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\frac{582}{5}+\frac{9}{2}\pi = \sum_{n=1}^\infty 8^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(43n^2-624n+48)

24516-360\pi\sqrt{3} = \sum_{n=0}^\infty 9^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(2743n^2-130971n-12724)

\frac{1872}{5}+8\pi\sqrt{3} = \sum_{n=0}^\infty 3^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(1435n^2-3403n+96)

324+288\pi\sqrt{3}-576\text{log}2 = \sum_{n=0}^\infty(\frac{9}{8})^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(-5415n^2+6335n+5692)

7582+1008\pi\sqrt{3}-576\text{log}2 = \sum_{n=0}^\infty(\frac{9}{8})^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(18050n^2+1145n+7517)

-264+\frac{15}{2}\pi +120text{log}2 = \sum_{n=1}^\infty(-\frac{1}{2})^n\frac{(2n)!(3n)!}{(5n)!}(44506n^3-38681n^2+241n+1514)

20\pi\sqrt{3}+89 = \sum_{n=1}^\infty (-\frac{1}{3})^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(-22100n+4123)

\frac{40}{27}\pi\sqrt{3}+9 = \sum_{n=1}^\infty (-27)^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(-40n+3)

15\pi\sqrt{2}+27 = \sum_{n=0}^\infty 8^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(350n-17)

15\pi +42 = \sum_{n=1}^\infty (-4)^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(-952n+201)

\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1-\sqrt{1-\sin^2 x}}{2}

4\sin^2\frac{x}{2}=2-\sqrt{4-4\sin^2 x}

2\sin\frac{x}{2}=\sqrt{2-\sqrt{4-(2\sin x)^2}}

これより、帰納的にC_n=2\sin \frac{1}{2^n}\arcsin \frac{C_0}{2}=2\sin \frac{1}{2^n}\arcsin \frac{1}{2}=2\sin \frac{\pi}{6\cdot 2^n}

\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=xとすると、

\lim_{n\to\infty}3\cdot 2^nC_n=\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^n \sin\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\sin x}{x}=\pi

なお、C_nは半径2の円に内接する正6\cdot 2^nの一辺の長さを表している。


\sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1-\sqrt{1-\sin^2 x}}{2}

\sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-(\sin x)^2}}{2}}

これより、帰納的にU_n=\sin \frac{1}{2^n}\arcsin U_0=\sin \frac{1}{2^n}\arcsin \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6\cdot 2^n}

\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=xとすると、

\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^nU_n=\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^n \sin\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\sin x}{x}=\pi

また、\tan x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}}

\tan \frac{x}{2}=\frac{-1+\sqrt{1+\tan^2 x}}{\tan x}

これより、帰納的にV_n=\tan \frac{1}{2^n}\arctan U_0=\sin \frac{1}{2^n}\arctan \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6\cdot 2^n}

\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=xとすると、

\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^nU_n=\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^n \tan\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\tan x}{x}=\pi

なお、U_n,V_nは半径1の円にそれぞれ内接、外接する正6\cdot 2^nの一辺の長さを表している。


\cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos x)

および

\frac{\sin x}{2\sin\frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}=\cos\frac{x}{2}

より、

\cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos x)}

\frac{\sin x}{2\sin\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\frac{\sin 2x}{2\sin x})}

\frac{2\sin\frac{x}{2}}{\sin x}=\sqrt{2(\frac{2\sin x}{2\sin x+\sin 2x})}

2\sin\frac{x}{2}=\sin x\sqrt{\frac{2\sin x}{\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x}}

これより、帰納的にx_n=2^n\sin\frac{z}{2^n}と表せる。

x_1=2\sin\frac{z}{2}=1より、z=\pi

よって、x_n=2^n\sin\frac{\pi}{2^n}

\frac{\pi}{\cdot 2^n}=pとすると、

\lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}2^n \sin\frac{\pi}{2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\sin x}{x}=\pi



\begin{align}
&\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\sqrt{4n^2-k^2}-\sqrt{4n^2-(k-1)^2})^2} \\
&=\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\frac{\sqrt{4n^2-k^2}^2-\sqrt{4n^2-(k-1)^2}^2}{\sqrt{4n^2-k^2}+\sqrt{4n^2-(k-1)^2}})^2} \\
&=\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\frac{-2k+1}{\sqrt{4n^2-k^2}+\sqrt{4n^2-(k-1)^2}})^2} \\
&=\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\frac{-2\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}{\sqrt{4-(\frac{k}{n})^2}+\sqrt{4-(\frac{k}{n}-\frac{1}{n})^2}})^2} \\
&=3\int_0^1 \sqrt{1+(\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}})^2}dx \\
&=3\int_0^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{4-x^2}}dx \\
&=3\int_0^1 \sqrt{\frac{4}{4-x^2}}dx \\
&=3\int_0^\frac{1}{2} 2\sqrt{\frac{4}{4-4t^2}}dt(t=\frac{1}{2}x) \\
&=6\int_0^\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{1-t^2}}dt \\
&=6[\arcsin x]_0^\frac{1}{2} \\
&=6(\frac{\pi}{6}-0) \\
&=\pi \\
\end{align}

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