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トートロジーとは、原子式の取り方に関係なく常に真となる式のことを指す。

代表的なトートロジー

同一律

$ A \to A $

解説

Aが偽の場合、必ず$ A \to A $は真を取る。

Aが真の場合、$ C \to D $において、C, Dの原子式が真でなければ、式が真とならないが、$ A $が真の場合は、それに続く原子式も真になる。従って、真になる。

従って、Aの原子式の取り方に関係なく、常に真になることがわかる。

排中律

$ A \vee \lnot A $

解説

選言においては、$ B \vee C $のBかCが真になれば、真になる。

Aが真の場合は、Bにあたる部分が真なので、式は真。

Aが偽の場合は、$ \lnot A $は真になる。Cにあたる部分が真なので、式も真。

従って、Aの原子式の取り方に関係なく、常に真になることがわかる。

矛盾律

$ \lnot(A \wedge \lnot A) $

解説

まず、連言においては、$ B \wedge C $のB, Cが真にならなければならない。しかし、Aであり、かつ$ \lnot A $の両方が真になりうることは、否定の定義上ありえない。

従って、$ A \wedge \lnot A $は常に矛盾する。矛盾は常に偽を取るため、その式を否定すると常に真になる。