{\frac{1+\cos{\frac{\pi}{2^k}}}{2}}= \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2-X}}{2\sqrt{2-\sqrt{2+X}}}}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2-X}\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}{2\sqrt{2-\sqrt{2+X}}\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}}{2}}

 = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2-X}\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}{2\sqrt{2^2-(2+X)}}}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2-X}\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}{2\sqrt{2-X}}}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}}{2}

 = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}}{2\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}} = \frac{\sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2+X}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2+X}})}}{2\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}}

 = \frac{\sqrt{4-(2+\sqrt{2+X})}}{2\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2+X}}}{2\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+X}}}} =\frac{\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_{n-2}}}{2\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_{n-1}}}

これよりn=k+1のときも①は成り立つ。

[1][2]より、n > 2 である整数nにおいて①は成り立つ。

このため、

\prod_{k=2}^n \cos{\frac{\pi}{2^{k+1}}}=\cos{\frac{\pi}{4}}\prod_{k=3}^n \cos{\frac{x}{2^k}}=\cos{\frac{\pi}{4}}\prod_{k=3}^n \frac{\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_{k-3}}}{2\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_{k-2}}}

= \sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2^{n-2}\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_{n-2}}}= \frac{1}{2^{n-2}\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_{n-2}}}

これより、

\lim_{n \to \infty} 2^n\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_n} =\lim_{n \to \infty} 2^{n-2}\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_{n-2}} =\frac{1}{\prod_{k=2}^\infty \cos{\frac{\pi}{2^{k+1}}}}

= \frac{\frac{\pi}{2}}{\sin{\frac{\pi}{2}}}= \frac{\pi}{2}


\pi= \lim_{n \to \infty} 2^{n+1}\sqrt{2-\underbrace{\sqrt{2+\sqrt{2+ \cdots \sqrt{2+\sqrt2}}}}_n}

\pi = \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots(ヴィエトの無限積)

証明

\sin{2x} = 2\sin x \cos x より、任意の自然数nにおいて

\sin{\frac{x}{2^n}} = 2 \sin{\frac{x}{2^{n+1}}} \cos{\frac{x}{2^{n+1}}}

\sin{\frac{x}{2^n}} \prod_{k=0}^{n-1} \cos{\frac{x}{2^k}} = 2 \sin{\frac{x}{2^{n+1}}} \cos{\frac{x}{2^{n+1}}} \prod_{k=1}^n \cos{\frac{x}{2^k}}

これより帰納的に、\sin x = 2^n \sin{\frac{x}{2^n}} \prod_{k=2}^n \cos{\frac{x}{2^k}}

nの極限をとったとき\sin x = \prod_{k=1}^\infty \cos{\frac{x}{2^k}} \lim_{n \to \infty} 2^n \sin{\frac{x}{2^n}}

ここで、\lim_{n \to \infty} 2^n \sin{\frac{x}{2^n}} = x \lim_{n \to \infty} \frac{2^n}{x} \sin{\frac{x}{2^n}}

\lim_{n \to \infty} \frac{x}{2^n} = 0より、\lim_{n \to \infty} 2^n \sin{\frac{x}{2^n}} =x

すなわち\sin x = \prod_{k=1}^\infty \cos{\frac{x}{2^k}} x

\frac{\sin x}{x} = \prod_{k=1}^\infty \cos{\frac{x}{2^k}}

ここでxに\frac{\pi}{2}を代入すると、\frac{2}{\pi} = \prod_{k=2}^\infty \cos{\frac{\pi}{2^{k}}}

\cos^2{\frac{x}{2}} = \frac{1 + \cos x}{2} より、 0 < x < \pi において、\cos{\frac{x}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \cos x}{2}}

すなわち、\cos{\frac{\pi}{2^{k+1}}} = \sqrt{1 + \cos{\frac{\pi}{2^k}}}

これより、\frac{2}{\pi} = \sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots

それ以外にも、正弦関数の乗積展開\frac{\pi{z}}{\sin\pi{z}}=\prod_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{n^2}{n^2-z^2}\right)}z=\textstyle\frac{1}{2}を代入すると\frac{\pi}{2}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{4n^2}{4n^2-1}=\prod_{n=1}^{\infty}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}が得られる。

x_1=2,x_2=2\sqrt{2},x_{k+1}=x_k\sqrt{\frac{2x_k}{x_k+x_{k-1}}}

とすると、\lim_{k\to \infty}x_k=\pi

証明

\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos x)

および

\frac{\sin x}{2\sin\frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}=\cos\frac{x}{2}

より、

\cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos x)}

\frac{\sin x}{2\sin\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\frac{\sin 2x}{2\sin x})}

\frac{2\sin\frac{x}{2}}{\sin x}=\sqrt{2(\frac{2\sin x}{2\sin x+\sin 2x})}

2\sin\frac{x}{2}=\sin x\sqrt{\frac{2\sin x}{\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x}}

これより、帰納的にx_n=2^n\sin\frac{z}{2^n}と表せる。

x_1=2\sin\frac{z}{2}=1より、z=\pi

よって、x_n=2^n\sin\frac{\pi}{2^n}

\frac{\pi}{\cdot 2^n}=xとすると、

\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}2^n \sin\frac{\pi}{2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\sin x}{x}=\pi

C_0=1,C_{n+1}=\sqrt{2-\sqrt{4-C_n^2}}

とすると、\lim_{n\to \infty} 3\cdot 2^nC_n=\pi

証明

これより、帰納的にC_n=2\sin \frac{1}{2^n}\arcsin \frac{C_0}{2}=2\sin \frac{1}{2^n}\arcsin \frac{1}{2}=2\sin \frac{\pi}{6\cdot 2^n}

\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=xとすると、

\lim_{n\to\infty}3\cdot 2^nC_n=\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^n \sin\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\sin x}{x}=\pi

なお、C_nは半径2の円に内接する正6\cdot 2^nの一辺の長さを表している。

\forall L\in \mathbb{R}, r_0=\frac{L}{8},r_{n+1}=\frac{r_n+\sqrt{r_n^2+\frac{r_0^2}{4^n}}}{2},S_n=\frac{L}{2r_n}

とすると、\lim_{n\to\infty}S_n=\pi

k_0=0,h_0=2,k_{n+1}=\sqrt{2+k_n},h_{n+1}=\sqrt{2-k_n}

としたとき、

\sum_{n=0}^\infty h_n\left(1-\frac{k_n}{2}\right)2^n=\pi

x_1=2,x_{n+1}=2^{2n+1}-2^{n+1}\sqrt{4^n-x_n}

としたとき、

\lim_{n\to\infty}\sqrt{x_n+\frac{4}{3}(x_{n+1}-x_n)}=\frac{\pi}{2}

逆三角関数系公式 編集

逆正接関数テイラー展開によって比較的簡単な級数になることから、逆正接関数を用いて円周率を表す方法が存在する。逆正接関数の性質により、そのような公式は無限に作ることができる。詳細は逆三角関数のページから。

一般的なもの 編集

一時改装のため避難中

特殊なもの 編集

\arcsin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}を利用

\frac{\pi}{3} = 2 \arcsin \frac{1}{2} = 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{1}{2^{2n+1}(2n+1)}(ニュートンの公式)

= \sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n)!!} \frac{1}{2^{2n}(2n+1)} = \sum_{n=0}^\infty \frac{((2n-1)!!)^2}{(2n)!} \frac{1}{2^{2n}(2n+1)}

= \sum_{n=0}^\infty \frac{((2n-1)!!)^2}{(2n+1)!} \frac{1}{2^{2n}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{((2n-1)!!)^2}{(4n+2)!!}(松永良弼の公式)

\frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n} n!}{(2n-1)!!} \frac{x^{2n+1}}{2n+1}を利用

\frac{\pi}{2} = \sqrt{2}\frac{\arcsin \frac{1}{\sqrt{2}}}{\sqrt{1-(\frac{1}{\sqrt{2}})^2}} = \sqrt{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n} n!}{(2n-1)!!} \frac{(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!}{(2n+1)!!}

\frac{2\sqrt{3}\pi}{9} = 2\frac{\arcsin \frac{1}{2}}{\sqrt{1-(\frac{1}{2})^2}} = 2\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{n} n!}{(2n-1)!!} \frac{(\frac{1}{2})^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!}{2^n(2n+1)!!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n+1)!}

\frac{\pi}{5\sqrt{\phi +2}} = \frac{\arcsin \sin{\frac{\pi}{10}}}{\sqrt{1-\sin^2{\frac{\pi}{10}}}} = 2\sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{\phi^{2n+1}(2n+1)!}

\arcsin^2 x = 2\sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} (n!)^2}{(2n+2)!}x^{2n+2}を利用

\frac{\pi^2}{9} = 4\arcsin^2 \frac{1}{2} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(n!)^2}{{}_{2n+2}P_2}(建部賢弘の公式)

\arctan x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}を利用

\frac{\pi}{4} = \arctan 1= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}(ライプニッツの公式、マーダヴァとグレゴリーが先に発見)

\pi = 6\arctan\frac{1}{\sqrt{3}} = \sqrt{12}\sum_{k=1}^\infty \frac{2(-1)^k}{(2k+1)3^k}(マーダヴァの公式、シャープの公式)

\frac{\pi}{2} = 2\arctan\frac{1}{\sqrt{2}} +\arctan\frac{1}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}(\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2^n(2n-1)} +\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{2^{3n}(2n-1)})

\frac{\pi}{6} = 2\arctan\frac{1}{3\sqrt{3}} +\arctan\frac{1}{4\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{36}(4\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{27^n(2n+1)} +3\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{48^n(2n+1)}) \frac{5\pi}{4} = 12\arctan\frac{1}{3} + 4\arctan\frac{1}{57} - \arctan\frac{1}{239}

一般式

\frac{\pi}{4} = P\arctan\frac{1}{2} - M\arctan\frac{1}{3} + L\arctan\frac{1}{5} + K\arctan\frac{1}{7} +

(N+K+L-2M+3P-5)\arctan\frac{1}{8} + (2N+M-P+2-L)\arctan\frac{1}{17}

- (2P-3-M+L+K-N)\arctan\frac{1}{58} - N\arctan\frac{1}{239}

\frac{\pi}{4} = (N+2)\arctan\frac{1}{2} - N\arctan\frac{1}{3}-(N+1)\arctan\frac{1}{N}

(P,N,M,L,Kは正の実数)

無限和

\frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^\infty \arctan\frac{1}{F_{2n+1}} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{5} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)F_{2n+1}^{2k+1}}

\begin{align}
\frac{\pi}{4} &= \sum_{n=1}^\infty \arctan\frac{1}{n^2+n+1} = \arctan\frac{1}{3} + \arctan\frac{1}{7} + \cdots & \\
 &= \sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)(n^2+n+1)^{2k+1}}& \\
\end{align}

\frac{\pi}{4} = \sum_{n=1}^\infty \arctan\frac{1}{2n^2} = \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{8} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)(2n^2)^{2k+1}}

おまけ

(分母が連続する式)

\frac{\pi}{4} = \arctan1 + \arctan\frac{1}{2} + \arctan\frac{1}{3} - \arctan\frac{1}{4} + 4\arctan\frac{1}{5} + \arctan\frac{1}{6} +

 2\arctan\frac{1}{7} + 4\arctan\frac{1}{8} - 2\arctan\frac{1}{9} + \arctan\frac{1}{10} + \arctan\frac{1}{11} + \arctan\frac{1}{12} -

 \arctan\frac{1}{13} + \arctan\frac{1}{14} - 2\arctan\frac{1}{15} + \arctan\frac{1}{16} + \arctan\frac{1}{17} + \arctan\frac{1}{50} +

 \arctan\frac{1}{68} + \arctan\frac{1}{91} - \arctan\frac{1}{211} + \arctan\frac{1}{241}

(途中までの和を求める式)

\pi=(-1)^{n+1}\sum_{k=0}^\infty \frac{k!}{2^k(-n-\frac{1}{2})_{k+1}}-4\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^{j}}{2j+1}

\pi=8\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n-1}}{p^{2n-1}(2n-1)}(\sum_{k=1}^mb_kU_n^k)

ただし、U_1^k=\frac{p^2-1}{2p}a_k,U_2^k=2(U_1^k)^2-1,U_n^k=\frac{p^2-1}{p}a_kU_{n-1}^k-U_{n-2}^k

さらに、\frac{\pi}{4}=\sum_{k=1}^{m}b_k\arctan (a_k)

任意の正の実数U_0,U_1、自然数nに対して、

\pi = 4\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}((\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}})^{2k+1}+(\frac{U_n}{U_{n+3}})^{2k+1})

ただし、U_{n+2}=U_{n+1}+U_n

証明

U_0>0,U_1>0,U_{n+2}=U_{n+1}+U_n

より、帰納的に

0<U_1<U_2<\cdots<U_n<U_{n+1}<U_{n+2}<U_{n+3}<\cdots,0<\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}}<1,0<\frac{U_n}{U_{n+3}}<1

これより、

\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}((\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}})^{2k+1}+(\frac{U_n}{U_{n+3}})^{2k+1})=\arctan\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}}+\arctan\frac{U_n}{U_{n+3}}

かつ

0<\arctan\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}}<\frac{\pi}{4},0<\arctan\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}}<\frac{\pi}{4}

ここで

\begin{align}
&\tan(\arctan\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}}+\arctan\frac{U_n}{U_{n+3}})=\frac{\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}}+\frac{U_n}{U_{n+3}}}{1-\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}}\frac{U_n}{U_{n+3}}}=\frac{U_{n+1}U_{n+3}+U_nU_{n+2}}{U_{n+2}U_{n+3}-U_nU_{n+1}} \\
&=\frac{U_{n+1}(2U_{n+1}+U_n)+U_n(U_{n+1}+U_n)}{(2U_{n+1}+U_n)(U_{n+1}+U_n)-U_nU_{n+1}}=\frac{2U_{n+1}^2+2U_nU_{n+1}+U_n^2}{2U_{n+1}^2+2U_nU_{n+1}+U_n^2}=1\\
\end{align}

0<\arctan\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}}+\arctan\frac{U_n}{U_{n+3}}<\frac{\pi}{2}

より

\frac{\pi}{4}=\arctan \frac{U_{n+1}}{U_{n+2}}+\arctan \frac{U_n}{U_{n+3}}

\pi = 4\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{2k+1}((\frac{U_{n+1}}{U_{n+2}})^{2k+1}+(\frac{U_n}{U_{n+3}})^{2k+1})

\arctan x = \frac{1}{x}\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!} (\frac{x^2}{1+x^2})^{n+1}を利用

