ロピタルの定理 (ロピタルのていり、英: l'Hôpital's rule ) とは、微分積分学 において不定形 (en ) の極限 を微分 を用いて求めるための定理 である。綴りl'Hôpital / l'Hospital、カタカナ表記ロピタル / ホスピタルの揺れについてはギヨーム・ド・ロピタルの項を参照。ベルヌーイの定理 (英語: Bernoulli's rule) と呼ばれることもある。本定理を (しばしば複数回) 適用することにより、不定形の式を非不定形の式に変換し、その極限値を容易に求めることができる可能性がある。
ロピタルの定理は、簡単には c を含むある開区間 I で微分可能な関数 ƒ と g において、
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
{\displaystyle \lim_{x \to c}f(x)=\lim_{x \to c}g(x)}
±
∞
{\displaystyle \pm\infty \, }
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}
I
∖
{
c
}
{\displaystyle I\setminus\{c\}}
g
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g'(x) \ne 0}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}
シュトルツ=チェザロの定理 は数列の極限において類似の結果を与えているが、そこでは微分ではなく隣接項差分が用いられている。
本定理はスイスの数学者、ヨハン・ベルヌーイによって発見されたものであるとされている[1] ロピタルの定理論争 を参照)。本定理の名称としては、欧州で最初の微分学書である l'Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (1,696年, 直訳: 曲線の理解のための無限小の解析) を出版し[2] フランス の数学者 、ギヨーム・ド・ロピタルの名を冠してロピタルの定理と呼ばれることが通例である。ベルヌーイとロピタルとの間には契約があってロピタルは命名権のためにいくらかの対価を与えたということである。ロピタルの死後にベルヌーイが自分こそが定理の発見者であると暴露した[3]
定理 [ ] ロピタルの定理の一般形は多くの場合に適用される。c と L が拡張された実数 (en ) (すなわち実数、正の無限大、負の無限大) であり、次の条件、
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim_{x\to c}{f(x)} = \lim_{x\to c}g(x) = 0}
lim
x
→
c
f
(
x
)
=
±
lim
x
→
c
g
(
x
)
=
±
∞
{\displaystyle \lim_{x\to c}{f(x)} = \pm\lim_{x\to c}{g(x)} = \pm\infty}
のいずれかが満たされるとする。また、 c を含むある開区間から c を除いた点において（
c
=
+
∞
{\displaystyle c=+\infty}
g
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g'(x) \ne 0}
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim_{x\to c}{\frac{f'(x)}{g'(x)}} = L}
が存在すれば、
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
L
{\displaystyle \lim_{x\to c}{\frac{f(x)}{g(x)}}=L}
である。このときの極限は片側極限 (en ) であっても良い。
極限が存在するという条件 [ ] 極限、
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}
が存在するという条件は十分条件にすぎない。不定形の微分ではしばしば極限値が存在せず、極限値が存在しない場合はロピタルの定理は適用できない。例えば、ƒ (x ) = x + sin(x ) と g (x ) = x に対しては、
lim
x
→
∞
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
lim
x
→
∞
1
+
cos
x
1
{\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to\infty}\frac{1+\cos x}{1}}
となり、この極限は存在しない。しかし次のようにすれば極限を得ることができる。
lim
x
→
∞
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
∞
(
1
+
sin
x
x
)
=
1
{\displaystyle \lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{\sin x}{x}\right) = 1}
分母の微分に関する条件 [ ]
I
∖
{
c
}
{\displaystyle I\setminus\{c\}}
g
′
(
x
)
≠
0
{\displaystyle g'(x) \ne 0}
f
(
x
)
=
x
+
cos
x
sin
x
{\displaystyle f(x)=x+\cos x\sin x}
g
(
x
)
=
e
sin
x
(
x
+
cos
x
sin
x
)
{\displaystyle g(x)=e^{\sin x}(x+\cos x\sin x)}
とおくと、
f
(
x
)
/
g
(
x
)
=
1
/
e
sin
x
{\displaystyle f(x)/g(x)=1/e^{\sin x}}
は
x
→
+
∞
{\displaystyle x\to +\infty}
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
=
2
cos
2
x
e
sin
x
cos
x
(
x
+
(
sin
x
+
2
)
cos
x
)
=
2
cos
x
e
sin
x
(
x
+
(
sin
x
+
2
)
cos
x
)
{\displaystyle
\begin{align}
\frac{f'(x)}{g'(x)}&=\frac{2\cos^2x}{e^{\sin x}\cos x(x+(\sin x+2)\cos x)}\\
&=\frac{2\cos x}{e^{\sin x}(x+(\sin x+2)\cos x)}
\end{align}
}
は0に収束する[4]
例 [ ] 以下に示す式はsinc関数 と 0/0形の不定形を含む例である。
lim
x
→
0
sinc
(
x
)
=
lim
x
→
0
sin
π
x
π
x
=
lim
y
→
0
sin
y
y
=
lim
y
→
0
cos
y
1
=
1.
