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$ \sum_{n=1}^\infty\frac{2^nn^k}{{}_{2n}C_n}=a_k\pi+b_k $とすると、

$ \lim_{k\to\infty}\frac{b_k}{a_k}=\pi $

(ただし、$ a_k,b_k $は有理数)

$ \sum_{n=1}^\infty\frac{n^k}{{}_{2n}C_n}=a_k\pi\sqrt{3}+b_k $とすると、

$ \lim_{k\to\infty}\frac{b_k}{a_k}=2\pi\sqrt{3} $

(ただし、$ a_k,b_k $は有理数)

$ \sum_{n=1}^\infty\frac{3^nn^k}{{}_{2n}C_n}=a_k\pi\sqrt{3}+b_k $とすると、

$ \lim_{k\to\infty}\frac{b_k}{a_k}=\frac{\pi}{2} $

(ただし、$ a_k,b_k $は有理数)

$ L^2\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{7}{108}\pi^3 $