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ほとんど整数とは、整数ではないが、整数に極めて近い数字のこと。 整数に非常に近いことは単なる偶然としか考えられない場合もあれば、その必然性を数学的に説明できる場合もある。一見して整数に見えない形であることが、ほとんど整数においてはある程度重要視される。 勘違いされることもあるが、0.99999999...は正確に1に等しく、ほとんど整数とはならない。

黄金比$ \phi =\frac{1+\sqrt5}{2} $の整数乗は、その指数が大きいほど整数に近づく。たとえば、

$ \phi^{17} = 3571.000280... $

$ \phi^{18} = 5777.999826... $

$ \phi^{19} = 9349.000106... $

などはほとんど整数といえる。

これは、黄金比が$ x^2-x-1=0 $の解のひとつであり、もうひとつの解$ \phi' =\frac{1-\sqrt5}{2} $に対して解と係数の関係ににより、$ \phi+\phi'=1,\phi\phi'=-1,-1<\phi'<0 $であるため、$ \phi^n+\phi'^n $は整数、かつnが大きくなるにつれて$ \phi'^n $が0に近づくことによる。

また、ゲルフォントの定数円周率との差$ e^\pi-\pi=19.999099979... $はほとんど整数といってもいいが、これには現在偶然とする以上の理由が見つかっていない。

これは、$ \pi+20\approx e^\pi $と言い換えてもいいので、

$ \cos(ln(\pi+20))=-0.9999999992... $となり、これもほとんど整数とみなしてよい。

また、eとπで表されるほとんど整数として、

$ e^6-\pi^5-\pi^4=0.000017673... $

$ \frac{\pi^9}{e^8}=9.998387 $

$ \tanh(\frac{28}{15}\pi)-\frac{\pi^9}{e^8}=0.000000006005 $

などがある。

また、$ 22\pi^4=2143.000002748... $

であることがラマヌジャンによって示されている。

三角比の形で表されるほとんど整数には、たとえば以下のようなものがある。

$ \sin11=-0.99999026... $

$ \sin2017\sqrt[5]{2}=-0.9999999999999999785... $

(ともに単位はラジアン)

これはそれぞれ、$ \pi\approx\frac{22}{7},11\approx\frac{7}{2}\pi,2017\sqrt[5]{2}\approx\frac{1475}{2}\pi $であることに由来する。[1]

対数を用いたほとんど整数としては、

$ 510\log_{10} 7=431.00000040... $

$ 88\log 89=395.00000053... $

$ 232\log_\pi 97=1087.00000024... $

$ \log 2+\log_10 2=0.994177... $

$ \frac{163}{\log 163}=31.9999987384... $

$ \frac{53453}{\log 53453}=4190.00000122... $

などのものが見つかっている。

出典

  1. http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html