\frac{\pi}{4} = 5 \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{3}{79} =

35\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}(\frac{2}{100})^{n+1} + \frac{158}{3}\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}(\frac{144}{100000})^{n+1}

(オイラーはこの公式を用いて、円周率を1時間で20桁まで求めた。)

\frac{\pi}{4} = \arctan\frac{1}{7} + 2 \arctan\frac{1}{3} =

7\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}(\frac{2}{100})^{n+1} + 6\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}(\frac{1}{10})^{n+1}

ラマヌジャン系公式 編集

ラマヌジャンが発表したラマヌジャンの公式に類似する公式群。ラマヌジャンは証明という概念を持っていなかったため、彼がどのようにしてこの公式を導き出したのか定かではないが、その後の研究により、楕円積分からの派生によって理論を組み立てられることが分かっており、そこから複数の公式が発見された。

連分数系公式 編集

連分数を用いて円周率の計算をすることが可能な公式をここに示す。

\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+\cdots}}}}

\frac{4}{\pi}=1+\frac{1^2}{3+\frac{2^2}{5+\frac{3^2}{7+\frac{4^2}{9+\cdots}}}}

\pi=3+\frac{1^2}{6+\frac{3^2}{6+\frac{5^2}{6+\frac{7^2}{6+\cdots}}}}

\frac{\pi}{2}=1+\frac{2}{3+\frac{3\cdot 5}{4+\frac{5\cdot 7}{4+\frac{7\cdot 9}{4+\cdots}}}}

\frac{2}{\pi}=1+\frac{2\cdot 1}{1+\frac{3\cdot 2}{1+\frac{4\cdot 3}{1+\cdots}}}

\frac{\pi}{2}=1-\frac{1}{3-\frac{2\cdot 3}{1-\frac{1\cdot 2}{3-\frac{4\cdot 5}{1-\frac{3\cdot 4}{3-\frac{6\cdot 7}{1-\cdots}}}}}}

\frac{16}{\pi}=5+\frac{1^2}{10+\frac{3^2}{10+\frac{5^2}{10+\frac{7^2}{10+\cdots}}}}

\frac{12}{\pi^2}=1+\frac{1^4}{3+\frac{2^4}{5+\frac{3^4}{7+\frac{4^4}{9+\cdots}}}}

\frac{6}{\pi^2-6}=1+\frac{1^2}{1+\frac{1\cdot 2}{1+\frac{2^2}{1+\frac{2\cdot 3}{1+\frac{3^2}{1+\frac{3\cdot 4}{1+\frac{4^2}{1+\frac{4\cdot 5}{1+\cdots}}}}}}}}

算術幾何平均公式(ガウス=ルジャンドルの公式) 編集

M(a,b)をaとbの算術幾何平均とし、

a_1 = 1 , b_1 = \frac{1}{\sqrt2} , a_{k+1} = \frac{a_k+b_k}{2} , b_{k+1} = \sqrt{a_k b_k}

とすると、

\pi = \frac{M(a_1,b_1)}{1-\sum_{k=1}^\infty (a_k^2-b_k^2)}

である。なので、

t_1 = \frac{1}{4}, t_{n+1} = t_n - 2^{n-2}(a_n - b_n)^2

とすると

\pi \approx \frac{(a_n+b_n)^2}{4t_n}

である。

漸化式に根号が含まれたこの式は計算に向かないと思うかもしれないが、この式は非常に収束が早く、算術幾何平均の性質により、一回の反復で有効桁数が2倍になる。そのため、円周率の計算に使われることもある。 このアルゴリズムの発見者のひとりであるガウス自身、このアルゴリズムを4回反復し、円周率12桁の近似を得たと言われている。

ちなみに、M(0,\frac{1}{4})=\frac{1}{2\pi}(ニコラウス・クザーヌスの公式)が15世紀には知られていた。

また、

a_0 = 2\sqrt{3} , b_0 = 3 , \frac{1}{a_{k+1}} = \frac{1}{a_k} + \frac{1}{b_k}, b_{k+1} = \sqrt{a_k b_k}

とすると、

\pi = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n(アルキメデスの公式)

これは3と2√3の調和幾何平均に等しい。

Borweinの収束公式 編集

Borwein兄弟は、算術幾何積分公式と同様に、任意のnに対してn次収束するようなアルゴリズムで円周率を求めることが可能であることを証明し、いくつかについて具体的な例を示した。特に2番目と7番目の公式はコンピュータによる計算が比較的容易であり、円周率の計算にも使われる。

4次収束の公式(1984)

\begin{align}
&a_0=\sqrt{2},b_0=0,a_{n+1}=\frac{a_n+1}{2\sqrt{a_n}},b_{n+1}=\frac{\sqrt{a_n}(1+b_n)}{a_n+b_n}, \\
&p_0=2+\sqrt{2},p_{n+1}=p_nb_{n+1}\frac{1+a_{n+1}}{1+b_{n+1}} \\
\end{align}

のとき、

\lim_{n\to\infty}p_n=\pi

4次収束の公式(1987)

\begin{align}
&y_0=\sqrt{2},z_1=\sqrt[4]{2},y_{n+1}=\frac{1+y_n}{2\sqrt{y_n}},z_{n+1}=\frac{1+y_nz_n}{(1+z_n)\sqrt{y_n}} \\
&f_0=2+\sqrt{2},f_n=f_{n-1}\frac{1+y_n}{1+z_n}
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}f_n=\pi

4次収束の公式

y_0=\frac{1}{\sqrt{2}},y_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-y_n^2}}{1+\sqrt{1-y_n^2}},\alpha_0=\frac{1}{2},\alpha_{n+1}=((1+y_{n+1})^2\alpha_n)-2^{n+1}y_{n+1}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

4次収束の公式

y_0=\frac{1}{3},y_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-y_n^2}}{1+3\sqrt{1-y_n^2}},\alpha_0=\frac{1}{3},\alpha_{n+1}=((1+3y_{n+1})\alpha_n)-2^ny_{n+1}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

4次収束の公式

y_0=2,y_{n+1}=\frac{4}{1+\sqrt{(4-y_n)(2+y_n)}},\alpha_0=\frac{1}{3},\alpha_{n+1}=y_n\alpha_n+\frac{2^n}{3}(1-y_n)

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

3次収束の公式

\begin{align}
&y_0=\frac{\sqrt{3}-1}{2},y_{n+1}=\frac{1-\sqrt[3]{1-y_n^3}}{1+2\sqrt[3]{1-y_n^3}}, \\
&\alpha_0=\frac{1}{3},\alpha_{n+1}=((1+2y_{n+1})^2\alpha_n)-4\cdot3^{n-1}(1+y_{n+1})y_{n+1} \\
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

4次収束の公式

\begin{align}
&y_0=\sqrt{2}-1,y_{n+1}=\frac{1-\sqrt[4]{1-y_n^4}}{1+\sqrt[4]{1-y_n^4}}, \\
&\alpha_0=6-4\sqrt{2},\alpha_{n+1}=((1+y_{n+1})^4\alpha_n)-2^{2n+3}(1+y_{n+1}+y_{n+1}^2)y_{n+1} \\
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

5次収束の公式

\begin{align}
&S_0=5(\sqrt{5}-2),\alpha_0=\frac{1}{2},S_{n+1}=\frac{25}{S_n\left(Z_n+\frac{X_n}{Z_n}+1\right)^2}, \\
&X_n=\frac{5}{S_n}-1,Y_n=(X_n-1)^2+7,Z=\frac{1}{2}\sqrt[5]{X_n(Y_n+\sqrt{Y_n^2-4X_n^3})} \\
&\alpha_{n+1}=S_n^2\alpha_n-5^n\left(\frac{S_n^2-5}{2}+\sqrt{S_n(S_n^2-2S_n+5)}\right)
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

7次収束の公式

\begin{align}
&\alpha_0=\frac{4}{3\sqrt{7}},\mathbf{M}=\left(2\cos\left(\frac{4\pi ij}{7}\right)\right)_{1\leq i,j\leq3}=\left( 
\begin{array}{ccc}
2\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{12\pi}{7}\right) \\
2\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{16\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{24\pi}{7}\right) \\
2\cos\left(\frac{12\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{24\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{36\pi}{7}\right) \\
\end{array} 
\right) \\
&=\left( 
\begin{array}{ccc}
2\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \\
2\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) \\
2\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right) \\
\end{array} 
\right) \\
&x_2<x_1<x_3,f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0,f(x)=27^4x^3-27^332x^2+27^2325x-13^4 \\
&y_1=\sqrt[7]{x_1^3x_3},y_2=\sqrt[7]{x_2^3x_1},y_3=\sqrt[7]{x_3^3x_2},\mathbf{s_0}=\left(\frac{27}{13}\right)^{\frac{3}{7}}\left(\begin{array}{c}y_1 \\y_2 \\y_3\end{array}\right), \\
&\mathbf{s_n}=\frac{1}{7}\sqrt{m_{n-1}}[\mathbf{M\cdot s}_{n-1}'+\mathbf{1}]=\left(\begin{array}{c}s_{1,n} \\s_{2,n} \\s_{3,n}\end{array}\right),\mathbf{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\1 \\1\end{array}\right) \\
&g_{1,n}=s_{1,n}s_{2,n}s_{3,n},g_{2,n}=s_{1,n}^3s_{2,n}+s_{2,n}^3s_{3,n}+s_{3,n}^3s_{1,n}, \\
&g_{3,n}=1-\frac{10}{7}g_{1,n}+\frac{1}{7}g_{2,n},g_{4,n}=3-\frac{51}{7}g_{1,n}+\frac{10}{7}g_{2,n} \\
&\beta_n<\mu_n<\gamma_n,h(\beta_n)=h(\mu_n)=h(\gamma_n)=0, \\
&h(x)=x^3-g_{4,n}x^2+g_{3,n}(2g_{4,n}-3g_{3,n})x-g_{3,n}^4 \\
&\mathbf{s}'_n=\left(\begin{array}{c}\sqrt[7]{\frac{\mu^3\gamma}{g_{3,n}^3}} \\\sqrt[7]{\frac{\beta^3\mu}{g_{3,n}^3}} \\\sqrt[7]{\frac{\gamma^3\beta}{g_{3,n}^3}}\end{array}\right),m_n\frac{49}{1+2\mathbf{s'_n\cdot 1}},\alpha_{n+1}=m_n\alpha_n+\sqrt{7}\frac{7^n}{3}(1-m_n) \\
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

9次収束の公式

\begin{align}
&\alpha_0=\frac{1}{3},s_1=\frac{\sqrt{3}-1}{2},s_n'=(1-s_n^3)^{\frac{1}{3}},s_{n+1}'=\frac{(1-s_n)^3}{(t_n+2u_n)(t_n^2+t_nu_n+u_n^2)} \\
&t_n=1+2s_n,u_n=[9s_n(1+s_n+s_n^2)]^{\frac{1}{3}},m_n=27\frac{(1+s_n'+s_n'^2)^3}{t^2_n+t_nu_n+u_n^2} \\
&\alpha_{n+1}=m_{n+1}\alpha_n+3^{2n-1}(1-m_{n+1})
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

16次収束の公式

\begin{align}
&\alpha_0=\frac{1}{3},s_1=\sqrt{2}-1,s_n'=(1-s_n^4)^{\frac{1}{4}},s_{n+1}'=\frac{(1-s_n)^4}{(t_n+u_n)^2(t_n^2+u_n^2)} \\
&t_n=1+s_n,u_n=[8s_n(1+s_n^2)]^{\frac{1}{4}},m_{1,n}=\left(\frac{1+s_n'}{2}\right)^4,m_{2,n}=\frac{1}{t_n^4} \\
&\alpha_{n+1}=16m_{1,n+1}\alpha_n+\frac{4^{2n+1}}{3}(1-4m_{1,n+1}-12m_{2,n+1})
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

BBP系公式 編集

David Bailey, Peter Borwein, Simon Plouffe の三人が発見したBBP公式から派生した公式群。詳しくは同項目のページを参照。

その他 編集

上記のどれにも当てはまらないが、一応計算が可能な公式をここに示す。

{}_3F_2\binom{1,-\frac{1}{4},-\frac{3}{4}}{\frac{9}{4},\frac{11}{4}}=\frac{21}{64}\pi

{}_3F_2\binom{1,\frac{1}{2},\frac{1}{2}}{\frac{5}{2},\frac{5}{2}}=\frac{9}{8}(4-\pi)

\pi = \frac{3\sqrt{3}}{4}+24 \int_0^{\frac{1}{4}} \sqrt{x-x^2} dx

= \frac{3\sqrt{3}}{4}-24\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n)!}{(2n-1)(2n+3)(n!)^22^{4n+2}}(ニュートンの公式)

\pi =4- \sum_{n=1}^\infty \frac{(2n-2)!n}{2^{4n-3}(n!)!(2n+1)}

ゼータ関数関連

\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}=  \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}\!(ゼータ関数)

証明その1

オイラーは、sin x のマクローリン展開を利用してすべての平方数の逆数の総和を求める方法を編み出した。まずは sin x を

\sin x=\frac{x^1}{1!} -\frac{x^3}{3!} +\frac{x^5}{5!} -\frac{x^7}{7!} +\cdots

と展開する。この両辺を x で割ると

\frac{\sin x}{x} =\frac{1}{1!} -\frac{x^2}{3!} +\frac{x^4}{5!} -\frac{x^6}{7!} +\cdots \quad -(1)

左辺は x = ±nπ(n は自然数)で 0 であるから、右辺を形式的に以下のように「因数分解」できる。

\frac{\sin x}{x} =\left( 1-\frac{x}{1\pi} \right) \left( 1+\frac{x}{1\pi} \right) \left( 1-\frac{x}{2\pi} \right) \left( 1+\frac{x}{2\pi} \right) \left( 1-\frac{x}{3\pi} \right) \left( 1+\frac{x}{3\pi} \right) \cdots

隣接する2項を掛け合わせると

\frac{\sin x}{x} = \left(1 - \frac{x^2}{1^2 \pi^2}\right) \left(1 - \frac{x^2}{2^2 \pi^2}\right) \left( 1-\frac{x^2}{3^2 \pi^2} \right) \cdots \quad -(2)

(1) = (2) であり、両辺の x^2 の係数を比較すると

(2):-\left( \frac{1}{1^2 \pi^2} +\frac{1}{2^2 \pi^2} +\frac{1}{3^2 \pi^2} +\cdots \right) =-\frac{1}{\pi^2} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

(1):-\frac{1}{3!} =-\frac{1}{6}

これらは等しいはずなので

-\frac{1}{\pi^2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2} = - \frac{1}{6}