{\displaystyle
\begin{align}
\lim_{x \to 0} \operatorname{sinc}(x)
& = \lim_{x \to 0} \frac{\sin \pi x}{\pi x} \\
& = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} \\
& = \lim_{y \to 0} \frac{\cos y}{1} \\
& = 1.
\end{align}
}
この極限は丁度、y=0 における sin 関数の微分の定義になっていることがわかる。 次の式は0/0を含む、さらに巧妙な例である。ロビタルの定理を一回適用してもまだ不定形である。この場合は本定理を三回適用することにより、極限を求めることができる。
lim
x
→
0
2
sin
x
−
sin
2
x
x
−
sin
x
=
lim
x
→
0
2
cos
x
−
2
cos
2
x
1
−
cos
x
=
lim
x
→
0
−
2
sin
x
+
4
sin
2
x
sin
x
=
lim
x
→
0
−
2
cos
x
+
8
cos
2
x
cos
x
=
−
2
+
8
1
=
6
{\displaystyle
\begin{align}
\lim_{x\to 0}{\frac{2\sin x-\sin 2x}{x-\sin x}}
& =\lim_{x\to 0}{\frac{2\cos x -2\cos 2x}{1-\cos x}} \\
& = \lim_{x\to 0}{\frac{-2\sin x +4\sin 2x}{\sin x}} \\
& = \lim_{x\to 0}{\frac{-2\cos x +8\cos 2x}{\cos x}} \\
& ={\frac{-2 +8}{1}} \\
& =6
\end{align}
}
この例は∞/∞形の不定形を持つ。
n
{\displaystyle n}
lim
x
→
∞
x
n
e
−
x
=
lim
x
→
∞
x
n
e
x
=
lim
x
→
∞
n
x
n
−
1
e
x
=
n
lim
x
→
∞
x
n
−
1
e
x
{\displaystyle \lim_{x\to\infty} x^n e^{-x}
=\lim_{x\to\infty}{\frac{x^n}{e^x}}
=\lim_{x\to\infty}{\frac{nx^{n-1}}{e^x}}
=n\lim_{x\to\infty}{\frac{x^{n-1}}{e^x}}}
である。冪乗が 0 となってその極限が 0 となるまでロピタルの定理を繰り返し適用する。 これは レイズドコサインフィルタ (en ) のインパルス応答と0/0形の不定形を持つ例である。
lim
t
→
1
/
2
sinc
(
t
)
cos
π
t
1
−
(
2
t
)
2
=
sinc
(
1
/
2
)
lim
t
→
1
/
2
cos
π
t
1
−
(
2
t
)
2
=
2
π
lim
t
→
1
/
2
−
π
sin
π
t
−
8
t
=
2
π
⋅
π
4
=
1
2
.
{\displaystyle
\begin{align}
\lim_{t\to 1/2} \operatorname{sinc}(t) \frac{\cos \pi t}{1 - (2t)^2}
& = \operatorname{sinc}(1/2) \lim_{t\to 1/2} \frac{\cos \pi t}{1 - (2 t)^2} \\
& = \frac{2}{\pi} \lim_{t\to 1/2} \frac{-\pi \sin \pi t}{-8 t} \\
& = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} \\
& = \frac{1}{2}.
