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Learn Mathematics in Funny & Easy Way

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この動画を見ていたときに、指を折り曲げるだけで、9の掛け算が出来るというのをみて、「へー、そうなんだ!」と思ったので、そのことを考えていた。

よく言われるように、9の倍数の掛け算は、$ 10 - 9 = 1 $であり、また$ 10n - 9n = n $であるが故に、式を変形し$ 10n -n = 9n $というのが有名だ。

$ 10 - 9 = 1 $は、整数論では有名な式であるmodに置き換えることができる。つまり、

$ a \equiv a \pmod b $

に対して、それぞれ代入すればよく

$ 10 \equiv 1 \pmod 9 $

になる。

さて、このmodについての有名な命題として

$ a + b \equiv a' + b' \pmod 9 $ と出来る、ということだ。これを100まで羅列すると

  1. $ 10 \equiv 1 \pmod 9 $
  2. $ 20 \equiv 2 \pmod 9 $
  3. $ 30 \equiv 3 \pmod 9 $
  4. $ 40 \equiv 4 \pmod 9 $
  5. $ 50 \equiv 5 \pmod 9 $
  6. $ 60 \equiv 6 \pmod 9 $
  7. $ 70 \equiv 7 \pmod 9 $
  8. $ 80 \equiv 8 \pmod 9 $
  9. $ 90 \equiv 0 \pmod 9 $

最初のときに

$ 10n - 9n = n $

と書いたわけだが、つまり、それぞれの指の本数nとbが対応すればよい筈だ。例えば、1番目を折り曲げるということは$ \pmod 1 $ を表現できる。

2番目を折り曲げれば$ \pmod 2 $ が表現できるわけだ。

さらに、ある数は $ c = dq + r $ と表現できる。

このとき、bの部分を10とし、$ c = 10q + r $にすればよく、rの部分は既に、指を折り曲げたさいの残りとして表現できる。ただし、折り曲げた指自体は$ 9x < 10x $ であり、少なくとも$ 2 \cdot 9x < 10x $にならなくてはならない。要するに、10の桁は、折り曲げた部分以外を数える必要がある。

だから、たぶん指を折り曲げるだけで、9の段の計算が出来るんだと思う。もちろん、これはドラフトで、もっと厳密な証明が必要なのかもしれないけど、自分の理解だとこれが精一杯であり、初ブログとして、ここに記憶しておく。