ゆえに、求める級数の値は

\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}} = \frac{\pi^2}{6}

なおオイラーは、一般的に k 番目のベルヌーイ数B_k とすると

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}} =(-1)^{k+1} \frac{B_{2k}(2\pi)^{2k}}{2(2k)!}

が成り立つことも示した。

なお、\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}の値を求める問題はバーゼル問題と呼ばれる。詳しくはゼータ関数のページを参照。

証明その2

放物線をフーリエ級数で表す方法を用いる。

f(x)=\frac{x^2}{4} \ (-\pi <x<\pi)

を考える。この放物線は偶関数であるからフーリエ係数 b_n は 0 である。a_0

\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{x^2}{4} dx=\frac{{\pi}^2}{12}

であり、a_n (n > 0)

\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} \frac{x^2}{4} \cos nxdx=\frac{(-1)^n}{n^2}

ゆえに、f(x) のフーリエ級数は

\begin{align}

f(x) &=\frac{{\pi}^2}{12} -\cos x+\frac{1}{2^2} \cos 2x-\frac{1}{3^2} \cos 3x+\cdots +(-1)^n \frac{1}{n^2} \cos nx+\cdots \\ 

&=\frac{{\pi}^2}{12} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2} \cos nx \\

\end{align}

両辺に x = π を代入すると

\frac{{\pi}^2}{4} =\frac{{\pi}^2}{12} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

ゆえに、バーゼル問題の解

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{{\pi}^2}{6}

が得られる。

証明その3・ランダウ記号を使う場合

\begin{align}\lim_{z\to0}\frac{d}{dz}\pi\cot\pi{z}
&=-\frac{\pi^2}{\sin^2\pi{z}}\\
&=-\frac{\pi^2}{(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(\pi z)^{2n+1})^2}\\
&=-\frac{\pi^2}{\left(\pi{z}-\frac{1}{6}(\pi{z})^3+O(z^5)\right)^2}\\
&=-\frac{\pi^2}{(\pi{z})^2-\frac{1}{3}(\pi{z})^4+O(z^6)}\\
&=-\frac{1}{z^2}\frac{1}{1-\frac{1}{3}(\pi{z})^2+O(z^4)}\\
&=-\frac{1}{z^2}\sum_{n=0}^\infty(\frac{1}{3}(\pi{z})^2+O(z^4))^n\\
&=-\frac{1}{z^2}(1+\frac{1}{3}(\pi{z})^2+O(z^4))\\
&=-\frac{1}{z^2}-\frac{1}{3}\pi^2+O(z^2)\\
\end{align} \begin{align}\lim_{z\to0}\frac{d}{dz}\left(\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}\right)
&=-\frac{1}{z^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{z^2-n^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{4z^2}{(z^2-n^2)^2}\\
&=-\frac{1}{z^2}-\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{n^2}+O(z^2)\\
\end{align} \pi\cot{{\pi}z}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-n^2} これより、

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{{\pi}^2}{6}

が得られる。

証明その3・ランダウ記号を使わない場合

三角関数の部分分数展開により、

\pi\cot{{\pi}z}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}

\pi\cot{{\pi}z}-(\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-n^2})=0

この部分分数展開はzが実数全体のときにおいて定義されるため、

\lim_{a \to 0} (\frac{d}{dz} (\pi\cot{{\pi}z}-(\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-n^2})))|_{x=a}=\frac{d}{dz} (\pi\cot{{\pi}z}-(\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-n^2})))|_{x=0}=0

\begin{align}&\lim_{a \to 0} (\frac{d}{dz} (\pi\cot{{\pi}z}-(\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-n^2})))|_{x=a}\\
&=\lim_{a \to 0}(-\frac{\pi^2}{\sin^2 \pi a} + \frac{1}{a^2} + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a^2+n^2)}{(a^2-n^2)^2})\\
&=\lim_{a \to 0}(-\frac{\pi^2}{(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(\pi a)^{2n+1})^2} + \frac{1}{a^2} + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a^2+n^2)}{(a^2-n^2)^2})\\
&=\lim_{a \to 0}(-\frac{1}{a^2(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}(\pi a)^{2n})^2} + \frac{1}{a^2} + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a^2+n^2)}{(a^2-n^2)^2})\\
&=\lim_{a \to 0}(-\frac{1}{a^2\sum_{n=0}^{\infty}(-\frac{1}{3})^n(\pi a)^{2n}}\frac{\sum_{n=0}^{\infty}(-\frac{1}{3})^n(\pi a)^{2n}}{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!}(\pi a)^{2n}}\\
& + \frac{1}{a^2} + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a^2+n^2)}{(a^2-n^2)^2})\\
&=\lim_{a \to 0}(-\frac{1}{a^2\frac{1}{1+\frac{\pi^2 a^2}{3}}}\frac{\sum_{n=0}^{\infty}(-\frac{1}{3})^n(\pi a)^{2n}}{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!}(\pi a)^{2n}} + \frac{1}{a^2} + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a^2+n^2)}{(a^2-n^2)^2})\\
&=\lim_{a \to 0}(-\frac{1+\frac{\pi^2 a^2}{3}}{a^2}\frac{\sum_{n=0}^{\infty}(-\frac{1}{3})^n(\pi a)^{2n}}{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!}(\pi a)^{2n}} + \frac{1}{a^2} + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a^2+n^2)}{(a^2-n^2)^2})\\
&=\lim_{a \to 0}(-(\frac{1}{a^2}+\frac{\pi^2}{3})(1+\frac{\sum_{n=0}^{\infty}((-\frac{1}{3})^n-\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!})(\pi a)^{2n}}{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!}(\pi a)^{2n}})\\
& + \frac{1}{a^2} + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a^2+n^2)}{(a^2-n^2)^2})\\
&=\lim_{a \to 0}(-(\frac{1}{a^2}+\frac{\pi^2}{3})(1+\frac{\sum_{n=2}^{\infty}((-\frac{1}{3})^n-\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!})(\pi a)^{2n}}{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!}(\pi a)^{2n}})\\
& + \frac{1}{a^2} + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a^2+n^2)}{(a^2-n^2)^2})\\
&=\lim_{a \to 0}(-(\frac{1}{a^2}+\frac{\pi^2}{3})(1+(\pi a)^4\frac{\sum_{n=2}^{\infty}((-\frac{1}{3})^n-\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!})(\pi a)^{2(n-2)}}{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!}(\pi a)^{2n}})\\
& + \frac{1}{a^2} + 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a^2+n^2)}{(a^2-n^2)^2})\\
&=\lim_{a \to 0}(-\frac{1}{a^2}(\pi a)^4\frac{\sum_{n=2}^{\infty}((-\frac{1}{3})^n-\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!})(\pi a)^{2(n-2)}}{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!}(\pi a)^{2n}}\\
&-\frac{\pi^2}{3}(1+(\pi a)^4\frac{\sum_{n=2}^{\infty}((-\frac{1}{3})^n-\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!})(\pi a)^{2(n-2)}}{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!}(\pi a)^{2n}})\\
&+ 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a^2+n^2)}{(a^2-n^2)^2})\\
&=\lim_{a \to 0}(-\pi^4 a^2\frac{\sum_{n=2}^{\infty}((-\frac{1}{3})^n-\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!})(\pi a)^{2(n-2)}}{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!}(\pi a)^{2n}}\\
&-\frac{\pi^2}{3}(1+(\pi a)^4\frac{\sum_{n=2}^{\infty}((-\frac{1}{3})^n-\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!})(\pi a)^{2(n-2)}}{\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{m=0}^n\frac{(-1)^n}{(2m+1)!(2(n-m)+1)!}(\pi a)^{2n}})\\
&+ 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(a^2+n^2)}{(a^2-n^2)^2})\\
&=-\frac{\pi^2}{3}+ 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(n^2)}{(-n^2)^2}\\
&=-\frac{\pi^2}{3}+ 2\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=0
\end{align}

これより、

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{{\pi}^2}{6}

が得られる。

\zeta(4)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^4}=  \frac{1}{1^4} + \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{90}\!

\zeta(6)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^6}=  \frac{1}{1^6} + \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{4^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{945}\!

\zeta(2k)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2k}}=  \frac{1}{1^{2k}} + \frac{1}{2^{2k}} + \frac{1}{3^{2k}} + \frac{1}{4^{2k}} + \cdots = \frac{2^{2k}|B_{2k}|\pi^{2k}}{2(2k)!}\!

証明その1

余接関数 (cotangent) の部分分数展開は次のようになる。

\pi\cot{{\pi}z}=\frac{1}{z}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2z}{z^2-n^2}

ここで、z<1ならばすべての自然数nに対して

\frac{1z}{z^2-n^2}=-\frac{z}{n^2}\frac{1}{1-\frac{z^2}{n^2}}=-\frac{z}{n^2}\sum_{k=0}^\infty (\frac{z^2}{n^2})^k=-\sum_{k=1}^\infty \frac{z^{2k-1}}{n^{2k}}

すなわち

\pi\cot{{\pi}z}=\frac{1}{z}-2\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=1}^\infty \frac{z^{2k-1}}{n^{2k}}=\frac{1}{z}-2\sum_{k=1}^\infty(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^{2k}}) z^{2k-1}=\frac{1}{z}-\sum_{k=1}^\infty 2\zeta (2k) z^{2k-1}

一方で、余接関数 (cotangent) のローラン級数展開は次のようになる。

\cot z = \frac{1}{z} + \sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \frac{2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}z^{2k-1}

これより、

\pi\cot\pi z = \frac{\pi}{\pi z} + \pi\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k \frac{2^{2k}B_{2k}}{(2k)!}(\pi z)^{2k-1}= \frac{1}{z} + \sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^k(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!}z^{2k-1}

係数比較により、

-2\zeta(2k)=\frac{(-1)^k(2\pi)^{2k}B_{2k}}{(2k)!}

\zeta(2k)=\frac{(-1)^{k+1}(2\pi)^{2k}B_{2k}}{2(2k)!}

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{8}\!

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^4} = \frac{1}{1^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{7^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{96}\!

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^6} = \frac{1}{1^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{5^6} + \frac{1}{7^6} + \cdots = \frac{\pi^6}{960}\!

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{(2n+1)^{2k}}=  \frac{1}{1^{2k}} + \frac{1}{3^{2k}} + \frac{1}{5^{2k}} + \frac{1}{7^{2k}} + \cdots = \frac{(2^{2k}-1)|B_{2k}|\pi^{2k}}{2(2k)!}\!

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^2}=  \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{12}\!

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^4}=  \frac{1}{1^4} - \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} - \frac{1}{4^4} + \cdots = \frac{7\pi^4}{720}\!

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^6}=  \frac{1}{1^6} - \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} - \frac{1}{4^6} + \cdots = \frac{31\pi^6}{30240}\!

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n^{2k}}=  \frac{1}{1^{2k}} - \frac{1}{2^{2k}} + \frac{1}{3^{2k}} - \frac{1}{4^{2k}} + \cdots = \frac{(2^{2k}-2)|B_{2k}|\pi^{2k}}{2(2k)!}\!

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3} = \frac{1}{1^3} - \frac{1}{3^3} + \frac{1}{5^3} - \frac{1}{7^3} + \cdots = \frac{\pi^3}{32}\!

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^5} = \frac{1}{1^5} - \frac{1}{3^5} + \frac{1}{5^5} - \frac{1}{7^5} + \cdots = \frac{5\pi^5}{1536}\!

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^7} = \frac{1}{1^7} - \frac{1}{3^7} + \frac{1}{5^7} - \frac{1}{7^7} + \cdots = \frac{61\pi^5}{184320}\!

\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)^{2k+1}}=  \frac{1}{1^{2k+1}} - \frac{1}{3^{2k+1}} + \frac{1}{5^{2k+1}} - \frac{1}{7^{2k+1}} + \cdots = \frac{|E_{2k}|\pi^{2k+1}}{2^{2k+2}(2k)!}\!

Bkはベルヌーイ数、Ekはオイラー数

\frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \frac{1}{8^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{20}\!

\frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{7^4} + \frac{1}{8^4} + \cdots = \frac{\pi^4}{1260}\!

\frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{5^6} + \frac{1}{7^6} + \frac{1}{8^6} + \cdots = \frac{4\pi^6}{225225}\!

\frac{1}{2^k} + \frac{1}{3^k} + \frac{1}{5^k} + \frac{1}{7^k} + \frac{1}{8^k} + \cdots = \frac{\zeta^2(2k)-\zeta(4k)}{2\zeta(2k)}\!

このとき分母は奇数個の素数の積(重複を許す)の冪乗。素数以外で最も値の小さい分母は8の冪乗。

 \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \frac{1}{7^2} + \cdots = \frac{9}{2\pi^2}\!

 \frac{1}{2^4} + \frac{1}{3^4} + \frac{1}{5^4} + \frac{1}{7^4} + \cdots = \frac{15}{2\pi^4}\!

 \frac{1}{2^6} + \frac{1}{3^6} + \frac{1}{5^6} + \frac{1}{7^6} + \cdots = \frac{11340}{691\pi^6}\!

\frac{1}{2^{2k}} + \frac{1}{3^{2k}} + \frac{1}{5^{2k}} + \frac{1}{7^{2k}} + \cdots = \frac{\zeta^2(2k)-\zeta(4k)}{2\zeta(2k)\zeta(4k)}\!

このとき分母は相異なる奇数個の素数の積の冪乗。素数以外で最も値の小さい分母は30の冪乗。

\frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\frac{1}{4k+1} + \frac{1}{4k+3})

\pi = 3+ \frac{1}{3} \sum_{n=1}^\infty \frac{n!(2n)!(5n+3)}{2^n(3n+2)!}

\frac{\pi^2}{16} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n+1}\sum_{k=0}^n \frac{1}{2k+1}

\frac{\pi-3}{6}= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{36n^2-1}

\pi-3 = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}

\frac{\pi^3+8\pi -56}{8} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)^3}

\frac{\pi}{16} = \sum_{n:odd}^\infty \frac{(-1)^\frac{n-1}{2}}{n(n^4+1)}

\frac{\pi}{4} = 1 - 16\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n+1)^2(4n+3)^2(4n+5)^2}

10-\pi^2 = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3(n+1)^3}

\frac{\pi^2-8}{16} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n^2-1)^2}

\frac{32-3\pi^2}{64} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n^2-1)^3}

\frac{\pi^4+30\pi^2-384}{768} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(4n^2-1)^4}

\pi = {{1}} + \frac{{1}}{{2}} + \frac{{1}}{{3}} + \frac{{1}}{{4}} - \frac{{1}}{{5}} + \frac{{1}}{{6}} + \frac{{1}}{{7}} + \frac{{1}}{{8}} + \frac{{1}}{{9}} - \frac{{1}}{{10}} + \frac{{1}}{{11}} + \frac{{1}}{{12}} - \frac{{1}}{{13}} + \cdots \!

