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ポリアの『いかにして問題をとくか』という本があり、これは数学的な問題を如何にして解くか、ということを解説した本です。これに影響された本として『問題をどう解くか』(ウィゲルグレン)という本が、ちくま学芸文庫・数学シリーズから発売されました。さて、この中の問題の一つに

   abcabcで表現できる整数は、13の倍数である

というものがあります。ちょっと面白かったので解いてみたいと思います。

まず、この整数は

a + 10^2b + 10^3c + 10^4a + 10^5b + 10^6c

と表現することができます。このとき、a + 10^2b + 10^3c = bとします。このとき、

b + 10^4a + 10^5b + 10^6c

とすることができます。bの定義からb + 10^3(a + 10^2b + 10^3c) = b + 1000bと考えることができます。このとき b + 1000b = 1001b、つまり1001の倍数です。

さて、仮定により 13z = 1001bとなればいいわけです。式を解けば z = 77b ということがわかります。

もちろん、これは数学になれている人にとっては楽勝ですが、この本のいいところは、解法のステップをちゃんと記述しているところにある。

  1. abcabcの形の数の数値的な性質に着目する
  2. abcabcの形の数を他の数との積に因数分解できないか考えてみる

このような二つの考察を促し、その上で、式ができることをステップ毎に解説していきます。このため、問題をとくごとに、解法の勘が養われていくということになる、という意味でとてもおすすめです。

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