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ピタゴラス数とは、$ a^2 + b^2 = c^2, a,b,c \in \mathbb{Z} $ を満たすa, b, cの数のことを言う。

例として、

  • a = 6
  • b = 8
  • c = 10

とする。このとき、

  • $ 6 ^ 2 = 36 $
  • $ 8 ^ 2 = 64 $
  • $ 36 + 64 = 10 ^ 2 = 100 $

なので成立する。

既約ピタゴラス数

ピタゴラス数a, b, cに対し、公約数を持たない場合におけるピタゴラス数を、既約ピタゴラス数と呼ぶ。

公約数を持たない数を、特別に既約ピタゴラス数と名づけるのは、既約ピタゴラス数ではないピタゴラス数は、各a, b, cに対して、任意の数dを掛け合わせることにより、簡単に作ることが可能だからだ。

  • $ ad = a' $
  • $ bd = b' $
  • $ cd = c' $

と置く。このとき、ピタゴラス数の定義により

$ a'^2 + b'^2 = c'^2 $

が成立する。このとき

$ ad^2 + bd ^2 = cd^2 $

である。これは

$ d^2(a^2 + b^2) = d^2(c^2) $

にすることができる。このとき、a, b, cはピタゴラス数であると仮定した。そのため、a, b, cに対して整数dをかけても成立する。

性質

a, b, cの全てが偶数にはならない

a, b, cの全てが偶数であると仮定する。

このとき、偶数の約数は、最低でも2になる。a, b, cは偶数であった。従って全てのa, b, cは共通の約数として2を持つ。

しかし、既約ピタゴラス数の定義では、共通の約数を持たないため、仮定と矛盾する。従ってa, b, cは全て偶数ではない。