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健全性と完全性の証明

\(Γ_n∧A_k=Γ_{k+1},\ Γ_0=φ\)

\(Γ_n\) は無矛盾とする。

\(Γ_n|-P\) とすると、演繹定理より

\(|-A_0→A_1→A_2→・・・→A_{n-1}→P\quad右結合の括弧は省略\)

\(Γ_n\) は無矛盾であるため、\(A_k\) は \(A_l;l<k\) の下で恒偽命題とはならない。

よって、

\(Γ_n|=P\)

健全性が証明された。また、\(Γ_n|=P\) と \(Γ_n\) の定義より、

\(|=A_0→A_1→A_2→・・・→A_{n-1}→P\)

恒真命題は論理の公理とするため、

\(|-A_0→A_1→A_2→・・・→A_{n-1}→P\)

よって演繹定理より、

\(Γ_n|-P\)

完全性が証明された。

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