ただし、符号が負になっているのは分母が4で割ると3余る素数の項もしくはそのような素数が素因数に奇数個含まれている項のみ

\pi^2=36Li_2(\frac{1}{2})-36Li_2(\frac{1}{4})-12Li_2(\frac{1}{8})+6Li_2(\frac{1}{64})

\pi^2=12Li_2(\frac{1}{2})+6(\ln 2)^2

ただしLi(x)は多重対数関数

階乗を用いた公式

\frac{2\pi\sqrt{3}}{27} +\frac{1}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!}

\frac{2\pi\sqrt{3}}{27} +\frac{2}{3} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!}n

\frac{2\pi\sqrt{3}}{27}= \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!}(2-n)

\frac{4\pi\sqrt{3}}{9} +3 = \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n(n!)^2}{(2n)!}

\frac{\pi\sqrt{3}}{9} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!n}

\frac{\pi^2}{18} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!n^2}

\frac{2\pi^2}{9} = \sum_{n=1}^\infty \frac{3^n(n!)^2}{(2n)!n^2}

\frac{17\pi^4}{3240} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(n!)^2}{(2n)!n^4}

\pi + 3 = \sum_{n=0}^\infty 2^n\frac{(n!)^2}{(2n)!}n

\frac{\pi}{4}+\frac{2}{3} = \sum_{n=0}^\infty 4^n\frac{((2n)!)^2}{(4n)!}n

\frac{15\pi}{2}+26 = \sum_{n=0}^\infty 8^n\frac{((3n)!)^2}{(6n)!}(63n^2-12n+4)

\frac{105\pi}{8}+38 = \sum_{n=0}^\infty 16^n\frac{((4n)!)^2}{(8n)!}(240n^3-116n^2+53n-2)

\frac{2}{25}-\frac{6}{125}\log 2+\frac{11}{250}\pi = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n\frac{n!(2n)!}{(3n)!}

\frac{81}{625}-\frac{18}{3125}\log 2+\frac{79}{3125}\pi = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n\frac{n!(2n)!}{(3n)!}n

\frac{561}{3125}+\frac{42}{15625}\log 2+\frac{673}{31250}\pi = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n\frac{n!(2n)!}{(3n)!}n^2

\frac{\pi}{2} = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n\frac{n!(2n)!}{(3n)!}(25n-3)

16\pi\sqrt{3}+81 = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{8}{3}\right)^n\frac{n!(2n)!}{(3n)!}(49n+1)

162-6\pi\sqrt{3}-18\text{log}3 = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{8}{3}\right)^n\frac{n!(2n)!}{(3n)!}(-245n+338)

\frac{582}{5}+\frac{9}{2}\pi = \sum_{n=1}^\infty 8^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(43n^2-624n+48)

-\frac{\pi}{2} = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{2}\right)^n\frac{n!(2n)!}{(3n)!}(75n^2-115n+18)

24516-360\pi\sqrt{3} = \sum_{n=0}^\infty 9^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(2743n^2-130971n-12724)

\frac{1872}{5}+8\pi\sqrt{3} = \sum_{n=0}^\infty 3^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(1435n^2-3403n+96)

324+288\pi\sqrt{3}-576\text{log}2 = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{9}{8}\right)^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(-5415n^2+6335n+5692)

7582+1008\pi\sqrt{3}-576\text{log}2 = \sum_{n=0}^\infty\left(\frac{9}{8}\right)^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(18050n^2+1145n+7517)

-264+\frac{15}{2}\pi +120\text{log}2 = \sum_{n=1}^\infty\left(-\frac{1}{2}\right)^n\frac{(2n)!(3n)!}{(5n)!}(44506n^3-38681n^2+241n+1514)

20\pi\sqrt{3}+89 = \sum_{n=1}^\infty \left(-\frac{1}{3}\right)^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(-22100n+4123)

\frac{40}{27}\pi\sqrt{3}+9 = \sum_{n=1}^\infty (-27)^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(-40n+3)

15\pi\sqrt{2}+27 = \sum_{n=0}^\infty 8^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(350n-17)

15\pi +42 = \sum_{n=1}^\infty (-4)^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(-952n+201)

\frac{740025\pi - 20379280}{3} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{2}\right)^n\frac{(5n)!(2n)!}{(7n)!}P(n)

ただし

\begin{align}P(n)=-885673181n^5+3125347237n^4-2942969225n^3\\
\quad+1031962795n^2-196882274n+10996648\end{align}

\frac{\pi}{3} = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{16}\right)^n\frac{(2n)!}{(n!)^2}\frac{1}{2n+1}

\frac{\pi^2}{6}-2\text{log}^22 = \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{4}\right)^n\frac{(2n)!}{(n!)^2}\frac{1}{n^2}

無限乗積

\frac{\pi}{2} = \prod_{n=1}^\infty \left[\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\right](ウォリスの公式)

証明[8]

0\le\theta\le\pi/2において0\le\sin\theta\le1であるから

\sin^{2n+2}\theta\le\sin^{2n+1}\theta\le\sin^{2n}\theta

である。ウォリス積分より、

\begin{align}
&\left(\int_{0}^{\pi/2}{\sin^{2n+2}\theta}d\theta\right)\le\left(\int_{0}^{\pi/2}{\sin^{2n+1}\theta}d\theta\right)\le\left(\int_{0}^{\pi/2}{\sin^{2n}\theta}d\theta\right)\\
&\frac{\pi}{2}\frac{(2n+1)!!}{(2n+2)!!}\le\frac{(2n)!!}{(2n+1)!!}\le\frac{\pi}{2}\frac{(2n-1)!!}{(2n)!!}\\
&\frac{\pi}{2}\frac{2n+1}{2n+2}\le\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n-1)!!(2n+1)!!}\le\frac{\pi}{2}\\
\end{align}

でなければならない。しかし、

\lim_{n\to\infty}\frac{2n+1}{2n+2}=1

であるから、

\prod_{k=1}^{\infty}\frac{(2k)^2}{(2k+1)(2k-1)}=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n)!!(2n)!!}{(2n-1)!!(2n+1)!!}=\frac{\pi}{2}

\frac{\pi\sqrt{2}}{4} = \prod_{n=1}^\infty \left[\frac{(4n)^2}{(4n-1)(4n+1)}\right]


\prod_{n=1}^\infty \left(\frac{(tn)^2}{(tn-1)(tn+1)}\right)=\frac{\pi}{t\sin\frac{\pi}{t}}

証明

\begin{align}
\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)&=\frac{\sin\pi z}{\pi z} \\
 \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{n^2}{n^2-z^2}\right)&=\frac{\pi z}{\sin\pi z} \\
 \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{n^2}{n^2-\frac{1}{t^2}}\right)&=\frac{\pi}{t\sin\frac{\pi}{t}}\;(t=\frac{1}{z}) \\
 \prod_{n=1}^\infty \left(\frac{(tn)^2}{(tn-1)(tn+1)}\right)&=\frac{\pi}{t\sin\frac{\pi}{t}}
\end{align}

\prod_{c:odd,c\neq 1} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)= \frac{\pi}{4}

証明

\begin{align}
\frac{\pi}{2} &= \prod_{n=1}^\infty \left[\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\right] \\
&=\frac{2\cdot2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdot8\cdots}{1\cdot3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdot9\cdots} \\
\frac{\pi}{4} &=\frac{2\cdot4\cdot4\cdot6\cdot6\cdot8\cdot8\cdots}{3\cdot3\cdot5\cdot5\cdot7\cdot7\cdot9\cdots} \\
&=\prod_{c:odd,c\neq1}^\infty \left[\frac{(c-1)(c+1)}{c^2}\right] \\
&=\prod_{c:odd,c\neq1}^\infty \left[\frac{c^2-1}{c^2}\right] \\
&=\prod_{c:odd,c\neq1}^\infty \left(1-\frac{1}{c^2}\right) \\
\end{align}

\prod_{c:even} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)= \frac{2}{\pi}

証明

\begin{align}
\frac{\pi}{2} &= \prod_{n=1}^\infty \left[\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)}\right] \\
\frac{2}{\pi} &= \prod_{n=1}^\infty \left[\frac{(2n-1)(2n+1)}{(2n)^2}\right] \\
&=\prod_{n=1}^\infty \left[\frac{4n^2-1}{4n^2}\right] \\
&=\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{1}{4n^2}\right) \\
&=\prod_{c:even} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)
\end{align}

\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}\right)=\frac{\pi \sqrt{2}}{4}

証明

\begin{align}
\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{(-1)^{n+1}}{2n+1}\right)&=\prod_{n=1}^\infty \left(1+\frac{1}{4n-1}\right)\left(1-\frac{1}{4n+1}\right) \\
&=\prod_{n=1}^\infty \left(\frac{(4n)^2}{(4n+1)(4n-1)}\right)=\frac{\pi\sqrt{2}}{4}
\end{align}

\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{1}{(6n)^2}\right)=\frac{3}{\pi}

\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{3^2}{(2n)^2}\right)=-\frac{2}{3\pi}

\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{5^2}{(2n)^2}\right)=\frac{2}{5\pi}

\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2}\right)=\frac{\sin\pi z}{\pi z}

\prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{(n-\frac{1}{2})^2}\right)=\cos\pi z

\prod_{c:odd,c\neq 1}^\infty \left(\frac{c^2-1}{c^2-4z^2}\right)=\frac{\pi(1-4z^2)}{4\cos\pi z}

\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)=\frac{6}{\pi^2}

\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^4}\right)=\frac{90}{\pi^4}

\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^6}\right)=\frac{945}{\pi^6}

\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^{2n}}\right)=\frac{1}{\zeta(2n)}=\frac{(-1)^n2(2n)!}{2^{2n}\pi^{2n}B_{2n}}

証明[9]

リーマンゼータ関数のオイラー積は1737年にオイラーによって発見された。まずゼータ関数 ζ(s) は s の実部が1より大きいとき、次のように定義される。

 \zeta (s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \frac {1}{1^s} + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \cdots

ここで両辺に最小の素数2の-s乗 \frac {1} {2^s} をかけると

\frac {1}{2^s} \zeta (s) = \frac {1}{2^s} + \frac{1}{4^s} + \frac{1}{6^s} + \cdots

となり、辺々引くと

 \left(1- \frac {1}{2^s}\right) \zeta (s) = \frac {1}{1^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} + \cdots

この両辺に今度は2の次の素数3の-s乗 \frac {1} {3^s} をかけると

 \frac {1}{3^s} \left(1- \frac {1}{2^s}\right) \zeta (s) = \frac {1}{3^s} + \frac{1}{9^s} + \frac{1}{15^s} + \cdots

となり、再び辺々引くと

 \left(1- \frac {1}{2^s}\right) \left(1- \frac {1}{3^s}\right) \zeta (s) = \frac {1}{1^s} + \frac{1}{5^s} + \frac{1}{7^s} + \cdots

以下同様に次々と素数の-s乗を両辺にかけて前の式から引くという操作を続けると右辺の \frac {1} {1^s} 以外の項は(素因数分解の一意性によって)消えるので

 \left(1- \frac {1}{2^s}\right) \left(1- \frac {1}{3^s}\right) \left(1- \frac {1}{5^s}\right) \left(1- \frac {1}{7^s}\right)  \cdots \zeta (s) = \frac {1}{1^s} = 1

したがってゼータ関数は以下の形で表現される。

\zeta (s) = \frac{1} {{(1- \frac{1}{2^s})} {(1- \frac{1}{3^s})} {(1- \frac{1}{5^s})} {(1- \frac{1}{7^s})} \cdots }

上記の式に形式的に s=1 を代入すると

\zeta (1) = \frac{1} {{(1- \frac{1}{2})} {(1- \frac{1}{3})} {(1- \frac{1}{5})} {(1- \frac{1}{7})} \cdots }

ここで左辺は調和級数であり、無限大発散するので右辺も同様に発散すると考えられる。このことから素数の個数は有限ではないことが導かれる。なぜならもし素数が有限個なら右辺はある定数になるからである。

\prod_{p:prime}\left(1+\frac{1}{p^2+p^4}\right)=\frac{21}{2\pi^2}

証明

\begin{align}
&\prod_{p:prime}\left(1+\frac{1}{p^2+p^4}\right)=\prod_{p:prime}\left(1+\frac{\frac{1}{p^4}}{\frac{1}{p^2}+1}\right)=\prod_{p:prime}\left(\frac{1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}}{1+\frac{1}{p^2}}\right) \\
&=\prod_{p:prime}\left(\frac{\left(1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}\right)\left(1-\frac{1}{p^2}\right)}{\left(1+\frac{1}{p^2}\right)\left(1-\frac{1}{p^2}\right)}\right)=\prod_{p:prime}\left(\frac{1-\frac{1}{p^6}}{1-\frac{1}{p^4}}\right)=\frac{\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^6}\right)}{\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^4}\right)} \\
&=\frac{\frac{1}{\zeta(6)}}{\frac{1}{\zeta(4)}}=\frac{\frac{945}{\pi^6}}{\frac{90}{\pi^4}}=\frac{21}{2\pi^2}
\end{align}

\prod_{p:prime}\left(1+\frac{1}{p^2+p^4+p^6}\right)=\frac{10}{\pi^2}

証明

\begin{align}
&\prod_{p:prime}\left(1+\frac{1}{p^2+p^4+p^6}\right)=\prod_{p:prime}\left(1+\frac{\frac{1}{p^6}}{\frac{1}{p^4}+\frac{1}{p^2}+1}\right)=\prod_{p:prime}\left(\frac{1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}+\frac{1}{p^6}}{1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}}\right) \\
&=\prod_{p:prime}\left(\frac{\left(1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}+\frac{1}{p^6}\right)\left(1-\frac{1}{p^2}\right)}{\left(1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}\right)\left(1-\frac{1}{p^2}\right)}\right)=\prod_{p:prime}\left(\frac{1-\frac{1}{p^8}}{1-\frac{1}{p^6}}\right)=\frac{\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^8}\right)}{\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^6}\right)} \\
&=\frac{\frac{1}{\zeta(8)}}{\frac{1}{\zeta(6)}}=\frac{\frac{9450}{\pi^8}}{\frac{945}{\pi^6}}=\frac{10}{\pi^2}
\end{align}

\prod_{p:prime}\left(1+\frac{1}{p^2+p^4+p^6+p^8}\right)=\frac{99}{10\pi^2}

\prod_{p:prime}\left(1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}\right)=\frac{315}{2\pi^4}

