ラマヌジャンの公式(円周率)とは、ラマヌジャンが導いた以下の公式である。 4 π = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 4 n ) ! ( 1123 + 21460 n ) 882 2 n + 1 ( 4 n n ! ) 4 {\displaystyle \cfrac{4}{\pi}=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(-1)^n (4n)! (1123+21460n)}{882^{2n+1} (4^n n!)^4}}
以下は編集者が考えたもので、正確性を保証するものではありません。ご了承ください。 また、随時編集中で、導入は省いているところがあります。 まず、 A = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 4 n ) ! ( 1123 + 21460 n ) 882 2 n + 1 ( 4 n n ! ) 4 {\displaystyle A=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(-1)^n (4n)! (1123+21460n)}{882^{2n+1} (4^n n!)^4}} とおく。 すると π = 4 A − 1 {\displaystyle \pi=4A^{-1}} となる。
また、 A k = ( − 1 ) k ( 4 k ) ! ( 1123 + 21460 k ) 882 2 k + 1 ( 4 k k ! ) 4 {\displaystyle A_k=\cfrac{(-1)^k (4k)! (1123+21460k)}{882^{2k+1} (4^k k!)^4}} 、 F ( n ) = 1123 + 21460 n {\displaystyle F(n)=1123+21460n} 、 G ( n ) = 24 G ( n − 1 ) 4 n C 4 n − 4 {\displaystyle G(n)=24G(n-1){}_{4n}C_{4n-4}} とおく。(ただし、 G ( 0 ) = 1 {\displaystyle G(0)=1} とする。) この A k {\displaystyle A_k} の分母 P k {\displaystyle P_k} 、分子 Q k {\displaystyle Q_k} は、 P k = 882 2 ( 4 k ) 4 P k − 1 = 199148544 k 4 P k − 1 {\displaystyle P_k=882^2(4k)^4P_{k-1} =199148544k^4P_{k-1}} (ただし、 P 0 = 882 {\displaystyle P_0=882} とする。) Q k = ( − 1 ) n F ( k ) G ( k ) {\displaystyle Q_k=(-1)^nF(k)G(k)} となる。
A 0 + A 1 {\displaystyle A_0+A_1} を考える。 すると A 0 + A 1 = Q 0 P 0 + Q 1 P 1 {\displaystyle A_0+A_1=\cfrac{Q_0}{P_0}+\cfrac{Q_1}{P_1}} と変形できる。 これを通分すると P 1 P 0 Q 0 + Q 1 P 1 {\displaystyle \cfrac{\cfrac{P_1}{P_0}Q_0+Q_1}{P_1}} となる。 ここで、 P 1 = 882 2 ( 4 ) 4 P 0 = 199148544 P 0 {\displaystyle P_1=882^2(4)^4P_0 =199148544P_0} であることを用いて、 A 0 + A 1 = 199148544 Q 0 + Q 1 P 1 {\displaystyle A_0+A_1=\cfrac{199148544Q_0+Q_1}{P_1}} が導ける。 分母の増加割合は変化しないことから、 A k + A k + 1 = 199148544 ( k + 1 ) 4 Q k + Q k + 1 P k + 1 {\displaystyle A_k+A_{k+1}=\cfrac{199148544(k+1)^4Q_k+Q_{k+1}}{P_{k+1}}} である。
