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ラマヌジャンの公式(円周率)とは、ラマヌジャンが導いた以下の公式である。
$ \cfrac{4}{\pi}=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(-1)^n (4n)! (1123+21460n)}{882^{2n+1} (4^n n!)^4} $

計算補助

以下は編集者が考えたもので、正確性を保証するものではありません。ご了承ください。
また、随時編集中で、導入は省いているところがあります。
まず、$ A=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{(-1)^n (4n)! (1123+21460n)}{882^{2n+1} (4^n n!)^4} $とおく。 すると$ \pi=4A^{-1} $となる。

前項との関係

また、
$ A_k=\cfrac{(-1)^k (4k)! (1123+21460k)}{882^{2k+1} (4^k k!)^4} $
$ F(n)=1123+21460n $
$ G(n)=24G(n-1){}_{4n}C_{4n-4} $とおく。(ただし、$ G(0)=1 $とする。)
この$ A_k $の分母$ P_k $、分子$ Q_k $は、
$ P_k=882^2(4k)^4P_{k-1} =199148544k^4P_{k-1} $
(ただし、$ P_0=882 $とする。)
$ Q_k=(-1)^nF(k)G(k) $
となる。

分数計算の際の通分

$ A_0+A_1 $を考える。
すると$ A_0+A_1=\cfrac{Q_0}{P_0}+\cfrac{Q_1}{P_1} $と変形できる。
これを通分すると$ \cfrac{\cfrac{P_1}{P_0}Q_0+Q_1}{P_1} $となる。
ここで、$ P_1=882^2(4)^4P_0 =199148544P_0 $であることを用いて、
$ A_0+A_1=\cfrac{199148544Q_0+Q_1}{P_1} $が導ける。
分母の増加割合は変化しないことから、$ A_k+A_{k+1}=\cfrac{199148544(k+1)^4Q_k+Q_{k+1}}{P_{k+1}} $である。