証明

\begin{align}
\prod_{p:prime}\left(1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}\right)&=\prod_{p:prime}\frac{\left(1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}\right)\left(1-\frac{1}{p^2}\right)}{\left(1-\frac{1}{p^2}\right)}=\prod_{p:prime}\frac{\left(1-\frac{1}{p^6}\right)}{\left(1-\frac{1}{p^2}\right)} \\
&=\frac{\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^6}\right)}{\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)}=\frac{\frac{945}{\pi^6}}{\frac{6}{\pi^2}}=\frac{315}{2\pi^4}
\end{align}

\prod_{p:odd prime} \left(1-\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p}\right) = \frac{4}{\pi}

\prod_{p:odd prime} \left(1-\frac{(-1)^{\frac{p+1}{2}}}{p}\right) = \frac{2}{\pi}

\prod_{p:odd prime} \left(1-\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p^3}\right) = \frac{32}{\pi^3}

\prod_{p:odd prime} \left(1-\frac{(-1)^{\frac{p+1}{2}}}{p^3}\right) = \frac{30}{\pi^3}

\prod_{p:odd prime} \left(1-\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p^{2n+1}}\right) = \frac{(-1)^n2^{2n+2}(2n)!}{E_{2n}\pi^{2n+1}}

証明

ゼータ関数のオイラー積同様に、


\begin{align}
\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}&=\frac{1}{1^{2n+1}}-\frac{1}{3^{2n+1}}+\frac{1}{5^{2n+1}}-\frac{1}{7^{2n+1}}+\cdots \\
\frac{1}{3^{2n+1}}\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}&=\frac{1}{3^{2n+1}}-\frac{1}{9^{2n+1}}+\frac{1}{15^{2n+1}}-\frac{1}{21^{2n+1}}+\cdots \\
(1+\frac{1}{3^{2n+1}})\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}&=\frac{1}{1^{2n+1}}+\frac{1}{5^{2n+1}}-\frac{1}{7^{2n+1}}-\frac{1}{11^{2n+1}}\cdots \\
\frac{1}{5^{2n+1}}(1+\frac{1}{3^{2n+1}})\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}&=\frac{1}{5^{2n+1}}+\frac{1}{25^{2n+1}}-\frac{1}{35^{2n+1}}-\frac{1}{55^{2n+1}}\cdots \\
(1+\frac{1}{3^{2n+1}})(1-\frac{1}{5^{2n+1}})\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}&=\frac{1}{1^{2n+1}}-\frac{1}{7^{2n+1}}-\frac{1}{11^{2n+1}}+\frac{1}{13^{2n+1}}\cdots \\
\vdots & \\
\prod_{p:odd prime} \left(1-\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p^{2n+1}}\right) \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}&= 1 \\
\prod_{p:odd prime} \left(1-\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p^{2n+1}}\right) &= \frac{1}{\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^{2n+1}}} \\
&=\frac{(-1)^n2^{2n+2}(2n)!}{E_{2n}\pi^{2n+1}}
\end{align}

本来のオイラー積の書き方に近づけると、

\begin{align}
&\frac{E_{2n}\pi^{2n+1}}{(-1)^n2^{2n+2}(2n)!} \\
&= \frac{3^{2n+1}}{3^{2n+1}+1} \cdot \frac{5^{2n+1}}{5^{2n+1}-1} \cdot \frac{7^{2n+1}}{7^{2n+1}+1} \cdot \frac{11^{2n+1}}{11^{2n+1}+1} \cdot \frac{13^{2n+1}}{13^{2n+1}-1} \cdot \frac{17^{2n+1}}{17^{2n+1}-1} \cdot \\
&\frac{19^{2n+1}}{19^{2n+1}+1} \cdot \frac{23^{2n+1}}{23^{2n+1}+1}\cdot \frac{29^{2n+1}}{29^{2n+1}-1} \cdot \frac{31^{2n+1}}{31^{2n+1}+1}  \cdots \!
\end{align}

たとえばn=0のとき、

\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{7}{8} \cdot \frac{11}{12} \cdot \frac{13}{12} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{19}{20} \cdot \frac{23}{24} \cdot \frac{29}{28} \cdot \frac{31}{32}  \cdots \!

となる。分子は2以外の素数の累乗、、分母はそれに最も近い4の倍数となっていることに注目。

また、オイラー積の書き方にならって2を含め、

\begin{align}
&\left(1-\frac{1}{2^{2n+1}}\right)\left(1+\frac{1}{3^{2n+1}}\right)\left(1-\frac{1}{5^{2n+1}}\right)\left(1+\frac{1}{7^{2n+1}}\right)\cdots \\
&=\prod_{p:prime} \left(1\pm\frac{1}{p^{2n+1}}\right) = \frac{(-1)^n(2^{2n+2}-2)(2n)!}{E_{2n}\pi^{2n+1}}
\end{align}

と書いても良い。ただし、分母が4で割って3余るときだけ符号が正。

\begin{align}\prod_{p:odd prime} \left(1-\frac{(-1)^{\frac{p+1}{2}}}{p^{2n+1}}\right) = \frac{(-1)^nE_{2n}(4n+2)!}{2^{2n+1}(2^{4n+2}-1)(2n)!\pi^{2n+1}B_{4n+2}}
\end{align}

証明

\begin{align}
&\prod_{p:odd prime} \left(1-\frac{(-1)^{\frac{p+1}{2}}}{p^{2n+1}}\right) = \prod_{p:odd prime} \frac{\left(1-\frac{(-1)^{\frac{p+1}{2}}}{p^{2n+1}}\right)\left(1-\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p^{2n+1}}\right)}{\left(1-\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p^{2n+1}}\right)} \\
=&\prod_{p:odd prime} \frac{\left(1-\frac{1}{p^{4n+2}}\right)}{\left(1-\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p^{2n+1}}\right)}=  \frac{\prod_{p:odd prime}\left(1-\frac{1}{p^{4n+2}}\right)}{\prod_{p:odd prime}\left(1-\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p^{2n+1}}\right)} \\
=&\frac{1}{1-\frac{1}{2^{4n+2}}}\frac{\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^{4n+2}}\right)}{\prod_{p:odd prime}\left(1-\frac{(-1)^{\frac{p-1}{2}}}{p^{2n+1}}\right)}=\frac{2^{4n+2}}{2^{4n+2}-1}\frac{\frac{2(4n+2)!}{2^{4n+2}\pi^{4n+2}B_{4n+2}}}{(-1)^n\frac{2^{2n+2}(2n)!}{E_{2n}\pi^{2n+1}}} \\
=&\frac{(-1)^nE_{2n}(4n+2)!}{2^{2n+1}(2^{4n+2}-1)(2n)!\pi^{2n+1}B_{4n+2}}
\end{align}

オイラー積の書き方にならって2を含め、

\left(1+\frac{1}{2^{2n+1}}\right)\left(1-\frac{1}{3^{2n+1}}\right)\left(1+\frac{1}{5^{2n+1}}\right)\left(1-\frac{1}{7^{2n+1}}\right)\cdots=\prod_{p:prime} \left(1\pm\frac{1}{p^{2n+1}}\right) = \frac{3}{\pi}

と書いても良い。ただし、分母が4で割って3余るときだけ符号が負。

\prod_{c:composite} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)= \frac{\pi^2}{12}

証明

\begin{align}
&\prod_{c:composite} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^2}\right)=\prod_{n=2}\left(1-\frac{1}{n^2}\right) \\
=&\prod_{c:odd,c\neq 1} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)\prod_{c:even} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)=\frac{\pi}{4}\cdot\frac{2}{\pi}=\frac{1}{2} \\
&\prod_{c:composite} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)\frac{6}{\pi^2}=\frac{1}{2} \\
&\prod_{c:composite} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)= \frac{\pi^2}{12}
\end{align}

\prod_{c:odd composite} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)= \frac{\pi^3}{32}

証明

\begin{align}
\prod_{c:odd,c\neq 1} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)&=\prod_{p:odd prime}\left(1-\frac{1}{p^2}\right) \prod_{c:odd composite} \left(1-\frac{1}{c^2}\right) \\
&=\frac{1}{1-\frac{1}{2^2}}\prod_{p:prime}\left(1-\frac{1}{p^2}\right) \prod_{c:odd composite} \left(1-\frac{1}{c^2}\right) \\
\frac{\pi}{4}&=\frac{4}{3}\frac{6}{\pi^2}\prod_{c:odd composite} \left(1-\frac{1}{c^2}\right) \\
\prod_{c:odd composite} \left(1-\frac{1}{c^2}\right)&= \frac{\pi^3}{32}
\end{align}

E. Estenave / C. Fretignyの公式

\forall k\in\mathbb{Z},\pi=16(2k+1)^4\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)((2n+1)^4+4(2k+1)^4)}

\forall j\in\mathbb{N},\pi=\left(\prod_{k=0}^{j}4(2k+1)^4\right)\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\prod_{k=0}^{j}\left((2n+1)^4+4(2k+1)^4\right)}

\pi=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\cosh\left(\frac{(2n+1)\pi}{2}\right)}

\frac{7\pi}{180}=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3\tanh (n\pi)}

\forall k\in\mathbb{Z},\pi=-8(2k+1)^2\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)((2n+1)^2-4(2k+1)^2)}

\forall k\in\mathbb{Z},\pi=\frac{16}{9}(6k+1)^2\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)((2n+1)^2-\frac{4(6k+1)^2}{9})}

\forall k\in\mathbb{Z},\pi=\frac{16}{9}(6k-1)^2\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)((2n+1)^2-\frac{4(6k-1)^2}{9})}

\forall j\in\mathbb{N},\pi=-2\left(\prod_{k=0}^{j}4(2k+1)^2\right)\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\prod_{k=0}^{j}\left((2n+1)^2-4(2k+1)^2\right)}

\pi=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\cos\left(\frac{(2n+1)\pi}{4}\right)}

\begin{align}
&\forall k\in\mathbb{N},\pi=32(2k+1)^2(4k+3) \\
&\cdot\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)((2n+1)^2-4(2k+2)^2)((2n+1)^2-4(2k+1)^2)}
\end{align}

\forall k\in\mathbb{Z},\pi=\frac{3(-1)^k}{(2k+1)}-2(2k+1)^2\sum_{n=-\infty,\neq k,-k-1}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)((2n+1)^2-4(2k+1)^2)}

\forall k\in\mathbb{Z},\pi=12(2k+1)^3\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)((2n+1)^3+8(2k+1)^3)}

\forall j\in\mathbb{N},\pi=12\left(\prod_{k=0}^{j}2(2k+1)^3\right)\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\prod_{k=0}^{j}\left((2n+1)^3+8(2k+1)^3\right)}

\forall k\in\mathbb{Z},\pi=-384(2k+1)^6\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)((2n+1)^6-128(2k+1)^6)}

\forall j\in\mathbb{N},\pi=-3\left(\prod_{k=0}^{j}2(2k+1)^6\right)\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)\prod_{k=0}^{j}\left((2n+1)^6-128(2k+1)^6\right)}

\frac{8\pi}{5}-\frac{2\pi}{5\cosh\left(\frac{\pi}{2}\right)}=4\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{(2n-1)(4n^4+1)}

\frac{\pi}{\cosh\left(\frac{\pi}{2}\right)}=2+4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{4n^4+1}

\pi=3+2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(2n^2-3)}{(4n^4+1)(4n^4-1)}

\forall k\in\mathbb{N},\pi=(2k+1)\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n((2(2k+1)^2-4)n^2+(2k+1)^2+2)}{(4n^2+1)(4n^2-(2k+1)^2)}

\frac{128\pi}{65}-\frac{36\pi}{65\coth\left(\frac{\pi}{2}\right)}=-8\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{(4n-1)(4n^4+1)}

\frac{\pi}{\coth\left(\frac{\pi}{2}\right)}=2+4\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{4n^4+1}

\pi=-\frac{1}{4}\sum_{n=1}^\infty\frac{9n+14}{(4n^4+1)(4n-1)}

\frac{\pi^2}{6}-\frac{\pi}{\cosh\left(\frac{\pi}{2}\right)}=2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n^2(4n^4+1)}

\frac{\pi^2}{6}=2+2\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n(2n^2-1)}{n^2(4n^4+1)}

\forall k\in\mathbb{Z},\frac{\pi^2}{3(2k+1)^2}-4\frac{\pi}{(2k+1)^3}+\frac{8}{(2k+1)^4}=4\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^2(4n^2-(2k+1)^2)}

\forall k\in\mathbb{R},2\frac{\sin^3(\pi m)}{1+\cos^2(\pi m)}\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{(n-m)^3}

\forall k\in\mathbb{R},-\frac{\sin^3(\pi m)}{\cos(\pi m)}\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{(n-m)^3}

\forall k\in\mathbb{Z},\pi=12(6k+3)^4\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{(6n+1)((6n+1)^4+4(6k+3)^4)}

\forall j\in\mathbb{N},\pi=3\left(\prod_{k=0}^{j}4(6k+3)^4\right)\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{(-1)^n}{(6n+1)\prod_{k=0}^{j}\left((6n+1)^4+4(6k+3)^4\right)}

\pi=6\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(6n+1)\left(\cosh\left(\frac{(6n+1)\pi}{6}\right)+\cos\left(\frac{(6n+1)\pi}{6}\right)\right)}

\forall k\in\mathbb{Z},\pi=-8(2k+1)^2\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{(4n+1)((4n+1)^2-4(2k+1)^2)}

\forall j\in\mathbb{N},\pi=-2\left(\prod_{k=0}^{j}4(4k+1)^2\right)\sum_{n=-\infty}^\infty\frac{1}{(4n+1)\prod_{k=0}^{j}\left((4n+1)^4-4(4k+1)^2\right)}

\pi=\frac{4}{3}\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(4n+1)\cosh\left(\frac{(4n+1)\pi}{3}\right)}

円周率計算の記録編集

上記の公式を用いて求められた円周率の桁数の記録を以下に示す。

手計算の時代(arctan)の記録 編集

年代 計算者 桁数 備考
1665 アイザック・ニュートン イングランド 16
1699 エイブラハム・シャープ イギリス 71
1706 ジョン・マチン イギリス 100
1719 ド・ラグニー フランス 127
1723 建部賢弘 日本 41
1739 松永良弼 日本 51
1789 ユリー・ベガ スロベニア 126
1794 ユリー・ベガ スロベニア 136
1824 ウィリアム・ラザフォード イギリス 152
1844 ストラスキニツイ 200
1847 トーマス・クラウセン デンマーク 248
1853 リーマン 261
1853 ラザフォード イギリス 440
1855 リッチャー 500
1874 ウィリアム・シャンクス イギリス 527
1946 ファーガソン アメリカ 620
1947 ファーガソン アメリカ 710 卓上計算機
1947 レビ・スミス

ジョン・レンチ

アメリカ 819 卓上計算機

コンピュータ計算の記録 編集

いわゆる「最初の電子計算機」(定義によって諸説あり) として有名な ENIAC から, コンピュータを使用した円周率計算がなされてきた.

