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$ \begin{align} &\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}\cdots \\ =&x\sqrt{1-\frac{2}{3}x^2\sqrt{1-\frac{23}{15}x^2\sqrt{1-\frac{11623}{4830}x^2\sqrt{\cdots}}}} \end{align} $

$ \sqrt{1-\frac{2}{3}\sqrt{1-\frac{23}{15}\sqrt{1-\frac{11623}{4830}\sqrt{\cdots}}}}=\frac{\pi}{4} $

$ \sqrt{1-\frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\sqrt{1-\frac{23}{15}\cdot\frac{1}{3}\sqrt{1-\frac{11623}{4830}\cdot\frac{1}{3}\sqrt{\cdots}}}}=\frac{\pi}{2\sqrt{3}} $

$ \begin{align} &\sqrt[3]{\displaystyle 3\left(\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\right)\left(\sum_{\begin{smallmatrix} (m,n)\in\mathbb{O}^2 & \\ m\neq n& \end{smallmatrix}}\frac{(-1)^{\frac{m+n}{2}}}{mn}\right)+\sum_{\begin{smallmatrix} (l,m,n)\in\mathbb{O}^3 & \\ l\neq m\neq n\neq l& \end{smallmatrix}}\frac{(-1)^{\frac{l+m+n-1}{2}}}{lmn}\right)} \\ &\overline{+\sqrt[3]{\displaystyle 3\left(\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}\right)\left(\sum_{\begin{smallmatrix} (m,n)\in\mathbb{O}^2 & \\ m\neq n& \end{smallmatrix}}\frac{(-1)^{\frac{m+n}{2}}}{m^3n^3}\right)+\sum_{\begin{smallmatrix} (l,m,n)\in\mathbb{O}^3 & \\ l\neq m\neq n\neq l& \end{smallmatrix}}\frac{(-1)^{\frac{l+m+n-1}{2}}}{l^3m^3n^3}\right)}} \\ &\overline{\overline{+\sqrt[3]{\displaystyle 3\left(\left(\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)^9}\right)\left(\sum_{\begin{smallmatrix} (m,n)\in\mathbb{O}^2 & \\ m\neq n& \end{smallmatrix}}\frac{(-1)^{\frac{m+n}{2}}}{m^9n^9}\right)+\sum_{\begin{smallmatrix} (l,m,n)\in\mathbb{O}^3 & \\ l\neq m\neq n\neq l& \end{smallmatrix}}\frac{(-1)^{\frac{l+m+n-1}{2}}}{l^9m^9n^9}\right)+\cdots}}} \\ =&\frac{\pi}{4}\ (\mathbb{O}=\{n=1(\text{mod}2)|n\in\mathbb{N}\}) \end{align} $

$ x^{\log (1+y)}=x^{y-\frac{y^2}{2}+\frac{y^3}{3}-\cdots}=x^{y(1-\frac{y}{2}(1-\frac{2}{3}y\cdots))}=x\sqrt[\frac{1}{y}]{x\sqrt[-\frac{2}{y}]{x\sqrt[-\frac{3}{y}]{x^2\sqrt[-\frac{4}{y}]{\cdots}}}} $

$ \frac{\pi^2}{6}=\left(\sqrt[4]{e\sqrt[8]{e\sqrt[12]{e^2\sqrt[16]{e^3\cdots}}}}\right)\left(\sqrt[9]{e\sqrt[18]{e\sqrt[27]{e^2\sqrt[36]{e^3\cdots}}}}\right)\left(\sqrt[25]{e\sqrt[50]{e\sqrt[75]{e^2\sqrt[100]{e^3\cdots}}}}\right)\cdots $

$ \frac{\pi}{2}=\left(\sqrt[4]{e\sqrt[8]{e\sqrt[12]{e^2\sqrt[16]{e^3\cdots}}}}\right)\left(\sqrt[16]{e\sqrt[32]{e\sqrt[48]{e^2\sqrt[64]{e^3\cdots}}}}\right)\left(\sqrt[36]{e\sqrt[72]{e\sqrt[108]{e^2\sqrt[144]{e^3\cdots}}}}\right)\cdots $