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4次収束の公式(1984)

\begin{align}
&a_0=\sqrt{2},b_0=0,a_{n+1}=\frac{a_n+1}{2\sqrt{a_n}},b_{n+1}=\frac{\sqrt{a_n}(1+b_n)}{a_n+b_n}, \\
&p_0=2+\sqrt{2},p_{n+1}=p_nb_{n+1}\frac{1+a_{n+1}}{1+b_{n+1}} \\
\end{align}

のとき、

\lim_{n\to\infty}p_n=\pi

4次収束の公式(1987)

\begin{align}
&y_0=\sqrt{2},z_1=\sqrt[4]{2},y_{n+1}=\frac{1+y_n}{2\sqrt{y_n}},z_{n+1}=\frac{1+y_nz_n}{(1+z_n)\sqrt{y_n}} \\
&f_0=2+\sqrt{2},f_n=f_{n-1}\frac{1+y_n}{1+z_n}
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}f_n=\pi

4次収束の公式

y_0=\frac{1}{\sqrt{2}},y_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-y_n^2}}{1+\sqrt{1-y_n^2}},\alpha_0=\frac{1}{2},\alpha_{n+1}=((1+y_{n+1})^2\alpha_n)-2^{n+1}y_{n+1}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

4次収束の公式

y_0=\frac{1}{3},y_{n+1}=\frac{1-\sqrt{1-y_n^2}}{1+3\sqrt{1-y_n^2}},\alpha_0=\frac{1}{3},\alpha_{n+1}=((1+3y_{n+1})\alpha_n)-2^ny_{n+1}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

4次収束の公式

y_0=2,y_{n+1}=\frac{4}{1+\sqrt{(4-y_n)(2+y_n)}},\alpha_0=\frac{1}{3},\alpha_{n+1}=y_n\alpha_n+\frac{2^n}{3}(1-y_n)

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

3次収束の公式

\begin{align}
&y_0=\frac{\sqrt{3}-1}{2},y_{n+1}=\frac{1-\sqrt[3]{1-y_n^3}}{1+2\sqrt[3]{1-y_n^3}}, \\
&\alpha_0=\frac{1}{3},\alpha_{n+1}=((1+2y_{n+1})^2\alpha_n)-4\cdot3^{n-1}(1+y_{n+1})y_{n+1} \\
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

4次収束の公式

\begin{align}
&y_0=\sqrt{2}-1,y_{n+1}=\frac{1-\sqrt[4]{1-y_n^4}}{1+\sqrt[4]{1-y_n^4}}, \\
&\alpha_0=6-4\sqrt{2},\alpha_{n+1}=((1+y_{n+1})^4\alpha_n)-2^{2n+3}(1+y_{n+1}+y_{n+1}^2)y_{n+1} \\
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

5次収束の公式

\begin{align}
&S_0=5(\sqrt{5}-2),\alpha_0=\frac{1}{2},S_{n+1}=\frac{25}{S_n\left(Z_n+\frac{X_n}{Z_n}+1\right)^2}, \\
&X_n=\frac{5}{S_n}-1,Y_n=(X_n-1)^2+7,Z=\frac{1}{2}\sqrt[5]{X_n(Y_n+\sqrt{Y_n^2-4X_n^3})} \\
&\alpha_{n+1}=S_n^2\alpha_n-5^n\left(\frac{S_n^2-5}{2}+\sqrt{S_n(S_n^2-2S_n+5)}\right)
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