コンピュータでの計算では,古いものは特に, 1 回の計算では正しい値を得られたかどうか確認することができない. そのため,計算公式,プログラム, マシンなどを変えて複数回計算することがある. 本リストでは検証計算を行った記録がある場合には一緒に記載する.

年代 計算者 使用コンピュータ 宣言桁数

(確認桁数)
[計算桁数]

公式

(検証用公式)

計算時間

(検証時間)

1946 Reitwiesner など[JB09] ENIAC USA 808
1949 Reitwiesner など ENIAC USA 2,035注1) Machinの公式

(Machinの公式)

70h
1954 Nicholson,Jeenel NORC USA 3,092

(3,092)
[3,093]

Machinの公式

(Machinの公式)

13m

(13m)

1957 Felton Pegasus USA 7,480

(7,480)
[10,021]

Klingenstiernaの公式

(Gauß の公式)

33h

(33h)

1958 Genuys IBM 704 USA 10,000

(10,000)
[10,000]

Machinの公式

(Machinの公式)

1h40m

(1h40m)

1958 Felton Pegasus USA 10,020

(10,020)
[10,021]

Klingenstiernaの公式

(Gauß の公式)

33h

(33h)

1959 Guilloud IBM 704 USA 16,167

(16,167)
[16,167]

Machinの公式

(Machinの公式)

1h40m

(1h40m)

1961 D.Shanks,Wrench IBM 7090 USA 100,265

(100,265)
[100,265]

Störmerの公式

(Gaußの公式)

8h43m

(4h22m)

1966/2 Guilloud,Fillatre IBM 7030 USA 250,000

(250,000)
[250,000]

Gaußの公式

(Störmerの公式)

41h55m

(24h35m)

1967 Guilloud,Dichampt CDC 6600 USA 500,000

(500,000)
[500,000]

Gaußの公式

(Störmerの公式)

28h10m

(16h35m)

1973/5 Guilloud,Bouyer CDC 7600 USA 1,001,250

(1,001,250)
[1,001,250]

Gaußの公式

(Störmerの公式)

23h18m注2)

(13h40m)

1981 三好,金田 FACOM M-200 日本 2,000,000

(2,000,036)
[2,000,040]

Klingenstiernaの公式

(Machinの公式)

137h18m

(143h18m)

1981-82 Guilloud 2,000,050

(2,000,050)

1982 田村 MELCOM 900II 日本 2,097,144

(2,097,144)
[2,097,152]

Gauß-Legendreの公式

(Gauß-Legendreの公式)

7h14m

(2h21m)

1982 田村,金田 HITAC M-280H 日本 4,194,288

(4,194,288)
[4,194,304]

Gauß-Legendreの公式

(Gauß-Legendreの公式)

2h21m

(6h52m)

1982 田村,金田 HITAC M-280H 日本 8,388,576

(8,388,576)
[8,388,608]

Gauß-Legendreの公式

(Gauß-Legendreの公式)

6h52m

(≧30h)

1982 金田,吉野,田村 HITAC M-280H 日本 16,777,206

(16,777,206)
[16,777,216]

Gauß-Legendreの公式

(Gauß-Legendreの公式)

≧30h

(6h36m)

1983/10 後,金田 HITAC S-810/20 日本 10,000,000

(10,013,395)
[10,013,400]

Gaußの公式

(Gauß-Legendreの公式)

≦24h

(≧30h)

1985/10 Gosper Symbolics 3670 USA 17,526,200

(17,526,200)
[≧17,526,200]

Ramanujanの公式

(Borwein4次の公式)

(28h)
1986/1 Bailey CRAY-2 USA 29,360,000

(29,360,111)
[29,360,128]

Borwein4次の公式

(Borwein2次の公式)

28h

(40h)

1986/9 金田,田村 HITAC S-810/20 日本 33,554,000

(33,554,414)
[33,554,432]

Gauß-Legendreの公式

(Gauß-Legendreの公式)

6h36m

(23h)

1986/10 金田,田村 HITAC S-810/20 日本 67,108,839

(67,108,839)
[67,108,864]

Gauß-Legendreの公式

(Gauß-Legendreの公式)

23h

(35h15m)

1987/1 金田, 田村, 久保, 小林, 花村 NEC SX-2 日本 133,217,700

(134,217,700)
[134,217,728]

Gauß-Legendreの公式

(Borwein4次の方式)

35h15m

(48h2m)

1988/1 金田,田村 HITAC S-820/80 日本 201,326,000

(201,326,551)
[201,326,572]

Gauß-Legendreの公式

(Borwein4次の公式)

5h57m

(7h30m)

1989/5 D.V.Chudnovsky, G.V.Chudnovsky CRAY-2

IBM-3090/VF

USA 480,000,000 Chudnovskyの公式

(Chudnovskyの公式)

1989/6 D.V.Chudnovsky, G.V.Chudnovsky IBM 3090 USA ≧535,339,270 Chudnovskyの公式
1989/7 金田,田村 HITAC S-820/80 日本 536,870,000

(536,870,898)
[536,870,912]

Gauß-Legendreの公式

(Borwein4次の公式)

67h13m

(80h39m)

1989/8 D.V.Chudnovsky, G.V.Chudnovsky IBM 3090 USA 1,011,196,691 Chudnovskyの公式

(Chudnovskyの公式)

1989/11 金田,田村 HITAC S-820/80 日本 1,073,740,000

(1,073,741,799)
[1,073,741,824]

Gauß-Legendreの公式

(Borwein4次の公式)

74h30m

(85h57m)

1991/8 D.V.Chudnovsky, G.V.Chudnovsky USA 2,260,000,000 Chudnovskyの公式

(Chudnovskyの公式)

1994/5 D.V.Chudnovsky, G.V.Chudnovsky USA 4,044,000,000 Chudnovskyの公式

(Chudnovskyの公式)

1995/6 高橋,金田 HITAC S-3800/480 日本 3,221,220,000

(3,221,225,466)
[3,221,225,472]

Borwein4次の公式

(Gauß-Legendreの公式)

36h52m28s

(53h43m46s)

1995/8 高橋,金田 HITAC S-3800/480 日本 4,294,960,000

(4,294,967,286)
[4,294,967,296]

Borwein4次の公式

(Gauß-Legendreの公式)

113h41m53s

(130h20m51s)

1995/10 高橋,金田 HITAC S-3800/480 日本 6,442,450,000

(6,442,450,938)
[6,442,450,944]

Borwein4次の公式

(Gauß-Legendreの公式)

116h38m12s

(131h40m24s)

1996/3 D.V.Chudnovsky, G.V.Chudnovsky USA 8,000,000,000? Chudnovskyの公式

(Chudnovskyの公式)

1997/4 金田,高橋 HITACHI SR2201 日本 17,179,869,142 Gauß-Legendreの公式

(Borwein4次の公式)

5h11m

(5h26m)

1997/7 高橋,金田 HITACHI SR2201 日本 51,539,600,000

(51,539,607,510)
[51,539,607,552]

Borwein4次の公式

(Gauß-Legendreの公式)

29h3m11s注3)

(37h8m16s)

1999/4 高橋,金田 HITACHI SR8000 日本 68,719,470,000

(68,719,476,693)
[68,719,476,736]

Gauß-Legendreの公式

(Borwein4次の公式)

32h54m2s

(39h20m37s)

1999/9 高橋,金田 HITACHI SR8000 日本 206,158,430,000

(206,158,430,163)
[206,158,430,208]

Gauß-Legendreの公式

(Borwein4次の公式)

37h21m4s

(46h7m10s)

2002/11 金田,後,黒田,工藤, 五百木,田中,河村,藤田,篠原,長谷部,安崎,中川

[Ref]

HITACHI SR8000/MPP 日本 1,241,100,000,000注4)

(1,241,177,304,180)
[1,241,177,304,180]

高野喜久雄の公式注5)

Störmerの公式(2)

423h20m

(181h5m)

2009/4 高橋

[Ref]

T2K筑波システム 日本 2,576,980,370,000

(2,576,980,377,524)
[2,576,980,377,600]

Gauß-Legendreの公式

(Borwein4次の公式)

29h5m49s

(44h30m33s)

2009/12 Bellard

[Ref]

PC (Core i7 (2.93GHz x 4 Core) / 6GiB RAM / 1.5TB x 5 HDD) France 2,699,999,990,000注6)

[2,699,999,990,000]

Chudnovskyの公式

(Bellard の公式) 注7)

115d

(16d)

2010/8/3 Yee,近藤

[Ref]

PC (Xeon X5680 (3.33GHz x 6 Core) x 2 CPU / 96 GiB RAM / 2TB x 16 HDD) USA,日本 5,000,000,000,000

[5,000,000,000,000]

Chudnovskyの公式

(Bellard の公式/BBP の公式注8)

90d

(64h/66h)

2011/10/16 Yee,近藤

[Ref]

PC (Xeon X5680 (3.33GHz x 6 Core) x 2 CPU / 96 GiB RAM) USA,日本 10,000,000,000,000

[10,000,000,000,000]

Chudnovskyの公式

(Bellard の公式/BBP の公式)

191d
2013/12/28 Yee,近藤

[Ref]

PC (Xeon E5-2690 (2.9GHz x 8 Core) x 2 CPU / 128 GiB RAM) USA,日本 12,100,000,000,000

[12,100,000,000,000]

Chudnovskyの公式

(Bellard の公式/BBP の公式)

94d

(46h)

2014/8 Yee, "houkouonchi" ワークステーション(

2 x Xeon E5-4650L @ 2.6 GHz 192 GB DDR3 @ 1333 MHz 24 x 4 TB + 30 x 3 TB)

USA,日本 13,300,000,000,000

[13,300,000,000,000]

Chudnovskyの公式 208d
注1)
資料により 2035 桁と 2037 桁と食い違いがある.
注2)
この当時の計算としては珍しく 2 進数計算(22h11m)の後, 10 進数変換(1h7m)した
注3)
最適化した主計算を 8/1 に再計算し,25h14m32s で完了. ,1/π も同桁数で世界記録
注4)
16 進表記で 1 兆 307 億桁を達成.
注5)
DRM 法を利用.
注6)
16 進表記で 2 兆 2423 億 146 万桁も達成.
注7)
Bellard の公式で 16 進末尾 50 桁のチェックをした他,最後の乗算が正しい事を 64bit の素数を法としたで剰余環で確認した. なお,Ramanujan の公式を使っての全桁確認は HDD エラーのため途中で断念している.
注8)
BBP の公式と Bellard の公式で 16 進末尾 32 桁のチェックを行った. この 2 つの計算は本計算とは別のマシンで並行して行われた.

円周率にまつわる公式編集

円周率を含む公式のうち、円周率の値を求めることに使いにくい公式を次に示す。

下の「円周率にまつわる記事」も参照のこと。

保形形式

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{-11}}{e^{2n\pi}-1}=-\frac{1}{2}\zeta (11)+\frac{1453\pi}{851350500}

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{-7}}{e^{2n\pi}-1}=-\frac{1}{2}\zeta (7)+\frac{19\pi}{113400}

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{-3}}{e^{2n\pi}-1}=-\frac{1}{2}\zeta (3)+\frac{7\pi}{360}

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{-1}}{e^{2n\pi}-1}=-\frac{\pi}{12}-\frac{1}{2} \log \frac{\omega}{\pi \sqrt{2}}

\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{e^{2n\pi}-1}=\frac{1}{24}-\frac{1}{8\pi}

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{3}}{e^{2n\pi}-1}=-\frac{1}{240}+\frac{1}{80}(\frac{\omega}{\pi})^4

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{5}}{e^{2n\pi}-1}=\frac{1}{504}

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{7}}{e^{2n\pi}-1}=-\frac{1}{480}+\frac{3}{160}(\frac{\omega}{\pi})^8

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{9}}{e^{2n\pi}-1}=\frac{1}{264}

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{11}}{e^{2n\pi}-1}=-\frac{691}{65520}+\frac{89}{1040}(\frac{\omega}{\pi})^{12}

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{13}}{e^{2n\pi}-1}=\frac{1}{24}

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{15}}{e^{2n\pi}-1}=-\frac{3617}{16320}+\frac{43659}{5440}(\frac{\omega}{\pi})^{16}

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{17}}{e^{2n\pi}-1}=\frac{43867}{28728}

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{4k+1}}{e^{2n\pi}-1}=\frac{B_{4k+2}}{8k+4} (k \geq 1)

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{4k-1}}{e^{2n\pi}-1}=\frac{1}{8k}(B_{4k}-(\frac{\omega}{\pi})^{4k} H_{4k}) (k \geq 1)

\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{-(4k-1)}}{e^{2n\pi}-1}

=-\frac{1}{2}\zeta (4k-1)+\frac{(2\pi)^{4k-1}}{4(4k+4)!} (\binom{4k}{2k}(-1)^k B_{2k}^2 -2\sum_{m=0}^{k-1}\binom{4k}{2m}(-1)^m B_{2m} B_{4k-2m}) (k \geq 1)

\pi = 72 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(e^{n\pi}-1)} -96 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(e^{2n\pi}-1)}  + 24\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n(e^{4n\pi}-1)}

\lim_{n \to \infty}\prod_{i=n}^{2n}\frac{\pi}{2\tan^{-1}i} = 4^{\frac{1}{\pi}}

\pi = 2 \lim_{m \to \infty} \sum_{n=1}^m \sqrt{[\sqrt{1+(\frac{n-1}{m})^2}-\sqrt{1+(\frac{n}{m})^2}]^2+\frac{1}{m^2}}

\pi = \frac{16}{3}[\lim_{x \to \infty}x{}_1F_2(\frac{1}{2};2,3;-x^2)]^{-1}

({}_1F_2一般化超幾何級数)

