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$ \frac{582}{5}+\frac{9}{2}\pi = \sum_{n=1}^\infty 8^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(43n^2-624n+48) $

$ 24516-360\pi\sqrt{3} = \sum_{n=0}^\infty 9^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(2743n^2-130971n-12724) $

$ \frac{1872}{5}+8\pi\sqrt{3} = \sum_{n=0}^\infty 3^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(1435n^2-3403n+96) $

$ 324+288\pi\sqrt{3}-576\text{log}2 = \sum_{n=0}^\infty(\frac{9}{8})^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(-5415n^2+6335n+5692) $

$ 7582+1008\pi\sqrt{3}-576\text{log}2 = \sum_{n=0}^\infty(\frac{9}{8})^n\frac{n!(3n)!}{(4n)!}(18050n^2+1145n+7517) $

$ -264+\frac{15}{2}\pi +120text{log}2 = \sum_{n=1}^\infty(-\frac{1}{2})^n\frac{(2n)!(3n)!}{(5n)!}(44506n^3-38681n^2+241n+1514) $

$ 20\pi\sqrt{3}+89 = \sum_{n=1}^\infty (-\frac{1}{3})^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(-22100n+4123) $

$ \frac{40}{27}\pi\sqrt{3}+9 = \sum_{n=1}^\infty (-27)^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(-40n+3) $

$ 15\pi\sqrt{2}+27 = \sum_{n=0}^\infty 8^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(350n-17) $

$ 15\pi +42 = \sum_{n=1}^\infty (-4)^n\frac{(2n!)^2(3n)!}{n!(6n)!}(-952n+201) $

$ \sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1-\sqrt{1-\sin^2 x}}{2} $

$ 4\sin^2\frac{x}{2}=2-\sqrt{4-4\sin^2 x} $

$ 2\sin\frac{x}{2}=\sqrt{2-\sqrt{4-(2\sin x)^2}} $

これより、帰納的に$ C_n=2\sin \frac{1}{2^n}\arcsin \frac{C_0}{2}=2\sin \frac{1}{2^n}\arcsin \frac{1}{2}=2\sin \frac{\pi}{6\cdot 2^n} $

$ \frac{\pi}{6\cdot 2^n}=x $とすると、

$ \lim_{n\to\infty}3\cdot 2^nC_n=\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^n \sin\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\sin x}{x}=\pi $

なお、$ C_n $は半径2の円に内接する正$ 6\cdot 2^n $の一辺の長さを表している。


$ \sin^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{2}=\frac{1-\sqrt{1-\sin^2 x}}{2} $

$ \sin\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\sqrt{1-(\sin x)^2}}{2}} $

これより、帰納的に$ U_n=\sin \frac{1}{2^n}\arcsin U_0=\sin \frac{1}{2^n}\arcsin \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6\cdot 2^n} $

$ \frac{\pi}{6\cdot 2^n}=x $とすると、

$ \lim_{n\to\infty}6\cdot 2^nU_n=\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^n \sin\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\sin x}{x}=\pi $

また、$ \tan x=\frac{2\tan \frac{x}{2}}{1-\tan^2\frac{x}{2}} $

$ \tan \frac{x}{2}=\frac{-1+\sqrt{1+\tan^2 x}}{\tan x} $

これより、帰納的に$ V_n=\tan \frac{1}{2^n}\arctan U_0=\sin \frac{1}{2^n}\arctan \frac{1}{2}=\sin \frac{\pi}{6\cdot 2^n} $

$ \frac{\pi}{6\cdot 2^n}=x $とすると、

$ \lim_{n\to\infty}6\cdot 2^nU_n=\lim_{n\to\infty}6\cdot 2^n \tan\frac{\pi}{6\cdot 2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\tan x}{x}=\pi $

なお、$ U_n,V_n $は半径1の円にそれぞれ内接、外接する正$ 6\cdot 2^n $の一辺の長さを表している。


$ \cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{2}(1+\cos x) $

および

$ \frac{\sin x}{2\sin\frac{x}{2}}=\frac{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}{2\sin \frac{x}{2}}=\cos\frac{x}{2} $

より、

$ \cos\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\cos x)} $

$ \frac{\sin x}{2\sin\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1}{2}(1+\frac{\sin 2x}{2\sin x})} $

$ \frac{2\sin\frac{x}{2}}{\sin x}=\sqrt{2(\frac{2\sin x}{2\sin x+\sin 2x})} $

$ 2\sin\frac{x}{2}=\sin x\sqrt{\frac{2\sin x}{\sin x+\frac{1}{2}\sin 2x}} $

これより、帰納的に$ x_n=2^n\sin\frac{z}{2^n} $と表せる。

$ x_1=2\sin\frac{z}{2}=1 $より、$ z=\pi $

よって、$ x_n=2^n\sin\frac{\pi}{2^n} $

$ \frac{\pi}{\cdot 2^n}=p $とすると、

$ \lim_{n\to\infty} x_n=\lim_{n\to\infty}2^n \sin\frac{\pi}{2^n}=\lim_{x\to 0}\pi\frac{\sin x}{x}=\pi $


$ \begin{align} &\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\sqrt{4n^2-k^2}-\sqrt{4n^2-(k-1)^2})^2} \\ &=\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\frac{\sqrt{4n^2-k^2}^2-\sqrt{4n^2-(k-1)^2}^2}{\sqrt{4n^2-k^2}+\sqrt{4n^2-(k-1)^2}})^2} \\ &=\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\frac{-2k+1}{\sqrt{4n^2-k^2}+\sqrt{4n^2-(k-1)^2}})^2} \\ &=\frac{3}{n}\sum_{k=1}^n\sqrt{1+(\frac{-2\frac{k}{n}+\frac{1}{n}}{\sqrt{4-(\frac{k}{n})^2}+\sqrt{4-(\frac{k}{n}-\frac{1}{n})^2}})^2} \\ &=3\int_0^1 \sqrt{1+(\frac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}})^2}dx \\ &=3\int_0^1 \sqrt{1+\frac{x^2}{4-x^2}}dx \\ &=3\int_0^1 \sqrt{\frac{4}{4-x^2}}dx \\ &=3\int_0^\frac{1}{2} 2\sqrt{\frac{4}{4-4t^2}}dt(t=\frac{1}{2}x) \\ &=6\int_0^\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{1-t^2}}dt \\ &=6[\arcsin x]_0^\frac{1}{2} \\ &=6(\frac{\pi}{6}-0) \\ &=\pi \\ \end{align} $