7次収束の公式

\begin{align}
&\alpha_0=\frac{4}{3\sqrt{7}},\mathbf{M}=\left(2\cos\left(\frac{4\pi ij}{7}\right)\right)_{1\leq i,j\leq3}=\left( 
\begin{array}{ccc}
2\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{12\pi}{7}\right) \\
2\cos\left(\frac{8\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{16\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{24\pi}{7}\right) \\
2\cos\left(\frac{12\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{24\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{36\pi}{7}\right) \\
\end{array} 
\right) \\
&=\left( 
\begin{array}{ccc}
2\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) \\
2\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) \\
2\cos\left(\frac{2\pi}{7}\right)&2\cos\left(\frac{4\pi}{7}\right) &2\cos\left(\frac{6\pi}{7}\right) \\
\end{array} 
\right) \\
&x_2<x_1<x_3,f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0,f(x)=27^4x^3-27^332x^2+27^2325x-13^4 \\
&y_1=\sqrt[7]{x_1^3x_3},y_2=\sqrt[7]{x_2^3x_1},y_3=\sqrt[7]{x_3^3x_2},\mathbf{s_0}=\left(\frac{27}{13}\right)^{\frac{3}{7}}\left(\begin{array}{c}y_1 \\y_2 \\y_3\end{array}\right), \\
&\mathbf{s_n}=\frac{1}{7}\sqrt{m_{n-1}}[\mathbf{M\cdot s}_{n-1}'+\mathbf{1}]=\left(\begin{array}{c}s_{1,n} \\s_{2,n} \\s_{3,n}\end{array}\right),\mathbf{1}=\left(\begin{array}{c}1 \\1 \\1\end{array}\right) \\
&g_{1,n}=s_{1,n}s_{2,n}s_{3,n},g_{2,n}=s_{1,n}^3s_{2,n}+s_{2,n}^3s_{3,n}+s_{3,n}^3s_{1,n}, \\
&g_{3,n}=1-\frac{10}{7}g_{1,n}+\frac{1}{7}g_{2,n},g_{4,n}=3-\frac{51}{7}g_{1,n}+\frac{10}{7}g_{2,n} \\
&\beta_n<\mu_n<\gamma_n,h(\beta_n)=h(\mu_n)=h(\gamma_n)=0, \\
&h(x)=x^3-g_{4,n}x^2+g_{3,n}(2g_{4,n}-3g_{3,n})x-g_{3,n}^4 \\
&\mathbf{s}'_n=\left(\begin{array}{c}\sqrt[7]{\frac{\mu^3\gamma}{g_{3,n}^3}} \\\sqrt[7]{\frac{\beta^3\mu}{g_{3,n}^3}} \\\sqrt[7]{\frac{\gamma^3\beta}{g_{3,n}^3}}\end{array}\right),m_n\frac{49}{1+2\mathbf{s'_n\cdot 1}},\alpha_{n+1}=m_n\alpha_n+\sqrt{7}\frac{7^n}{3}(1-m_n) \\
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

9次収束の公式

\begin{align}
&\alpha_0=\frac{1}{3},s_1=\frac{\sqrt{3}-1}{2},s_n'=(1-s_n^3)^{\frac{1}{3}},s_{n+1}'=\frac{(1-s_n)^3}{(t_n+2u_n)(t_n^2+t_nu_n+u_n^2)} \\
&t_n=1+2s_n,u_n=[9s_n(1+s_n+s_n^2)]^{\frac{1}{3}},m_n=27\frac{(1+s_n'+s_n'^2)^3}{t^2_n+t_nu_n+u_n^2} \\
&\alpha_{n+1}=m_{n+1}\alpha_n+3^{2n-1}(1-m_{n+1})
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

16次収束の公式

\begin{align}
&\alpha_0=\frac{1}{3},s_1=\sqrt{2}-1,s_n'=(1-s_n^4)^{\frac{1}{4}},s_{n+1}'=\frac{(1-s_n)^4}{(t_n+u_n)^2(t_n^2+u_n^2)} \\
&t_n=1+s_n,u_n=[8s_n(1+s_n^2)]^{\frac{1}{4}},m_{1,n}=\left(\frac{1+s_n'}{2}\right)^4,m_{2,n}=\frac{1}{t_n^4} \\
&\alpha_{n+1}=16m_{1,n+1}\alpha_n+\frac{4^{2n+1}}{3}(1-4m_{1,n+1}-12m_{2,n+1})
\end{align}

のとき

\lim_{n\to\infty}\alpha_n=\frac{1}{\pi}

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