数列の極限

C_n=\frac{d^n}{dx^n}f(0),f(x)=\frac{1+\sin x}{\cos x}

とすると、\lim_{k\to \infty}\frac{(2n+2)C_n}{C_{n+1}}=\pi

a_0=1,a_n=\sqrt{1+[\sum_{k=0}^{n-1}a_k]^2}

とすると\lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}}{a_n}=\pi

m,n\in \mathbb{N},(m<n)について

f(n,n)=n,f(n,m)=\min\{s|s\equiv0(\mod m),s\geq f(n,m+1),s\in\mathbb{N}\}

とすると\lim_{n\to\infty}\frac{n^2}{f(n)}=\pi

Z_0=0,z_{n+1}=Z_n^2-0.75+X,p=\min\{q||Z_q|>2\}

とすると\lim_{X\to 0}X\cdot p=\pi

u_1=0,u_2=1,u_{n+2}=\frac{u_{n+1}}{n}+u_n

とすると\lim_{n\to\infty}\frac{n}{u_n^2}=\frac{\pi}{2}

これはu_1=0,u_2=1,u_{n+2}=u_{n+1}+\frac{u_n}{n}

とすると\lim_{n\to\infty}\frac{n}{u_n}=e

となることと対照的である。

f_1=x\neq 2,f_n=\frac{n(n-1)}{f_{n-1}}+1=1+\frac{n(n-1)}{1+\frac{(n-1)(n-2)}{1+\cdots \frac{3\cdot 2}{1+\frac{2\cdot 1}{x}}}}

とすると\lim_{n\to\infty}\frac{1}{f_{2n}-2n-2}+1=(\frac{x-1}{x-2})\frac{\pi}{2}

これはf_1=x\neq 2,f_n=\frac{n^2}{f_{n-1}}+1=1+\frac{(n-1)^2}{1+\frac{(n-2)^2}{1+\cdots \frac{2^2}{1+\frac{1^2}{x}}}}

とすると\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n-f_2n}=\log 2 +\frac{1}{x-1}

となることと対照的である。

\lim_{n\to \infty}\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\sqrt{4n^2-k^2}-\sqrt{4n^2-(k-1)^2})^2}=\pi

証明


\begin{align}
&\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\sqrt{4n^2-k^2}-\sqrt{4n^2-(k-1)^2})^2} \\
&=\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\frac{\sqrt{4n^2-k^2}^2-\sqrt{4n^2-(k-1)^2}^2}{\sqrt{4n^2-k^2}+\sqrt{4n^2-(k-1)^2}})^2} \\
&=\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\frac{-2k+1}{\sqrt{4n^2-k^2}+\sqrt{4n^2-(k-1)^2}})^2} \\
&=\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\frac{-2\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}{\sqrt{4-(\frac{k}{n})^2}+\sqrt{4-(\frac{k}{n}-\frac{1}{n})^2}})^2} \\
&=3\int_0^1 \sqrt{1+(\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}})^2}dx \\
&=3\int_0^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{4-x^2}}dx \\
&=3\int_0^1 \sqrt{\frac{4}{4-x^2}}dx \\
&=3\int_0^\frac{1}{2} 2\sqrt{\frac{4}{4-4t^2}}dt(t=\frac{1}{2}x) \\
&=6\int_0^\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{1-t^2}}dt \\
&=6[\arcsin x]_0^\frac{1}{2} \\
&=6(\frac{\pi}{6}-0) \\
&=\pi \\
\end{align}

ゼータ関数

\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n^2+7n+11)((-1)^n\cot (\frac{5\pi}{8n+28})+1)}=\frac{\pi\cot(\phi\pi)(\csc(\phi\pi)-1)}{2\sqrt{5}}-\frac{3}{5\pi}-\frac{\sqrt{3}}{6}-\frac{1}{10}

\sum_{n=0}^\infty \frac{\tan(\frac{\pi a^2(-1)^n}{2n+1}+\frac{\pi}{4})}{(n-a+\frac{1}{2})(n+a+\frac{1}{2})}=\frac{\pi\sin(a\pi)}{2a\cos^2(a\pi)}

\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n^3\sinh (n\pi)}=\frac{\pi^3}{360}

e^{i \pi} +1 = 0\!(オイラーの等式)

\sum_{k=1}^{n} \varphi (k) \sim \frac{3n^2}{\pi^2}\!(オイラーのトーティエント関数)

\sum_{k=1}^{n} \frac {\varphi (k)} {k} \sim \frac{6n}{\pi^2}\!

\int_0^\infty t^{-{1 \over 2}}e^{-t}dt=\Gamma\left({1 \over 2}\right)=\sqrt{\pi}\!(ガンマ関数)

\pi = \frac{\Gamma\left({1/4}\right)^{4/3} \mathrm{agm}(1, \sqrt{2})^{2/3}}{2}\!(算術幾何平均)

\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (n\;\bmod\;k) = 1-\frac{\pi^2}{12}\!(剰余)

n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n\!(スターリングの近似)

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}\cos{\frac{9}{n\pi +\sqrt{n^2\pi^2-9}}}=-\frac{\pi^2}{12e^3}

積分

\int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x}\,dx=\pi \!

\pi = \frac{22}{7}-\int_0^1 \frac{x^4(1-x)^4}{1+x^2}dx

\pi = \frac{355}{113}-\frac{1}{3164}\int_0^1 \frac{x^8(1-x)^8(25+816x^2)}{1+x^2}dx

\int\limits_{-\infty}^{\infty} \text{sech}(x)dx = \pi \!

\int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{t}^{\infty} e^{-1/2t^2-x^2+xt} dxdt = \int\limits_{-\infty}^{\infty} \int\limits_{t}^{\infty} e^{^-t^2-1/2x^2+xt} dxdt = \pi\!

\lim_{n\to \infty}\sum_{k=-n}^n\frac{1}{n}\sqrt{1-(\frac{k}{n})^2}=\int\limits_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\,dx = \frac{\pi}{2}\!(半円の面積)

\lim_{n\to \infty}\sum_{k=-n+1}^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n^2-k^2}}=\int\limits_{-1}^1\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi\!(arcsin)

\int\limits_{-\infty}^\infty\frac{dx}{1+x^2} = \pi\!(arctan)

\lim_{n\to \infty}\sum_{k=0}^n\frac{n}{n^2+k^2} = \int\limits_0^1\frac{dx}{1+x^2} = \frac{\pi}{4}\!

\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}\! (ガウス積分)

\oint\frac{dz}{z}=2\pi i\! (コーシーの積分公式)

\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x^2dx}{\sin^2 x}=\pi\text{log}2

\int_0^{\frac{\pi}{2}} \text{log}^2(\cos x)dx=\frac{\pi^3}{24}+\frac{\pi \text{log}^22}{2}

\int_0^\infty xe^{-x}\sqrt{1-e^{-2x}}dx=\frac{\pi(1+2\text{log}2)}{8}

\int_0^\infty \frac{x^2dx}{\sqrt{e^x-1}}=4\pi\text{log}^22+\frac{\pi^3}{3}

\int_0^1\frac{x^2dx}{(1+x^4)\sqrt{1-x^4}}=\frac{\pi}{8}

\int_0^1\frac{\text{log}^2x}{1+x+x^2}dx=\frac{8\pi^3}{81\sqrt{3}}

\int_0^1\frac{\text{log}(1+x^2)}{x^2}dx=\frac{\pi}{2}-\text{log}2

\int_0^1\frac{\text{log}(1+x^3)}{1-x+x^2}dx=\frac{2\pi\text{log}3}{\sqrt{3}}

\int_0^1\int_0^1\frac{dxdy}{1-xy}=\frac{\pi^2}{6}

\int_0^1\int_0^1\frac{dxdy}{1-x^2y^2}=\frac{\pi^2}{8}

\int_0^1\int_0^1\frac{dxdy}{\sqrt{1+x^2+y^2}}=-\frac{\pi}{6}+\text{log}(2+\sqrt{3})

\int_0^1\int_0^1(\frac{x-1}{x+1})^2(\frac{y-1}{y+1})^2(\frac{xy-1}{xy+1})^2dxdy=5-\pi^2-4\text{log}2+16\text{log}^22

\int_0^1\int_0^1\int_0^1(x^2+y^2+z^2)^{-\frac{1}{2}}dxdydz=-\frac{\pi}{4}+\frac{3\text{log}(2+\sqrt{3})}{2}

\int_0^1\int_0^1\int_0^1(x^2+y^2+z^2)^{\frac{1}{2}}dxdydz=-\frac{\pi}{24}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{\text{log}(2+\sqrt{3})}{2}

\int_0^1\int_0^1\int_0^1(x^2+y^2+z^2)^{\frac{3}{2}}dxdydz=-\frac{\pi}{60}+\frac{2\sqrt{3}}{5}+\frac{7\text{log}(2+\sqrt{3})}{20}

円周率の性質 編集

円周率の無理性の証明 編集

本節では、ニーベンの証明を紹介する。原論文は必要最低限の記述しかないが、ここではいくらか解説を加えている。円周率 π は、正弦関数 sin x の正の零点の中で最小のものとする。証明は背理法による。π は有理数である、すなわち、\pi =\frac{a}{b}(a, b は正の整数)と表せると仮定して、矛盾を導く。

自然数 n に対して、実関数 f_n(x)f_n (x)=\frac{1}{n!} x^n (a-bx)^n

で定義する。さらに、

F_n (x)=f_n (x)-f_n^{(2)} (x)+f_n^{(4)} (x)-\cdots +(-1)^n f_n^{(2n)} (x)

とおく。ここで、f^{(k)} は f の k 階微分を表す。

補題 1:F_n(0) は整数である。

証明:f_n(x) の定義式を二項展開すると、

f_n (x)=\frac{1}{n!} \left\{ a^n x^n -\binom{n}{1} a^{n-1} bx^{n+1} +\binom{n}{2} a^{n-2} b^2 x^{n+2} -\cdots +(-1)^n b^n x^{2n} \right\}

f_n^{(k)}(x) に x = 0 を代入することを考える。

k < n のときは、f_n^{(k)}(x) の各項は全て1次以上だから、f_n^{(k)}(0) = 0。 n ≤ k ≤ 2n のときは、x = 0 を代入する際に、1次以上の項は同様に 0 となるため、定数項のみが残り、

f_n^{(k)} (0)=\frac{1}{n!} \left\{ (-1)^{k-n} \binom{n}{k-n} a^{2n-k} b^{k-n} x^k \right\}^{(k)} =(-1)^{k-n} \frac{k!}{n!} \binom{n}{k-n} a^{2n-k}b^{k-n}

となる。

n ≤ k ≤ 2n より \frac{k!}{n!}, a^{2n-k}, b^{k-n} は整数であるから、f_n^{(k)}(0) は整数である。

ゆえに、f_n^{(k)}(0) の和・差である F_n(0) は整数である。

補題 2:F_n(\pi) = F_n(0)

証明:\pi =\frac{a}{b} より f_n(\pi -x) = f_n(x) 、この両辺を k 階微分すると、連鎖律(合成関数の微分法則)より、

(-1)^k f_n^{(k)}(\pi -x)=f_n^{(k)} (x)

が(正確には数学的帰納法により)分かる。k = 0, 2, 4, …, 2n を代入して得られる式の総和を取ると、

F_n (\pi -x)=F_n (x)

を得る。x = 0 を代入すると、補題の式が得られる。

補題 3:\int_0^\pi f_n (x)\sin x\,dx=2F_n (0)

証明:deg f_n = 2n より f_n^{(2n+2)}(x) = 0、ゆえに、 F''_n (x)+F_n (x)=f_n (x)

これと、積の微分法、三角関数の微分の公式を用いると、

(F'_n (x)\sin x-F_n (x)\cos x)'=f_n (x)\sin x

を得る。微分積分学の基本定理より、

\int_0^\pi f_n (x)\sin x\, dx=\bigg[ F'_n (x)\sin x-F_n (x)\cos x\bigg]_0^\pi =F_n (\pi )+F_n (0)

となる。最後の等式では、π が正弦関数の零点であることを用いた。補題 2 より、これは 2F_n(0) に等しい。

結び: 0 < x < π の範囲では f_n(x) > 0 かつ sin x > 0 である(π は正弦関数の正の零点のうち「最小の」ものであることに注意)。ゆえに、fn(x) sin x > 0, 補題 3 より F_n(0) > 0 である。次に、この F_n(0) を上から評価する。

x(\pi -x)=-\left( x-\frac{\pi}{2} \right)^2 +\left( \frac{\pi}{2} \right)^2 \le \left( \frac{\pi}{2} \right)^2

より、

f_n (x)=\frac{b^n}{n!} \left\{ x(\pi -x) \right\}^n \le \frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n}

を得る。0 ≤ x ≤ π で 0 ≤ sin x ≤ 1、補題 3 より、

F_n (0)=\frac{1}{2} \int_0^\pi f_n (x) \sin x\,dx \le \frac{1}{2} \int_0^\pi \frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n} \times 1\,dx=\frac{b^n}{n!} \left( \frac{\pi}{2} \right)^{2n+1}

ここで、自然数 n は任意である。一般に、\lim_{n\to \infty} \frac{p^n}{n!} =0 が成り立つ。したがって、十分大きな n に対して 0 < Fn(0) < 1 が成り立つ。これは補題 1 に矛盾する。(証明終)

円周率の超越性の証明 編集

リンデマンの定理を既知とした場合、もし\piが代数的数であるならば、\pi iも代数的数である。リンデマンの定理により、e^{\pi i}は超越数である。一方で、オイラーの等式の通り、e^{\pi i}=-1である。-1は超越数ではないので、これは矛盾する。すなわち、\piは超越数である。

円周率の正規性について 編集

円周率は正規数であると予想されているが、証明はされていない。

10進数と16進数でそれぞれ小数点以下一兆桁まで計算したときの数字の分布は、

数字 出現回数
0 99999485134
1 99999945664
2 100000480057
3 99999787805
4 100000357857
5 99999671008
6 99999807503
7 99999818273
8 100000791469
9 99999854780
1000000000000
数字 出現回数
0 62499881108
1 62500212206
2 62499924780
3 62500188844
4 62499807368
5 62500007205
6 62499925426
7 62499878794
8 62500216752
9 62500120671
A 62500266095
B 62499955595
C 62500188610
D 62499613666
E 62499875079
F 62499937801
1000000000000

となっていて、正規性を伺わせる結果となっている。[10][11]

なお、どちらの表も整数部分の3を数に含めていない。

覚え方 編集

円周率を記憶しようとする方法は世界各国に存在する。

日本語 編集

日本語は比較的語呂合わせを作りやすい言語であるので、様々な覚え方が存在する。

たとえば、

身一つ世一つ生くに無意味違約無く身文や読む (みひとつよひとついくにむいみいやくなくみふみやよむ)(20桁)

産医師異国に向う産後厄無く産婦御社に虫散々闇に鳴く後礼には早よ行くな (さんいしいこくにむこうさんごやくなくさんぷみやしろにむしさんざんやみになくごれいにははよいくな)(39桁)

