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ガウス記号とは、アルキメデスの公理を認めた場合、$ x \in \mathbb{R} $ としたときに、$ n \le x , x \in \mathbb{Z} $ を満たす最大のnを表記するための記号である。この場合、$ [x] $と書く。

性質

$ x < [x] + 1 $

$ x \in \mathbb{R} $ と考えた場合、このxを$ d \in \mathbb{Z}, r \in \mathbb{R}, 0 < r < 1 $ とする式 $ x = d + r $と置ける。

整数の性質により、$ a + b > a + c $が仮定されているわけだから、$ r < 1 $の場合、同様に$ d + r < d + 1 $になる。

よって、$ x < [x] + 1 $ が証明できる。

$ y \in \mathbb{Z}, x < y $ の場合、 yの最小値は $ [x] + 1 $ である

まず、ガウス記号の定義により

$ [x] \le x $であり、$ x < y $である。このとき、$ [x] \le x < y $という式が成立する。

$ [x] \in \mathbb{Z} $を考えると、「正の整数の最小は1である」という公理から導き出された、整数の次の数で最小のものは、$ n + 1 $だった。従って$ [x] $の次に大きい整数は$ [x] + 1 $である。なので、$ [x] + 1 \le y $である。

同様に、もし$ [x] + 1 \le y $から出発した場合、上記の性質である$ x < [x] + 1 $を使うことができる。この二つから、$ y \in \mathbb{Z}, x < y $ の場合、 yの最小値は $ [x] + 1 $ であることがわかる。