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テイラー展開(テイラーてんかい、英: Taylor expansion)とは、無限回微分可能な関数 f (x) から、テイラー級数(テイラーきゅうすう、英: Taylor series)と呼ばれる、負冪の項を持たない冪級数を得ることを言う。名称は数学者ブルック・テイラーに由来する。

実数または複素数関数の f (x) が 1 変数関数の場合には

$ \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x - a)^{n} $

ここで n!n階乗ƒ(n)(a)x = a における ƒn 次導関数である(ƒ の 0 次導関数は ƒ 自身である)。また、便宜的に (xa)00! は 1 であると定義する(定義の衝突を避けるならば、単に n = 0 の項を明示的に書き、n = 0 を含めない形で和を取り直せばよい)。この冪級数が元の関数 f (x) に一致するとき、f (x)テイラー展開可能であるという。

多変数関数の場合にも同様の展開法が考えられ、それらは多変数関数のテイラー展開、あるいは単にテイラー展開と呼ばれる。

厳密にはこの展開は x = a の近傍でのみ考えるものであり、x = a におけるテイラー展開、または x = a のまわりでのテイラー展開などという。特に a = 0 における以下の様な展開

$ \sum_{n=0}^{\infin} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^{n} $

マクローリン展開(マクローリンてんかい、英: Maclaurin expansion; 名称は数学者コリン・マクローリンに由来する)と呼ぶ。テイラー展開がある大域的な領域の各点で可能な関数は、その領域において解析的 (analytic) である、またはその領域上の解析関数 (analytic function) であるという。

関数が無限階微分可能であっても、テイラー級数が元の関数とすべての x で一致するとは限らない。一致するかどうかは、テイラーの定理における剰余項 Rn が 0 に収束するかどうかによって判定できる;ここで 剰余項 Rn は、ある c ∈ (a, x) が存在して、

$ R_n (x) = {f^{(n)}(c) \over n!} (x - a)^n $

と書ける。または積分を用いて、次のように表せる;

$ R_n (x) = \int_a^x {(x-t)^{n-1} \over (n-1)!} f^{(n)}(t)\, dt. $

いくつかの重要な関数のテイラー展開を以下に示す。これらはすべて複素解析的な関数であり、複素変数であると考えても成り立つ。

多項式
多項式をマクローリン展開したものは元の多項式自身である。
指数関数自然対数
$ e^{x} = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{x^n}{n!}\quad\mbox{ for all }x $
$ \log(1+x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-1)^{n+1}}n x^n\quad\mbox{ for all } |x| < 1 $
幾何級数
$ \frac{1}{1-x} = \sum^{\infin}_{n=0} x^n\quad\mbox{for all } |x| < 1 $
二項定理
$ (1+x)^\alpha = \sum^{\infin}_{n=0} \binom{\alpha}{n} x^n\quad\mbox{for all } |x| < 1 \mbox{ and any complex } \alpha $
三角関数
$ \sin x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x $
$ \cos x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x $
$ \tan x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} (-4)^n (1-4^n)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } |x| < \frac{\pi}{2} $
$ \csc x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{ (-1)^n (2-2^{2n}) B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } 0 < |x| < \pi $
$ \sec x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for } |x| < \frac{\pi}{2} $
$ \cot x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{ (-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } 0 < |x| < \pi $
$ \sin^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1 $
$ \cos^{-1} x = {\pi\over 2}- \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1 $
$ \tan^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1 $
双曲線関数
$ \sinh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)!} x^{2n+1}\quad\mbox{ for all } x $
$ \cosh x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{(2n)!} x^{2n}\quad\mbox{ for all } x $
$ \tanh x = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{B_{2n} 4^n (4^n-1)}{(2n)!} x^{2n-1}\quad\mbox{ for } |x| < \frac{\pi}{2} $
$ \sinh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n (2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1 $
$ \tanh^{-1} x = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{2n+1} x^{2n+1}\quad\mbox{ for } |x| < 1 $
ランベルトのW関数
$ W_0(x) = \sum^{\infin}_{n=1} \frac{(-n)^{n-1}}{n!} x^n\quad\mbox{ for } |x| < \frac{1}{e} $

tan(x), csc(x), cot(x), tanh(x) の展開に現われる Bkベルヌーイ数である。 二項展開の $ \textstyle \binom{\alpha}{n} $ は二項係数である。sec(x) の展開に現われる Ekオイラー数である。

多変数関数のテイラー展開

テイラー展開は 1 変数関数のみならず、多変数関数にも適用できる。d 変数関数 f のテイラー展開は以下の式である。

$ \begin{align} &f(x_1,\dots,x_d) \\ =& \sum_{n_1=0}^\infty \sum_{n_2=0}^\infty \cdots \sum_{n_d = 0}^\infty \frac{(x_1-a_1)^{n_1}\cdots (x_d-a_d)^{n_d}}{n_1!\cdots n_d!}\,\left(\frac{\partial^{n_1 + \cdots + n_d}f}{\partial x_1^{n_1}\cdots \partial x_d^{n_d}}\right)(a_1,\dots,a_d).\! \end{align} $

多重指数記法を用いれば、d 変数関数 f (x) のテイラー展開は次式で表現される。

$ f(\mathbf{x}) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}^d_0}^{}\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{a})^{\alpha}}{\alpha !}\,({\mathrm{\partial}^{\alpha}}\,f)(\mathbf{a}) $

アインシュタインの縮約記法を用いれば、多変数関数 f (xμ) のテイラー展開は次式である。

$ f(x^{\mu}) = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{n!} \left[ (x^{\mu} - \alpha^{\mu}) \partial_{\mu} \right]^n f(\alpha^{\mu}) $

上式の μ微分演算子であり、ベクトル解析の記法では に置き換えられる。一番後ろに f (αμ) があるが、これは f (xμ) に左の演算子を作用させてから f (xμ) の引数として αμ を与えることを表していることに注意する。

和算におけるテイラー展開

同時期の鎖国下の日本において、1720年頃に、和算家建部賢弘によってテイラー級数が使用され正 1024 角形のみを用いた 40 桁程度の円周率を導き出している。実質は (sin−1x)2/2 の級数に x = 1/2 を代入したものである。

$ \pi^2 = 9\left(1 + \frac{1^2}{3\cdot4} + \frac{1^2 \cdot 2^2}{3\cdot4\cdot5\cdot6} + \frac{1^2 \cdot 2^2 \cdot 3^2}{3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8} + \cdots\right). $

後に松永良弼はこれをさらに 70 桁台まで飛躍させた。こちらの計算は実質的には sin−1x の級数に x = 1/2 を代入したものである。

$ \pi = 3\left(1 + \frac{1^2}{4\cdot6} + \frac{1^2 \cdot 3^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10} + \frac{1^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2}{4\cdot6\cdot8\cdot10\cdot12\cdot14} + \cdots\right). $

分数次のテイラー展開

分数階微積分学の進展にともない「分数次のテイラー展開はどんなものになるのか?」という問が提起され、2007年 Odibat と Shawagfeh がこの問いに答えを出している(Odibat & Shawagfeh 2007)。 これによると、分数次のテイラー展開は以下のように書ける。

$ f(x+\Delta x) = f(x) + D_x^\alpha f(x+)\frac{(\Delta x)^\alpha}{\Gamma(\alpha+1)} + D_x^\alpha D_x^\alpha f(x+)\frac{(\Delta x)^{2\alpha}}{\Gamma(2\alpha+1)} + \cdots. $

ここで、0 < α < 1 は分数の次数 αx+右極限、すなわち x へ正の方向から近づいた場合の極限を表す。

関連項目