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とは、集合に、加法 (+) と乗法 (\cdot) と呼ばれるその集合上の二つの演算が備わった代数系である。体においては、加法と乗法についての逆元の存在が公理で保証されるため、四則演算を自由に行うことができる(ゼロ除算を除く)。を集合と一つの演算からなる順序対 (G,\cdot) として捉えることができるように、体も三つ組の順序対 (F,+,\cdot) として捉えることができる。

加法と乗法をもつ集合 (F,+,\cdot) が体であるとは、次の性質を満たすことをいう。以下、台集合 F に加法 "+" と乗法 "\cdot" が定められているとする。

  1. 加法と乗法両方の可換則すべての a,b\in F について、a+b=b+a かつ a\cdot b=b\cdot a
  2. 加法と乗法両方の結合則 — すべての a,b,c\in F について、(a+b)+c=a+(b+c) かつ (a\cdot b)\cdot c=a\cdot(b\cdot c)
  3. 加法単位元 — 任意の a\in F について a+0=a=0+a となるような、加法単位元と呼ばれる元 0\in F存在する
  4. 加法逆元 — 任意の a\in F について、a+b=0 となるような a の加法逆元と呼ばれる元 b\in F が存在する
  5. 乗法単位元 — 任意の a\in F について a\cdot1=a となるような、0 とは異なる、加法単位元とよばれる元 1\in F が存在する
  6. 乗法逆元 — 0でない任意の a\in F について、 a\cdot c=1=c\cdot a となるような、aの乗法逆元と呼ばれる元 c\in F が存在する
  7. 分配法則 — すべての a,b,c\in F について、a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c

体は、(乗法単位元としての)1 と乗法逆元をもつ可換として定義することもできる。

誤解が生じない限り、三つ組 (F,+,\cdot) を単に F と略記することも多い。

2つの元の積 a \cdot bはしばしば abと略記される。 また、乗法と加法が組み合わさった表記においては、加法が括弧で囲まれていない限りは、乗法の演算が優先される。つまり、 a + bc + d = a + \left(bc\right) + dといった具合である。

任意の a\in Fについて、その加法逆元を -a と表記する。0以外の任意の a\in Fについて、その乗法逆元を a^{-1} と表記する。さらに、減算と呼ばれる演算を a-b=a+(-b) で、除算と呼ばれる演算を \frac{a}{b}=a\cdot b^{-1} ( b\ne0) で定義する。

重要な結果編集

体は単位環(単位元を持つ環)であるから、以下の性質は単位環のときと同様に成り立つ。

  • (F,+)アーベル群
  • 0a=0 (任意の a\in F)
  • a(-b)=(-a)b=-(ab) (任意の a,b\in F)
  • (-a)(-b)=ab (任意の a,b\in F)
  • (-1)a=-a (任意の a\in F)
  • (-1)(-1)=1
  • 減算の分配法則が成り立つ: a(b-c) = ab-ac (任意の a,b,c\in F)

加えて、次が成り立つ:

  • F^*Fの 0 でない元全体とするとき、(F^*,\cdot) はアーベル群である。
  • 任意の体は \Q または \Z_p ( pはある素数) と体同型な部分体を持つ.

追加の性質編集

  • F が 体 K部分体であるとは、 F\subseteq K (FK部分集合)であり、F の加法と乗法は K の加法と乗法を制限したものであることをいう。KF拡大体である、という言い方も頻繁になされる。実はこのとき、KF上のベクトル空間である。
  • F順序体であるとは、F 上の全順序 \le が存在し、任意の a,b,c\in Gに対して次が成り立つことをいう。
    • a \le b ならば a+c\le b+c (移動不変性)
    • 0 \le a,  0 \le b ならば 0\le ab

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Related編集

Elements of a field are the quantities over the vectorspaces are constructed and there are also called the scalars.

In the same branch functions X\to F, where F is a field are called scalar fields.

関連項目 編集

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