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Learn Mathematics in Funny & Easy Way05:49

Learn Mathematics in Funny & Easy Way

この動画を見ていたときに、指を折り曲げるだけで、9の掛け算が出来るというのをみて、「へー、そうなんだ!」と思ったので、そのことを考えていた。

よく言われるように、9の倍数の掛け算は、10 - 9 = 1であり、また10n - 9n = nであるが故に、式を変形し10n -n = 9nというのが有名だ。

10 - 9 = 1は、整数論では有名な式であるmodに置き換えることができる。つまり、

a \equiv a \pmod b

に対して、それぞれ代入すればよく

10 \equiv 1 \pmod 9

になる。

さて、このmodについての有名な命題として

 a + b \equiv a' + b' \pmod 9 と出来る、ということだ。これを100まで羅列すると

  1. 10 \equiv 1 \pmod 9
  2. 20 \equiv 2 \pmod 9
  3. 30 \equiv 3 \pmod 9
  4. 40 \equiv 4 \pmod 9
  5. 50 \equiv 5 \pmod 9
  6. 60 \equiv 6 \pmod 9
  7. 70 \equiv 7 \pmod 9
  8. 80 \equiv 8 \pmod 9
  9. 90 \equiv 0 \pmod 9

最初のときに

10n - 9n = n

と書いたわけだが、つまり、それぞれの指の本数nとbが対応すればよい筈だ。例えば、1番目を折り曲げるということは\pmod 1 を表現できる。

2番目を折り曲げれば\pmod 2 が表現できるわけだ。

さらに、ある数は  c = dq + r と表現できる。

このとき、bの部分を10とし、 c = 10q + r にすればよく、rの部分は既に、指を折り曲げたさいの残りとして表現できる。ただし、折り曲げた指自体は9x < 10x であり、少なくとも 2 \cdot 9x < 10x にならなくてはならない。要するに、10の桁は、折り曲げた部分以外を数える必要がある。

だから、たぶん指を折り曲げるだけで、9の段の計算が出来るんだと思う。もちろん、これはドラフトで、もっと厳密な証明が必要なのかもしれないけど、自分の理解だとこれが精一杯であり、初ブログとして、ここに記憶しておく。

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