\end{align}
}
次の定理を証明するためにロピタルの定理を使用することができる。もし
f
″
{\displaystyle \scriptstyle f''}
x で連続ならば、
lim
h
→
0
f
(
x
+
h
)
+
f
(
x
−
h
)
−
2
f
(
x
)
h
2
=
lim
h
→
0
f
′
(
x
+
h
)
−
f
′
(
x
−
h
)
2
h
=
f
″
(
x
)
.
{\displaystyle
\begin{align}
\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) + f(x - h) - 2f(x)}{h^2}
& = \lim_{h \to 0} \frac{f'(x + h) - f'(x - h)}{2h} \\
& = f''(x).
\end{align}
}
である。 ロビタルの定理はしばしば巧妙な方法において引き合いに出される。ここで
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
{\displaystyle f(x) + f'(x)}
x
→
∞
{\displaystyle x\to\infty}
lim
x
→
∞
f
(
x
)
=
lim
x
→
∞
e
x
f
(
x
)
e
x
=
lim
x
→
∞
e
x
(
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
)
e
x
=
lim
x
→
∞
(
f
(
x
)
+
f
′
(
x
)
)
{\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} {e^x f(x) \over e^x} = \lim_{x \to \infty} {e^x (f(x) + f'(x)) \over e^x} = \lim_{x \to \infty} (f(x) + f'(x))}
であるので極限
lim
x
→
∞
f
(
x
)
{\displaystyle \lim_{x\to\infty} f(x)}
lim
x
→
∞
f
′
(
x
)
=
0
{\displaystyle \lim_{x \to \infty} f'(x) = 0}
他の不定形 [ ] 0/0、∞/∞ 以外、すなわち " 1∞ ", " 00 ", " ∞0 ", " 0·∞ ", " ∞ − ∞ " などの不定形に対してもロピタルの定理を適用できる可能性がある。例えば、 "∞ − ∞" を含む極限を求めるためには二つの関数の差を分数に変換することにより、
lim
x
→
1
(
x
x
−
1
−
1
ln
x
)
=
lim
x
→
1
x
ln
x
−
x
+
1
(
x
−
1
)
ln
x
(
1
)
=
lim
x
→
1
ln
x
x
−
1
x
+
ln
x
(
2
)
=
lim
x
→
1
x
ln
x
x
−
1
+
x
ln
x
(
3
)
=
lim
x
→
1
1
+
ln
x
2
+
ln
x
(
4
)
=
1
2
{\displaystyle
\begin{align}
\lim_{x \to 1} \left(\frac{x}{x-1} - \frac{1}{\ln x}\right)
& = \lim_{x \to 1} \frac{x \ln x - x + 1}{(x-1) \ln x} \quad &(1) \\
& = \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{\frac{x-1}{x} + \ln x} \quad &(2) \\
& = \lim_{x \to 1} \frac{x \ln x}{x - 1 + x \ln x} \quad &(3) \\
& = \lim_{x \to 1} \frac{1 + \ln x}{2 + \ln x} \quad &(4) \\
& = \frac{1}{2}
\end{align}
}
を得る。ここにロピタルの定理が (1) から (2) そして (3) から (4) への変形に用いられた。
指数関数 を含む不定形では、対数 を用いて指数部から降ろす とロピタルの定理を適用できる可能性がある。次の式は 00 形の不定形を含む例である。
lim
x
→
0
+
x
x
=
lim
x
→
0
+
e
ln
x
x
=
lim
x
→
0
+
e
x
ln
x
=
e
lim
x
→
0
+
x
ln
x
{\displaystyle
\lim_{x \to 0^+} x^x
= \lim_{x \to 0^+} e^{\ln x^x}
= \lim_{x \to 0^+} e^{x \ln x}
= e^{\lim_{x \to 0^+} x \ln x}
}
ここで、指数関数は連続 であるので、極限を指数関数 の内側に移動することが有効である。すると指数
x
{\displaystyle x}
指数部から降ろす ことができる。極限
lim
x
→
0
+
x
ln
x
{\displaystyle \scriptstyle\lim_{x \to 0^+} x \ln x}
lim
x
→
0
+
x
ln
x
=
0
{\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0}
を得て、極限は次のように求められる。
lim
x
→
0
+
x
x
=
e
0
=
1
{\displaystyle \lim_{x \to 0^+} x^x = e^0 = 1}
極限を求めるための他の方法 [ ] ロピタルの定理は通常の方法では求めることが困難な極限問題に対しても強力な手法であるが、それが常に簡単とは限らない。次の例を考えてみよう。
lim
|
x
|
→
∞
x
sin
1
x
.
