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トートロジーとは、原子式の取り方に関係なく常に真となる式のことを指す。

代表的なトートロジー 編集

同一律 編集

 A \to A

解説 編集

Aが偽の場合、必ずA \to Aは真を取る。

Aが真の場合、 C \to D において、C, Dの原子式が真でなければ、式が真とならないが、Aが真の場合は、それに続く原子式も真になる。従って、真になる。

従って、Aの原子式の取り方に関係なく、常に真になることがわかる。

排中律 編集

 A \vee \lnot A

解説 編集

選言においては、B \vee CのBかCが真になれば、真になる。

Aが真の場合は、Bにあたる部分が真なので、式は真。

Aが偽の場合は、\lnot Aは真になる。Cにあたる部分が真なので、式も真。

従って、Aの原子式の取り方に関係なく、常に真になることがわかる。

矛盾律 編集

\lnot(A \wedge \lnot A)

解説 編集

まず、連言においては、B \wedge CのB, Cが真にならなければならない。しかし、Aであり、かつ\lnot Aの両方が真になりうることは、否定の定義上ありえない。

従って、A \wedge \lnot Aは常に矛盾する。矛盾は常に偽を取るため、その式を否定すると常に真になる。


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