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ゲルフォント=シュナイダーの定理 (ゲルフォント=シュナイダーのていり、英: Gel'fond-Schneider's theorem) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。1934年に、アレクサンダー・ゲルフォントとテオドール・シュナイダー によって、それぞれ独立に証明された。

定理の主張

α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、$ \alpha^\beta $ は、超越数である。

系1
$ \alpha_1, \alpha_2 $ を 0, 1 以外の代数的数とする。$ \log\alpha_1/\log\alpha_2 $ は、有理数であるか超越数である。
系2
$ \alpha_1, \alpha_2, \beta_1, \beta_2 $ を 0 以外の代数的数とする。もし、$ \log\alpha_1, \log\alpha_2 $ が有理数体上線形独立であるならば、$ \beta_1\log\alpha_1 + \beta_2\log\alpha_2\ne 0 $ である。

ゲルフォント=シュナイダーの定理を用いて、以下の数が超越数であることが示される。

  • $ 2^{\sqrt{2}} $ 。これはゲルフォント=シュナイダーの定数とよばれる。
  • $ \sqrt{2}^{\sqrt{2}} $
  • $ e^{\pi}\ (= i^{-2i}) $ 。これはゲルフォントの定数とよばれる。
  • 有理数ではない代数的数 $ \alpha $ に対する、$ \sin{\alpha\pi} $, $ \cos{\alpha\pi} $, $ \tan{\alpha\pi} $
  • $ i\alpha $ が有理数ではない代数的数 $ \alpha $ に対する、$ \sinh{\alpha\pi} $, $ \cosh{\alpha\pi} $, $ \tanh{\alpha\pi} $
  • 乗法的独立[1]である、0, 1 ではない代数的数 $ \alpha,\ \beta $ に対する、$ \log{\alpha}/\log{\beta} $

歴史

ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、ab超越数であるか」を提出した。

その後、1929年に、ゲルフォントによって、β が虚二次体の場合に、$ \alpha^\beta $ が超越数であることを証明し、例えば、$ e^\pi $ が超越数であることを示した。

その直後、ゲルフォントの方法を元にして、ジーゲル (C. L. Siegel) は、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年(1930年)、クズミン (R. O. Kuz'min) は、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。

1934年に、ゲルフォントとシュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。 この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。 ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。

ゲルフォント=シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが(系2)、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された(ベイカーの定理を参照)。

脚注

  1. 整数 $ k,\ l $ に対して、$ \alpha^k \beta^l = 1 $ ならば、$ k = l = 0 $ が成り立つとき、$ \alpha,\ \beta $ は、乗法的独立であるという。

関連項目

参考文献

  • 杉浦, 光夫編 『ヒルベルト23の問題』 日本評論社、東京、1997年
  • 塩川, 宇賢 『無理数と超越数』 森北出版、東京、1999年
  • I., Niven (1956). Irrational numbers, The Carus Math. Monog.. Washington: Math. Assoc. of America.