{\displaystyle
\lim_{|x| \to \infty} x \sin \frac{1}{x}.
}
この極限はロピタルの定理を用いると、
lim
|
x
|
→
∞
x
sin
1
x
=
lim
|
x
|
→
∞
sin
1
x
1
/
x
=
lim
|
x
|
→
∞
−
x
−
2
cos
1
x
−
x
−
2
=
lim
|
x
|
→
∞
cos
1
x
=
cos
(
lim
|
x
|
→
∞
1
x
)
=
1
{\displaystyle
\begin{align}
\lim_{|x| \to \infty} x \sin \frac{1}{x}
& = \lim_{|x| \to \infty} \frac{\sin \frac{1}{x}}{1/x} \\
& = \lim_{|x| \to \infty} \frac{-x^{-2}\cos\frac{1}{x}}{-x^{-2}} \\
& = \lim_{|x| \to \infty} \cos\frac{1}{x} \\
& = \cos{\left(\lim_{|x| \to \infty} \frac{1}{x} \right)} \\
& = 1
\end{align}
}
となるが、 cos 関数が連続であるので極限操作を cos 関数の内側に移動することが有効である。この極限を計算するための他の方法は変数の置換である。y = 1/x とする。|x | が無限大に近づくにつれて y は 0 に近づく。従って、
lim
|
x
|
→
∞
x
sin
1
x
=
lim
y
→
0
sin
y
y
=
1.
{\displaystyle \lim_{|x| \to \infty} x \sin \frac{1}{x} = \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1.}
である。最後の極限はロピタルの定理を用いて計算することもできるが、それを用いなくても 0 における sin 関数の微分の定義と同様の手法でも可能である。
この極限を計算するさらに他の方法は、テイラー展開 を用いることである。
lim
|
x
|
→
∞
x
sin
1
x
=
lim
|
x
|
→
∞
x
(
1
x
−
1
3
!
x
3
+
1
5
!
x
5
−
⋯
)
=
lim
|
x
|
→
∞
(
1
−
1
3
!
x
2
+
1
5
!
x
4
−
⋯
)
=
1
+
lim
|
x
|
→
∞
1
x
(
−
1
3
!
x
+
1
5
!
x
3
−
⋯
)
{\displaystyle
\begin{align}
\lim_{|x| \to \infty} x \sin \frac{1}{x}
& = \lim_{|x| \to \infty} x \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{3!\, x^3} + \frac{1}{5!\, x^5} - \cdots \right) \\
& = \lim_{|x| \to \infty} \left( 1 - \frac{1}{3!\, x^2} + \frac{1}{5!\, x^4} - \cdots \right) \\
& = 1 + \lim_{|x| \to \infty} \frac{1}{x}\left(-\frac{1}{3!\, x} + \frac{1}{5!\, x^3} - \cdots \right)
\end{align}
}
|x | ≥ 1 に対して、最後の行の第2項の極限のかっこの中の展開は有界であるので極限は 0 である。
循環論法 [ ] いくらかのケースではある極限を計算するためにロピタルの定理を使用するとき、循環論法 (en ) を構成することがある。次の例を考えてみよう。
lim
h
→
0
(
x
+
h
)
n
−
x
n
h
{\displaystyle \lim_{h\to 0}{\frac{(x+h)^n-x^n}{h}}}
この極限を求める目的が
f
(
x
)
=
x
n
{\displaystyle f(x) = x^n}
f
′
(
x
)
=
n
x
n
−
1
,
{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1},\,}
であることの証明 であるとき、もしその極限をロピタルの定理を使用して計算すれば、この論法は結論を仮定として用いることとなり (論点先取 )、たとえ結論が正しくとも非合理的な証明である。
発見的論法 [ ] 以下の単純な論法はロピタルの定理あるいは類似の概念が正しいことを示唆している。ここではロピタルの定理よりも強い仮定を用いているため、ロピタルの定理を証明するものではない。
f
′
{\displaystyle \scriptstyle f'}
g
′
{\displaystyle g'}
c
{\displaystyle c}
f
(
c
)
=
g
(
c
)
=
0
{\displaystyle f(c)=g(c)=0}
g ′(c ) ≠ 0 であるならば、
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
(
x
)
/
(
x
−
c
)
g
(
x
)
/
(
x
−
c
)
=
