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マクスウェル方程式とは、電磁気学における基礎方程式である。

様々な表現

標準的な表現

マクスウェル方程式は、現在一般的に次の連立方程式として記述される。

$ \begin{cases} \nabla\cdot\mathbf{B}=0\\ \nabla\times\mathbf{E}+\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}=0\\ \nabla\cdot\mathbf{D}=\rho\\ \nabla\times\mathbf{H}-\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}=\mathbf{j}\\ \end{cases} $

この4つの方程式は、上から順に、磁束保存の式、ファラデー・マクスウェルの式、マクスウェル・ガウスの式、アンペール・マクスウェルの式と呼ばれる。

この4つすべてに積分形の表示が存在し、次のような形になる。

$ \begin{cases} \int_{\mathbf{A}}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}&=0\\ V=-\frac{\partial \mathbf{\Phi}}{\partial t}\\ \int_{\mathbf{A}}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{A}&=Q\\ \int_{\partial \mathbf{A}}\mathbf{H}\cdot d\mathbf{s}&=I-\frac{\partial}{\partial t}\int_{\mathbf{A}}\mathbf{D}\cdot d\mathbf{S} \end{cases} $

ベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャル

磁束保存の式、ファラデー・マクスウェルの式は次のベクトルポテンシャルとスカラーポテンシャルを用いた式と等価であることがベクトル解析の公式を用いて説明できる。

$ \begin{cases} \mu\mathbf{H}&=\nabla\times\mathbf{A}\\ \mathbf{E}&=-\frac{\partial\mathbf{A}}{\partial t}-\nabla\phi\\ \end{cases} $

最初期の表現

しかしマクスウェルが最初に発表した式はベクトル表示ではなく、また現在のマクスウェル方程式に対応しない式も含まれていた。

$ \begin{cases} p'&=p+\frac{\partial f}{\partial t}\\ q'&=q+\frac{\partial g}{\partial t}\\ r'&=r+\frac{\partial h}{\partial t}\\ \mu\alpha&=\frac{\partial H}{\partial y}-\frac{\partial G}{\partial z}\\ \mu\beta&=\frac{\partial F}{\partial z}-\frac{\partial H}{\partial x}\\ \mu\gamma&=\frac{\partial G}{\partial x}-\frac{\partial F}{\partial y}\\ \frac{\partial \gamma}{\partial y}-\frac{\partial \beta}{\partial z}&=4\pi p'\\ \frac{\partial \alpha}{\partial z}-\frac{\partial \gamma}{\partial x}&=4\pi q'\\ \frac{\partial \beta}{\partial x}-\frac{\partial \alpha}{\partial y}&=4\pi r'\\ P&=\mu\left(\gamma\frac{\partial y}{\partial t}-\beta\frac{\partial z}{\partial t}\right)-\frac{\partial F}{\partial t}-\frac{\partial \Psi}{\partial x}\\ Q&=\mu\left(\alpha\frac{\partial z}{\partial t}-\gamma\frac{\partial x}{\partial t}\right)-\frac{\partial G}{\partial t}-\frac{\partial \Psi}{\partial y}\\ R&=\mu\left(\beta\frac{\partial x}{\partial t}-\alpha\frac{\partial y}{\partial t}\right)-\frac{\partial H}{\partial t}-\frac{\partial \Psi}{\partial z}\\ P&=kf\\ Q&=kg\\ R&=kh\\ P&=-\xi p\\ Q&=-\xi q\\ R&=-\xi r\\ e+\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial g}{\partial y}+\frac{\partial h}{\partial z}&=0\\ -\frac{\partial e}{\partial t}+\frac{\partial p}{\partial x}+\frac{\partial q}{\partial y}+\frac{\partial r}{\partial z}&=0\\ \end{cases} $

相対論的表示

相対性理論においてはローレンツ変換に対する不変性を明示するため、電磁テンソルを用いて次のように表記することが多い。

$ \begin{cases} \partial_\rho F_{\mu\nu}+\partial_\mu F_{\nu\rho}+\partial_\nu F_{\rho\mu}&=0\\ \partial_\mu F^{\mu\nu}&=\mu_0 j^\nu\\ \end{cases} $

この式は完全反対称テンソルを使えば次のようにも記述される。

$ \begin{cases} \epsilon^{\mu\nu\rho\sigma}\partial_\rho F_{\mu\nu}&=0\\ \partial_\mu F^{\mu\nu}&=\mu_0 j^\nu\\ \end{cases} $

四元ポテンシャル

四元ポテンシャルを用いると、相対論表示のうち上側の式が電磁場の定義となるので書く必要がなくなり、次の式のみで表されるようになる。

$ \Box A^\nu-\partial_\mu\partial ^\nu A^\mu=\mu_0 j^\nu $

微分形式

微分形式を用いた表示も存在し、次のように表される。

$ d((d(A_\mu dx^\mu))^*)=\mu_0(j_\mu dx^\mu)^* $


マクスウェル方程式の解として、ジェフィメンコ方程式が求められる。詳しくはジェフィメンコ方程式のページを参照。