妻子 肥後の国 (6 桁) 

さて人よ人 生くに無意味 (9 桁) 

見ていいよ イチゴ食うに向こうさイッパ (11 桁) 

才子異国に聟(むこ)さ 子は苦なく身ふさわし (19 桁) 

身一つ世一つ生くるに無意味 曰く無く身に御社(みやしろ)に虫さんざん闇に鳴く (30 桁) 

淋し日斎く踏む砂子(いさご) 掃くな草に 御社(みやしろ)に 虫ささ闇に鳴く (30 桁) 

産医師異国に向こう 産後厄なく 産婦御社に 虫さんざん闇に鳴く 頃にや (34 桁) 

見て人世人行くに無意味 異役な組に御社に虫耳闇に鳴く 之には箸ひとつ食なと禄見苦く見ない人を嫌に置くなよ 食よ至極文を縄ひとむしり 路地や路地を焼く 悔むにはお小夜や 都合見よ二度と汝も泣く (100 桁)

産医師異国に向こう産後薬なく産婦みやしろに虫さんざん闇に鳴くころにや

弥生も末の七日あけむつのころ草の戸をくぐるに皆いつかはと小屋に送る

仲良くせしこの国去りなば医務用務に病む二親こそ悔やむにやれみよや

不意の惨事とこそ世にいうなれ

むなしくやしき不意の死は親にはむごい惨事にや文読む虫なれ草葉よし

労苦いとわぬ孝行や夫婦とみたり一つなり

不意の惨事はいつかくるよと親はいう早よとは言うなよい頃に

弥生は 末の 七日行く都に行くとここまでも酷務をせしむににくらしや

苦しい心をよく見つめお宮へ行くと虫 死にて葉はとうに朽ちて無し

[衣 濃く 再三再四無理言うや夜となる頃夜半にさんざん]

[悩むほど悩み 色濃になるという] を一句 置く ハイ終わり

夜毎の虫やころろころ文読む御身よ病む人をよろこばしむる道踏むや

虫やに人やにさんざんと草の戸に群れ何をかを申すによくぞと医師いうなり

皆伏して小屋に並ぶムムと無言

身一つにて心細し早や人なつかし早や人恋ふに

「奥に奥無理にや次の国に来よ奥に人無し人混みもなし

虫見つむるな薬草に 心配れば見つむれば一草一草心して見ろ笹を分け

いつか良い葉はみずからを匂はしむ

はるか向こうに一宮よ一つ詠む句はこの一句よいできなれば心地いい

「労苦浸み身は粉になれ身も粉に刻苦刻苦と行くぞこの身は」

国の人や無理言うな宮に行く身に無理言うな

草の戸 恋しやこの世は同じ読む文もなく酌む酒に? 鮒良く頃は夏となる

身心初めて晴れ渡りイナゴと鮒に夜は暮るる

「日に鮒と草葉一葉が身にはいい」と旧くからよく言う

悔やみみむ波見つむるに夜夜思う衣の染みはやむなきに

いざくよくよと申さんぞ苦しい心にふたをして涙無い句をなお二つ

人無くばもっと句を詠みなにしおう七つの沖に漕ぎいでてみよ

国の人よなれを否むにこの身をば否むな恋う身やよむなしやも

一夜読むなり百(もも)の句を読めばいつしか瞳に輪ちらつく頃や日に何度

医師は恋う者見つけたり心ははやるになかなかやこんな難問意味読むに

何と困難難題や苦労の末に人並みに睦みなごみて一つとなる

花に人にと詠むや良し奥に老いゆく夫婦良くいつも味噌汁実はおいしい

向こう三軒仲良くて小屋にはいつも皆集う驕れるなくに鮒で酌む

薬草にいつしか薬酒に身心酔うて皆一句苦しい頃は日々二人

明けても暮れても二人なら一つの苦労もやむようにみよよい春となりにけり

以後苦しみは意味無きに「苦難無し七色に見ゆ湧く雲は」

この人花を何よりも日々に見つめて良い気分苦労(が個)はみんな福と

なる晴れて良く曇ればこれも天()国なり実一つ成り実二つ葉の色黒

実の色は濃くこれには夜夜のご苦労が夜毎見回りヨトウ虫来れば

身を裂き虫を裂きいつも夫婦で見回れば親にいつ身を見せしむや頃は

3月中の頃二人は無理に行くとする弥生の日々は早中の七日もとうとう

過ぎぬべし再三悩み花恋うややんごとやなきことさんざんに親をみる

のは医師には無理 否いな難務こそ医師の任務なれ

見ろ残酷や不意に見よ急に親は死に給う花いつくしむ母なりき

産医異国にある頃に病む身となれば母には治る見込みなや永う苦しみ永う生くこそ難儀なれ

葉ひと葉がいつしか無くなる親はこの身にもういない夫婦喪がはれ桃1本

見ては一句の二人なり「花は桃いつも変わらぬ心なりいつもの心で

奥に医務しに」を一句吐く (1000桁)[12]

一方外国では語呂合わせがうまくいかないため、単語の文字数を用いて覚える方法が存在する。

英語 編集

May I have a large container of coffee. (7 桁)

Sir James Jeans 編集

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy chapters involving quantum mechanics. All of thy geometry, Herr Planck, is fairly hard. (23 桁) 

F. S. R. (1905) 編集

Sir, I send a rhyme excelling In sacred truth and rigid spelling Numerical sprites elucidate For me the lecture's dull weight If Nature gain not you complain Tho Dr. Johnson fulminate. (30 桁) 

ジョセフ ジプリー (1960) 編集

But a time I spent wandering in bloomy night; you tower, tinkling chimewise, loftily opportune. Out, up, and together came sudden to Sunday rite, the one solemnly off to correct plenilune. (30 桁)

Edgar Allen Poe "Near A Raven" 編集

Poe, E. : Near A Raven
Midnights so dreary, tired and weary. Silently pondering volumes extolling all by-now obsolete lore. During my rather long nap - the weirdest tap! An ominous vibrating sound disturbing my chamber's antedoor. "This", I whispered quietly, "I ignore".
Perfectly, the intellect remembers: the ghostly fires, a glittering ember. Inflamed by lightning's outbursts, windows cast penumbras upon this floor. Sorrowful, as one mistreated, unhappy thoughts I heeded; that inimitable lesson in elegance - Lenore - Is delighting, exciting ... nevermore. (80 桁) 

Michael Keith "Circle Digits" (1986) 編集

(ピリオド以外の記号は 0 に対応する.また,10 文字以上の単語はそのまま 2 桁分の数字に対応する.)
For a time I stood pondering on circle sizes. The large computer mainframe quietly processed all of its assembly code. inside my entire hope lay for figuring out an elusive expansion. Value : pi. Decimals expected soon. I nervously entered a format procedure. The mainframe processed the request. Error. I, again entering it, carefully retyped. This iteration gave zero error printouts in all - success. Intently I waited. Soon, roused by thoughts within me, appeared narrative mnemonics relating digits to verbiage ! The idea appeared to exist but only in abbreviated fashion - little phrases typically. Pressing on I then resolved, deciding firmly about a sum of decimals to use - likely around four hundred, presuming the computer code soon halted ! Pondering these ideas, words appealed to me. But a problem of zeros did exist. Pondering more, solution subsequently appeared. Zero suggests a punctuation element. Very novel! My thoughts were culminated. No periods, I concluded. All residual marks of punctuation = zeros. First digit expansion answer then came before me. On examining some problems unhappily arose. That imbecilic bug! The printout I possessed showed four nine as foremost decimals. Manifestly troubling. Totally every number looked wrong. Repairing the bug took much effort. A pi mnemonic with letters truly seemed good. Counting of all the letters probably should suffice. Reaching for a record would be helpful. Consequently, I continued, expecting a good final answer from computer. First number slowly displayed on the flat screen -3. Good. Trailing digits apparently were right also. Now my memory scheme must probably be implementable. The technique was chosen, elegant in scheme : by self reference a tale mnemonically helpful was ensured. An able title suddenly existed - <Circle Digits>. Taking pen I began. Words emanated uneasily. I desired more synonyms. Speedily I found my (alongside me) Thesaurus. Rogets is probably an essential in doing this, instantly I decided. I wrote and erased more. The Rogets clearly assisted immensely My story proceeded (how lovely!) faultlessly. The end, above all, would soon joyfully overtake. So, this memory helper story is incontestably complete. Soon I will locate publisher. There a narrative will I trust immediately appear, producing fame. The end. (402 桁)

フランス語 編集

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages! Immortel Archimède, artiste, ingénieur, Qui de ton jugement peut priser la valeur Pour moi ton problème eut de sérieux avantages... (30 桁) 

Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages! Glorieux Archimède, artiste, ingénieur, Toi de qui Syracuse aime encore la gloire, Soit ton nom conservé par de savants grimoires! Jadis, mystérieux, un problème bloquait Tout l'admirable procèdè, l'œuvre grandiose Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs. O quadrature! vieux tourment du Philosophe! Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez Défié Pythagore et ses imitateurs. Comment intégrer l'espace plan circulaire? Former un triangle auquel il équivaudra? Nouvelle invention: Archimède inscrira Dedans un hexagone; appréciera son aire Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra: Dédoublera chaque élément antérieur; Toujours de l'orbe calculée approchera; Définira limite; enfin, l'arc, le limiteur De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle! Profeeeseur, enseignez son problème avec zèle! (126 桁)

暗唱 編集

『ギネス世界記録』によれば、円周率暗唱の世界記録は2005年11月20日に6万7890桁を暗唱した中国人、呂超(西北農林科技大学大学院生)が記録したものである。

2004年9月25日、原口證が8時間45分かけて円周率5万4000桁の暗唱に成功し、従来の世界記録を更新した。しかしながら、実際はより多くの桁を覚えていたため、2005年7月1日~7月2日に再挑戦し、8万3431桁までの暗唱に成功した。

2006年10月3日午前9時~10月4日午前1時30分(16時間30分)の挑戦で円周率10万桁の暗唱に成功した。ギネス世界記録に申請中である。

円積問題 編集

円積問題(えんせきもんだい)とは古代の幾何学者たちによって定式化された「与えられた長さの半径を持つ円に対し、定規とコンパスによる有限回の操作でそれと同じ面積の正方形を作図することができるか」という問題である。円の正方形化(squaring the circle)とも呼ばれる。[13]

円周率が超越数であることが示されたことにより、円積問題は実現不可能だと証明された。

歴史 編集

与えられた円に対し、それに近い面積の正方形を近似的に求める方法はバビロニアの数学者にも既に知られていた。紀元前1800年ごろのエジプトのリンド・パピルスには、直径がdの円の面積はだと記載されている。 シュルバ・スートラにはインドの数学者による近似の手法(精度は劣るが)が記録されている。また、インドの数学者たちは与えられた正方形に対して、それに近い面積の円を近似的に作図する方法も与えている[1]

古代ギリシャで円の正方形化に最初に取り組んだのは、イオニア学派のアナクサゴラスだとされている。キオスのヒポクラテスは円積問題に取り組む過程で、いくつかの三日月形(二つの円弧で囲まれた領域)を正方形化を達成している。ソフィストのアンティポンは、円に内接する正多角形に注目した。多角形は正方形化できるので、円の内接多角形の辺の数を倍々に増やして円を正多角形で埋めつくせば円と同じ面積の正方形を求められると彼は主張した。それに対する懐疑的な見方は当時から存在し、ロドスのエウデモスは、"magnitudes cannot be divided up without limit, so the area of the circle will never be used up." (「数量というものは無限分割不可能なのであり、故にその円の面積は決して尽くされはしないのだ」)と反論した[2]。円積問題は アリストパネスの喜劇「鳥」の中にまで登場している。

正方形化を定規とコンパスだけを使って作図する問題として提示したのはキオスのオイノピデスが最初だと考えられている。ジェームズ・グレゴリーは、1667年に「Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura (円と双曲線の正方形化)」において、円積問題は不可能だと証明しようとした。結果的に彼の証明は間違っていたが、円積問題に対して初めて円周率(π)の代数的な性質にもとづいた議論を試みたものになった。1882年にフェルディナント・フォン・リンデマンが円周率の超越性を証明したことで、円積問題が不可能であることの厳密な証明が得られた。

近代 編集

円積問題の作図は不可能だが、π にごく近い数を構成することで、与えられた円の面積を任意の精度で近似する正方形を作図することは可能になる。与えられた有理数の長さを持つ線分を作図するのには初等的な原理しか必要としない一方、このような方法による作図は得られる近似精度に比べて効率の悪い煩雑なものになりがちである。

円積問題の作図が不可能だと証明された後にも、円を正方形化の美しい近似法(つまり、同程度の精度の近似法のうちで特に単純なもの)を見つけることに精力を傾ける数学者がいた。

このページの近似のうち、年代が最近のものであるにも関わらず精度の高くない近似のなかには、このために使われるものも存在する。

喩え話 編集

円の正方形化が不可能だと数学的に証明されても、それを認めようとせず、何年も解法を求め続けた数学者も多かった(そして今日もなおトンデモ数学者の標的である)。トマス・ホッブズも死ぬまでの24年間もの間、解法を得たと信じた為、否定したジョン・ウォリスを非難し続けた。そこで英語圏では、square a circle(円を四角にする)」という言葉を、不可能なことを企てる人の喩えとして用いる。近似表の最上部に名が挙げられているエドウィン・グッドウィンも円積問題を解いたと主張した一人であった。

円周率にまつわる記事編集

出典 編集

  1. MathWorld - Pi
  2. 円周率.jp
  3. http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/~matumoto/dvi/pi.pdf
  4. http://mathworld.wolfram.com/PiApproximations.html
  5. http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piApprox.html
  6. http://www.davidhbailey.com/dhbpapers/pi-formulas.pdf
  7. http://www.pi314.net/eng/index.php
  8. http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%A6%E3%82%A9%E3%83%AA%E3%82%B9%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F
  9. https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%A9%8D
  10. http://pi2.cc.u-tokyo.ac.jp/pi-decimal_current-j.html
  11. http://pi2.cc.u-tokyo.ac.jp/pi-hexa_current-j.html
  12. http://hp.vector.co.jp/authors/VA014765/pi/memory.html
  13. http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%86%E7%A9%8D%E5%95%8F%E9%A1%8C

広告ブロッカーが検出されました。


広告収入で運営されている無料サイトWikiaでは、このたび広告ブロッカーをご利用の方向けの変更が加わりました。

広告ブロッカーが改変されている場合、Wikiaにアクセスしていただくことができなくなっています。カスタム広告ブロッカーを解除してご利用ください。

FANDOMでも見てみる

おまかせWiki