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle \lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c}\frac{f(x)/(x-c)}{g(x)/(x-c)} = \frac{f'(c)}{g'(c)} = \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}}
である。
ロピタルの定理の証明 [ ] ロピタルの定理を証明する標準的な方法はコーシーの平均値の定理 を用いることである。ロピタルの定理は
c
{\displaystyle c}
L
{\displaystyle L}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
[5]
0/0形 [ ]
c
{\displaystyle c}
L
{\displaystyle L}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
まず第一に、
f
(
c
)
=
0
{\displaystyle f(c)=0}
g
(
c
)
=
0
{\displaystyle g(c)=0}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
c
{\displaystyle c}
c
{\displaystyle c}
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
/
g
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle\lim_{x\to c}f'(x)/g'(x)\,}
x
=
c
{\displaystyle x = c}
g
′
(
x
)
{\displaystyle g'(x)}
(
c
−
δ
,
c
+
δ
)
{\displaystyle (c-\delta,c+\delta)}
x
{\displaystyle x}
f
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle f'(x)}
g
′
(
x
)
{\displaystyle g'(x)}
もし
x
{\displaystyle x}
(
c
,
c
+
δ
)
{\displaystyle (c,c+\delta)}
平均値の定理 とコーシーの平均値の定理 の両方を区間
[
c
,
x
]
{\displaystyle [c,x]}
(
c
−
δ
,
c
)
{\displaystyle (c-\delta,c)}
x
{\displaystyle x}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
g
′
(
y
)
=
0
{\displaystyle g'(y)=0}
(
c
,
x
)
{\displaystyle (c,x)}
y
{\displaystyle y}
f
(
x
)
g
(
x
)
=
f
′
(
ξ
x
)
g
′
(
ξ
x
)
{\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)}}
を満たす区間
(
c
,
x
)
{\displaystyle (c,x)}
ξ
x
{\displaystyle \xi_x}
x
{\displaystyle x}
c
{\displaystyle c}
ξ
x
{\displaystyle \xi_x}
c
{\displaystyle c}
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
/
g
′
(
x
)
{\displaystyle \scriptstyle\lim_{x\to c}f'(x)/g'(x)}
lim
x
→
c
f
(
x
)
g
(
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
ξ
x
)
g
′
(
ξ
x
)
=
lim
x
→
c
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
{\displaystyle
\lim_{x\to c}\frac{f(x)}{g(x)}
= \lim_{x\to c}\frac{f'(\xi_x)}{g'(\xi_x)}
= \lim_{x\to c}\frac{f'(x)}{g'(x)}
}
∞/∞形 [ ]
L
{\displaystyle L}
c
{\displaystyle c}
f
{\displaystyle f}
g
{\displaystyle g}
0
<
ε
<
1
{\displaystyle 0 < \varepsilon < 1}
ε
{\displaystyle \varepsilon}
a
{\displaystyle a}
x
≥
a
⇒
|
f
′
(
x
)
g
′
(
x
)
−
L
|
<
ε
/
3
{\displaystyle x\ge a\Rightarrow\left|\frac{f'(x)}{g'(x)} - L\right| < \varepsilon/3}
が成り立つ。この a に対してある b が存在し、
x
≥
b
⇒
g
(
x
)
>
3
(
|
L
|
+
1
)
ε
max
{
|
f
(
a
)
|
,
|
g
(
a
)
|
}
{\displaystyle x\ge b\Rightarrow g(x)>\frac{3(|L|+1)}{\varepsilon}\max \{|f(a)|,|g(a)|\}}
が成り立つ。このとき
x
