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全順序集合 (Totally ordered set) とは、半順序集合の条件に全順序律(比較可能; comparability condition) の条件を加えた集合である[1]。すなわち、集合 $ X $ に対して、次の条件をみたす順序関係 $ \le $ が定められるとき、順序関係 $ \le $ は集合$ X $ 上の全順序であると言う。そして、このような集合と順序関係をセットにして全順序集合と言う。

  1. $ X $ の任意の元 $ a $ に対して、$ a \le a $反射律
  2. $ x \le y $ かつ $ y \le z $ ならば $ x \le z $。(推移律
  3. $ x \le y $ かつ $ y \le x $ ならば $ x=y $。(反対称律
  4. $ X $ の任意の元 $ x, y $ に対して、$ x \le y $ または $ y \le x $ のいずれか(両方でもよい)が必ず成り立つ。(全順序律

出典

  1. MathWorld - Totally Ordered Set