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ネイピア数 (Napier's constant; 英語では、むしろ Euler's number と言うが、オイラーの定数 Euler's constant やオイラー数列と紛らわしい) は、数学定数の一つで、e と書かれる。自然対数の底である[1]

e は無理数であり、超越数である。

  • 十進数: 2.71828182845904523536...
  • 連分数

$ e= 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{2}{3+\cfrac{3}{4+\cfrac{4}{5+\ddots}}}}} = 2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\ddots\,}}}}} $ $ e = 2+\cfrac{1}{1+\cfrac{2}{5+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\ddots\,}}}}} = 1+\cfrac{2}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{10+\cfrac{1}{14+\cfrac{1}{18+\ddots\,}}}}} $

$ e^{x/y} = 1+\cfrac{2x} {2y-x+\cfrac{x^2} {6y+\cfrac{x^2} {10y+\cfrac{x^2} {14y+\cfrac{x^2} {18y+\ddots}}}}} $

  • 極限
    • $ \lim_{n \to \infty} (1 + {1\over n})^n = e $ (定義式としても使われる)
    • $ \lim_{n \to -\infty} (1 + {1\over n})^n = e $
    • $ \lim_{n \to \pm\infty} (1 - {1\over n})^{-n} = e $
    • $ \lim_{n \to \pm\infty} (1 - {1\over n})^n = \frac{1}{e} $
    • $ \lim_{n \to \pm\infty} (1 + {1\over n})^{-n} = \frac{1}{e} $
    • $ \lim_{n \to 0} (1 + n)^{1/n} = e $
    • $ \lim_{n \to 0} (1 - n)^{-1/n} = e $
    • $ \lim_{n \to 0} (1 - n)^{1/n} = \frac{1}{e} $
    • $ \lim_{n \to 0} (1 + n)^{-1/n} = \frac{1}{e} $
    • $ \lim_{n \to \infty} (\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}-\frac{n^n}{(n-1)^{n-1}}) = e $
    • $ \lim_{n \to \infty} \frac{(n!)^{1\over n}}{n} = {1\over e} $
    • $ e= \lim_{n \to \infty}(p_n \#)^{1/p_n} $(p_nはn番目の素数、#は素数階乗)
    • $ e= \lim_{n \to \infty}n^{\pi(n)/n} $(π(n)は1からnまでの素数の個数)
  • テイラー展開: $ e = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} $
    • $ e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!} $
  • 総和
    • $ \frac{1}{e} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!} $
    • $ e = \sum_{n=0}^\infty \frac{2n+1}{(2n)!} $
    • $ e = \frac{1}{2}\sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{n!} $
    • $ e = 2\sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{(2n+1)!} $
    • $ e = \sum_{n=0}^\infty \frac{3-4n^2}{(2n+1)!} $
    • $ e = \sum_{n=0}^\infty \frac{(3n)^2+1}{(3n)!} $
    • $ \sqrt e = \sum_{n=0}^\infty \frac{4n+3}{2^{2n+1}(2n+1)!} $
    • $ e = \left [ -\frac{12}{\pi^2} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} \ \cos \left ( \frac{9}{k\pi+\sqrt{k^2\pi^2-9}} \right ) \right ]^{-1/3} $
    • $ e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^n}{B_n(k!)} $ (B_nはベル数)
    • $ e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{k!} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(k-1)!} = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!} $
    • $ e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)} $
    • $ e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)} $
    • $ e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)} $
    • $ e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^5}{52(k!)} $
    • $ e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^6}{203(k!)} $
    • $ e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^7}{877(k!)} $
  • 総乗
    • $ \sqrt2 \prod_{n=1}^\infty \prod_{m=2^n}^{2^{n+1}-1} (\frac{2m(2m+2)}{(2m+1)^2})^{\frac{1}{2^{n+1}}}= \frac{e}{2} $
    • $ e = \frac{2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^2} \cdots}{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^3}\cdots } $
  • 双曲線関数
    • $ e^x = \sinh(x) + \cosh(x) $

性質

無理性[2]

e = $ \frac{a}{b} $ を満たす自然数 a, b が存在すると仮定すると b!・e は以下のように展開される。

$ b! \cdot e = \left(b! + \frac{b!}{1!} + \frac{b!}{2!} + \frac{b!}{3!} + \cdots + \frac{b!}{b!}\right)+ \left\{ \frac{b!}{(b+1)!} + \frac{b!}{(b+2)!} + \frac{b!}{(b+3)!} + \cdots \right\} $

左辺は $ b! \cdot e = b! \cdot \frac{a}{b} = a(b-1)! $ であるから自然数である。右辺は ( ) 内の b! から $ \frac{b!}{b!} $ までの項は全て自然数であるが、{ } 内の $ \frac{b!}{(b+1)!} $ 以降の全ての項の和は、b が1以上であることから

$ \left\{ \frac{b!}{(b+1)!} + \frac{b!}{(b+2)!} + \frac{b!}{(b+3)!} + \cdots \right\} $

$ = \frac{1}{(b+1)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)} + \frac{1}{(b+1)(b+2)(b+3)} + \cdots < \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^3} + \cdots = 1 $

と 1 未満になる。したがって ( ) 内と { } 内を足した右辺は自然数でないことになり、左辺が自然数という結果と矛盾する。

ゆえに $ e = \frac{a}{b} $ を満たす自然数 a, b が存在するという仮定は誤りである。

超越性

暗記

Examples of  mnemonics (Gardner 1959, 1991) include:

"By omnibus I traveled to Brooklyn" (6 digits).

"To disrupt a playroom is commonly a practice of children" (10 digits).

"It enables a numskull to memorize a quantity of numerals" (10 digits).

"I'm forming a mnemonic to remember a function in analysis" (10 digits).

"He repeats: I shouldn't be tippling, I shouldn't be toppling here!" (11 digits).

"In showing a painting to probably a critical or venomous lady, anger dominates. O take guard, or she raves and shouts" (21 digits). Here, the word "O" stands for the number 0.

A much more extensive mnemonic giving 40 digits is

"We present a mnemonic to memorize a constant so exciting that Euler exclaimed: '!' when first it was found, yes, loudly '!'. My students perhaps will compute , use power or Taylor series, an easy summation formula, obvious, clear, elegant!"

関係項目

出典

  1. MathWorld - e
  2. Wikipedia