>
b
{\displaystyle x>b}
a
<
y
<
x
{\displaystyle a<y<x}
y が存在して
f
(
x
)
−
f
(
a
)
g
(
x
)
−
g
(
a
)
=
f
′
(
y
)
g
′
(
y
)
{\displaystyle \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=\frac{f'(y)}{g'(y)}}
が成り立つから
|
f
(
x
)
−
f
(
a
)
g
(
x
)
−
g
(
a
)
−
L
|
<
ε
/
3
{\displaystyle \left|\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)} - L\right| < \varepsilon/3}
となる。よって
x
>
b
{\displaystyle x>b}
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
f
(
x
)
−
f
(
a
)
g
(
x
)
−
g
(
a
)
|
=
|
f
(
a
)
g
(
x
)
−
g
(
a
)
g
(
x
)
⋅
f
(
x
)
−
f
(
a
)
g
(
x
)
−
g
(
a
)
|
=
|
f
(
a
)
−
g
(
a
)
L
g
(
x
)
−
g
(
a
)
g
(
x
)
(
f
(
x
)
−
f
(
a
)
g
(
x
)
−
g
(
a
)
−
L
)
|
<
2
ε
/
3
{\displaystyle
\begin{align}
\left|\frac{f(x)}{g(x)}-\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\right| &= \left|\frac{f(a)}{g(x)}-\frac{g(a)}{g(x)} \cdot \frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}\right|\\
&=\left|\frac{f(a)-g(a)L}{g(x)}-\frac{g(a)}{g(x)}\left(\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}-L\right)\right|\\
&<2\varepsilon/3
\end{align}
}
が成り立つ。従って
x
>
b
{\displaystyle x>b}
|
f
(
x
)
g
(
x
)
−
L
|
<
ε
{\displaystyle \left|\frac{f(x)}{g(x)} - L\right| < \varepsilon}
が成り立つ。
高等学校数学におけるロピタルの定理 [ ] 日本の高等学校における数学科目(数学III)では分数関数の極限が扱われ、ロピタルの定理を適用すると容易に極限値を求められる計算問題がしばしば出題される。一部の学習参考書などでは発展的内容・有力な計算のテクニックとしてロピタルの定理が紹介されることがあるが、定理の使用には慎重である。これはロピタルの定理が学習指導要領で扱われておらず、「範囲外」の知識を説明なしに用いることが問題視されることがあること、定理を適用するための条件が若干複雑で誤ったやりかたで適用しがちであることなどが理由とされる。[6] [7] [8]
関連項目 [ ] 脚注 [ ]
↑ Weisstein, Eric W. “L'Hospital's Rule ”. MathWorld . Wolfram Research, Inc. 2008年12月21日 閲覧。 ↑ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. “De_L'Hopital biography ”. The MacTutor History of Mathematics archive . Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. 2008年12月21日 閲覧。 ↑ 志村五郎『数学をいかに使うか』筑摩書房刊、2012年（52ページ）
↑ Boas, R. P. “Counterexamples to L'Hopital's Rule.” Amer. Math. Monthly 93, 644-645, 1986.
↑ Spivak, Michael (1994). Calculus . Houston, Texas: Publish or Perish. pp. 201–202, 210–211. ISBN 0-914098-89-6 . ↑ 樋口 禎一・森田 康夫編，「高校数学解法事典(第九版)」第四章(微分法)、微分法の応用節，旺文社，2012年，ISBN 978-4010752005 ．
↑ 藤田宏，「理解しやすい数学III+C(改訂版)」第三章 2.2節，文英堂，2009年，ISBN 978-4578241133 ．
↑ 宮腰 忠，「高校数学＋α：基礎と論理の物語」第十三章 2節，共立出版，2004年，ISBN 978-4320017689 ．
主な引用元 [ ] ロピタルの定理-wikipedia
外部リンク [ ] 
![{\displaystyle [c,x]}](https://services.fandom.com/mathoid-facade/v1/media/math/render/svg/dc951a8d87ad58fc27293f9a10344b8b9053f331)
