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二項係数とは、二項式 x + y冪乗 (x + y)n の展開(二項展開)の係数となる値のことである。この係数を定めた定理を二項定理と呼び、これははペルシアの科学者ウマル・ハイヤームによって発見された。

概要

二項展開の一般項 xkynk の係数を二項係数と呼び、

$ n \choose k $

とあらわす。すなわち定義から

$ (x+y)^n = \sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k y^{n-k} $

が成り立つ。そして定理の主張はこの二項係数は n 個から k 個選ぶ組合せの数 nCk に等しいということである。これはまた、階乗を用いて表される:

$ {n\choose k} = {}_n{\rm C}_k = \frac{n!}{(n-k)!\,k!}. $

楕円積分との関係

第一種完全楕円積分$ K(k) $との間に、以下の関係が成り立つ。

$ \sum_{n=0}^\infty ({}_{2k}C_k)^2\left(\frac{x}{4}\right)^{2k}=\frac{2}{\pi}K(x) $