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とは、集合に、加法 ($ + $) と乗法 ($ \cdot $) と呼ばれるその集合上の二つの演算が備わった代数系である。体においては、加法と乗法についての逆元の存在が公理で保証されるため、四則演算を自由に行うことができる(ゼロ除算を除く)。を集合と一つの演算からなる順序対 $ (G,\cdot) $ として捉えることができるように、体も三つ組の順序対 $ (F,+,\cdot) $ として捉えることができる。

加法と乗法をもつ集合 $ (F,+,\cdot) $ が体であるとは、次の性質を満たすことをいう。以下、台集合 $ F $ に加法 "$ + $" と乗法 "$ \cdot $" が定められているとする。

  1. 加法と乗法両方の可換則すべての $ a,b\in F $ について、$ a+b=b+a $ かつ $ a\cdot b=b\cdot a $
  2. 加法と乗法両方の結合則 — すべての $ a,b,c\in F $ について、$ (a+b)+c=a+(b+c) $ かつ $ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c) $
  3. 加法単位元 — 任意の $ a\in F $ について $ a+0=a=0+a $ となるような、加法単位元と呼ばれる元 $ 0\in F $存在する
  4. 加法逆元 — 任意の $ a\in F $ について、$ a+b=0 $ となるような $ a $ の加法逆元と呼ばれる元 $ b\in F $ が存在する
  5. 乗法単位元 — 任意の $ a\in F $ について $ a\cdot1=a $ となるような、0 とは異なる、加法単位元とよばれる元 $ 1\in F $ が存在する
  6. 乗法逆元 — 0でない任意の $ a\in F $ について、 $ a\cdot c=1=c\cdot a $ となるような、$ a $の乗法逆元と呼ばれる元 $ c\in F $ が存在する
  7. 分配法則 — すべての $ a,b,c\in F $ について、$ a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c $

体は、(乗法単位元としての)1 と乗法逆元をもつ可換として定義することもできる。

誤解が生じない限り、三つ組 $ (F,+,\cdot) $ を単に $ F $ と略記することも多い。

2つの元の積 $ a \cdot b $はしばしば $ ab $と略記される。 また、乗法と加法が組み合わさった表記においては、加法が括弧で囲まれていない限りは、乗法の演算が優先される。つまり、 $ a + bc + d = a + \left(bc\right) + d $といった具合である。

任意の $ a\in F $について、その加法逆元を $ -a $ と表記する。0以外の任意の $ a\in F $について、その乗法逆元を $ a^{-1} $ と表記する。さらに、減算と呼ばれる演算を $ a-b=a+(-b) $ で、除算と呼ばれる演算を $ \frac{a}{b}=a\cdot b^{-1} $ ( $ b\ne0 $) で定義する。

重要な結果

体は単位環(単位元を持つ環)であるから、以下の性質は単位環のときと同様に成り立つ。

  • $ (F,+) $アーベル群
  • $ 0a=0 $ (任意の $ a\in F $)
  • $ a(-b)=(-a)b=-(ab) $ (任意の $ a,b\in F $)
  • $ (-a)(-b)=ab $ (任意の $ a,b\in F $)
  • $ (-1)a=-a $ (任意の $ a\in F $)
  • $ (-1)(-1)=1 $
  • 減算の分配法則が成り立つ: $ a(b-c) = ab-ac $ (任意の $ a,b,c\in F $)

加えて、次が成り立つ:

  • $ F^* $$ F $の 0 でない元全体とするとき、$ (F^*,\cdot) $ はアーベル群である。
  • 任意の体は $ \Q $ または $ \Z_p $ ( $ p $はある素数) と体同型な部分体を持つ.

追加の性質

  • $ F $ が 体 $ K $部分体であるとは、 $ F\subseteq K $ ($ F $$ K $部分集合)であり、$ F $ の加法と乗法は $ K $ の加法と乗法を制限したものであることをいう。$ K $$ F $拡大体である、という言い方も頻繁になされる。実はこのとき、$ K $$ F $上のベクトル空間である。
  • $ F $順序体であるとは、$ F $ 上の全順序 $ \le $ が存在し、任意の $ a,b,c\in G $に対して次が成り立つことをいう。
    • $ a \le b $ ならば $ a+c\le b+c $ (移動不変性)
    • $ 0 \le a, 0 \le b $ ならば $ 0\le ab $

  • 通常の和と積の演算により、有理数 ($ \Q $)、 代数的数 ($ \mathbb A $)、実数($ \R $)、複素数($ \C $) は体である。
  • $ \Q $ の拡大体。例えば、 $ \Q\left[\sqrt2\right]=\left\{a+b\sqrt2\mid a,b\in\Q\right\} $

Related

Elements of a field are the quantities over the vectorspaces are constructed and there are also called the scalars.

In the same branch functions $ X\to F $, where $ F $ is a field are called scalar fields.

関連項目